Одним из наиболее глубоких открытий в физике стало самое известное уравнение Эйнштейна: E = mc². Проще говоря, оно гласит, что энергия равна массе объекта, умноженной на квадрат скорости света. Это простое на первый взгляд математическое соотношение таит в себе огромное количество физических смыслов, в том числе:
-
при наличии определённого количества энергии можно спонтанно создавать новые пары частиц материи-антиматерии, если их масса покоя меньше, чем количество энергии, необходимое для их создания,
-
если пара частиц материя-антиматерия аннигилирует, то при этом выделяется определённое количество энергии, определяемое массами аннигилировавшей пары частиц,
-
каждый раз, когда происходит ядерная реакция, будь то синтез или деление, если масса продуктов реакции меньше массы частиц, в ней участвовавших, E = mc² говорит о том, сколько энергии будет высвобождено в этой реакции.
Это уравнение, E = mc², описывает, сколько энергии присуще любой массивной частице, находящейся в состоянии покоя, включая то, сколько энергии требуется для её создания и сколько энергии выделяется при её разрушении.
Но что если частица не находится в состоянии покоя или если она вообще не имеет массы? В этих случаях E = mc² - это только половина значимого уравнения. Вторая половина гораздо интереснее и необходима для того, чтобы понять физический смысл происходящего.
Образование пар материя/антиматерия (слева) из чистой энергии - полностью обратимая реакция (справа), при этом пары материя/антиматерия аннигилируют обратно в чистую энергию. Если пара частица/античастица аннигилирует в состоянии покоя, то энергия каждого из двух образовавшихся фотонов будет равна E = mc^2, где "m" - масса покоя как частицы вещества, так и антивещества.
Причина, по которой "масса покоя" является столь важным понятием, заключается в том, что движение - скорость изменения положения объекта во времени - не является "абсолютным" физическим свойством в нашей Вселенной. Напротив, ключевой урок теории относительности Эйнштейна заключается в том, что независимо от того, каково ваше положение или как оно меняется со временем, законы физики и природные константы, включая скорость света, всегда будут выглядеть одинаково.
Так, например, если у вас есть часы, в которых "одна секунда" определяется тем, сколько времени требуется свету, движущемуся со скоростью света, чтобы:
-
подняться из нижней части часов в верхнюю,
-
отразиться от зеркала в верхней части,
-
и снова спуститься вниз,
то два наблюдателя, находящиеся в относительном движении друг к другу, будут воспринимать течение времени по-разному. С точки зрения одного наблюдателя, именно он находится в состоянии покоя, и его определение "секунды" является правильным: свет совершает круговой путь от нижней до верхней точки часов, что и определяет его прохождение во времени. Для всех, кто находится в движении относительно них, это дополнительное движение означает, что внешние, движущиеся часы кажутся идущими медленнее.
Световые часы, образованные фотоном, отражающимся от двух зеркал, определяют время для любого наблюдателя. Хотя два наблюдателя могут не соглашаться друг с другом в том, сколько времени проходит, они будут согласны с законами физики и константами Вселенной, такими как скорость света. При правильном применении теории относительности окажется, что их измерения эквивалентны друг другу.
Это объясняется тем, что движение в пространстве и время связаны и неразрывны: они сплетены в единую ткань, называемую пространственным временем. Максимальное "движение во времени", которое вы можете осуществить, появится, когда вы будете находиться в состоянии покоя по отношению к Вселенной, или когда ваше движение в пространстве будет нулевым. Однако если вы перемещаетесь в пространстве, то ваше движение во времени замедляется, поэтому чем ближе вы к скорости света, тем меньше вы стареете и ощущаете течение времени. Это имеет огромное количество применений - от систем глобального позиционирования (GPS) до физики высокоэнергетических частиц.
Но здесь мы должны обратить внимание на другую часть эйнштейновской формулы E = mc²: когда вы находитесь в движении, ваша энергия определяется не только вашей энергией массы покоя, которая является вкладом mc² в вашу энергию. Вместо этого вы обладаете также кинетической энергией - энергией самого движения.
При столкновении двух объектов, независимо от того, слипаются ли они (неупруго) или отскакивают друг от друга (упруго), именно кинетическая энергия, которой они обладают, исходя из их движения относительно друг друга, определяет, с какой скоростью они будут двигаться после столкновения друг с другом. Эта "энергия движения", или кинетическая энергия, является важнейшей составляющей физики движущихся объектов - от бильярдных шаров до автомобилей и планетарных систем.
Согласно теории гравитации Ньютона, орбиты образуют идеальные эллипсы, когда они обращаются вокруг одиночных больших масс. Однако в общей теории относительности существует дополнительный эффект прецессии, обусловленный как искривлением пространства-времени, так и тем, что планеты находятся в движении относительно Солнца, и это приводит к смещению орбиты во времени, которое иногда можно измерить. Наибольший такой эффект в нашей Солнечной системе наблюдается у Меркурия, прецессирующего за счёт этого дополнительного эффекта на 43″ (где 1″ - 1/3600 часть одного градуса) в столетие.
Но обратите внимание, что самое известное уравнение Эйнштейна, E = mc², совершенно не зависит от движения! Если энергия - это просто масса, умноженная на квадрат скорости света, то как же в этом случае учитывается движение? Откуда берётся кинетическая энергия?
Возможно, ещё более убедительным аргументом в пользу того, что в этой истории должно быть что-то ещё, станет рассмотрение света - кванта энергии, который вообще не имеет массы покоя. Свет, независимо от того, рассматриваем ли мы его как волну, энергия которой определяется длиной волны, или как частицу, энергия которой квантована в виде пакетов, называемых фотонами, не имеет массы покоя, поэтому m в E = mc² должно быть равно нулю. Но свет несёт энергию, поэтому E = mc² не может быть описывать всю картину полностью, иначе E тоже равнялась бы нулю, а этого не может быть.
Подсказку к решению можно найти, если вы изучали физику в школе или колледже и узнали о "стандартной" формуле для кинетической энергии: KE = ½mv², где v - скорость движущегося объекта. Эта формула применима только при скоростях, которые малы по сравнению со скоростью света: когда v намного меньше c - скорости света в вакууме. (Это та же самая "c", что и в формуле E = mc²: 299 792 458 м/с).
На этой фотографии, сделанной в 1934 г., Эйнштейн изображён перед доской, выводящим специальное уравнение относительности для группы студентов и зрителей. Хотя сегодня специальная теория относительности воспринимается как нечто само собой разумеющееся, в то время, когда Эйнштейн впервые её сформулировал, она была революционной, и речь даже не про самое известное его уравнение, а E = mc².
Причина, по которой "кинетическая энергия" даёт столь полезную подсказку, заключается в том, что она на шаг приближает вас к действительно ключевому понятию в завершении самого знаменитого уравнения Эйнштейна: импульсу.
Импульс - это "количество движения", которым обладает объект, и он определяется вполне конкретно, вне зависимости от того, будет ли движущийся объект массивным или безмассовым, а если он массивный - движется ли он со скоростью, близкой к скорости света, или нет. Импульс, обозначаемый буквой "p" (от латинского глагола "pellere" (толкать с силой) или "petere" (идти)), - это, по сути, мера того, сколько энергии объекта заключено в его движении, и, следовательно, насколько трудно привести его в состояние покоя.
Для массивных частиц, движущихся медленно по сравнению со скоростью света, импульс можно хорошо аппроксимировать простой формулой p = mv. Для массивных частиц, движущихся с любой скоростью, даже со значительной долей скорости света, импульс более точно записывается p = mγv, где "γ" - коэффициент Лоренца: 1/√(1-(v/c)²). А для безмассовых частиц, таких как свет, которые движутся со скоростью света и вообще не имеют массы покоя, импульс нельзя записать в терминах массы, но можно записать в терминах энергии очень просто, как p = E/c.
Следы частиц, образовавшиеся в результате высокоэнергетического столкновения на БАК в 2012 г., свидетельствуют о создании множества новых частиц. Построив сложный детектор вокруг точки столкновения релятивистских частиц, можно разобраться в том, что произошло в точке столкновения. Но всё, что там произошло и появилось, ограничено величиной энергии, вытекающей из эйнштейновского соотношения E = mc².
Если мы хотим дать истинное выражение для энергии, присущей любой частице, то необходимо учесть влияние количества движения на энергию, а также влияние массы покоя на энергию. Уравнение E = mc², как бы оно ни было просто и компактно, применимо только к массивным частицам, находящимся в состоянии покоя: эта величина полезна только в определённых случаях.
К счастью, существует почти такая же простая формула, которая учитывает как энергию массы покоя частицы, если она есть, так и вклад её количества движения в энергию. Эта формула для энергии выглядит следующим образом:
E = √(m²c⁴ + p²c²).
Подумайте, что происходит в различных случаях, которые она описывает. Если импульс (p) равен нулю, то последний член полностью исчезает, и получается E = √(m²c⁴), что снова становится старым добрым E = mc²: первоначальное уравнение Эйнштейна для эквивалентности массы и энергии покоя.
Когда мезон, например, очарованный и антиочарованный кварк, показанный здесь, раздвигает две свои составные части на слишком большую величину, становится энергетически выгодным вырвать из вакуума новую (лёгкую) пару кварк/антикварк и создать два мезона там, где раньше был один. К этому может привести появление достаточно сильного электрического поля для достаточно долгоживущих мезонов, причём энергия, необходимая для создания более массивных частиц, берётся из основного электрического поля, а количество энергии, необходимое для создания этих новых частиц (или пар "частица-античастица"), описывается E = mc².
Что если мы движемся медленно по сравнению со скоростью света, и мы просто подставим p = mv в качестве импульса?
Тогда уравнение примет вид E = √(m²c⁴ + m²v²c²), или, если извлечь mc² изнутри квадратного корня,
E = mc² * √(1 + (v/c)²).
Эта формула может показаться вам не очень знакомой, но учтите следующее: это уравнение работает только для тех значений скорости, или v, которые малы по сравнению со скоростью света, то есть «c».
Поэтому часть уравнения √(1 + (v/c)²) будет лишь немного больше единицы, так как член (v/c) мал. Когда в математике встречается выражение √(1 + x), там, где "x" мало по сравнению с 1, оно может быть прекрасно аппроксимировано 1 + ½*x.
Если мы так поступим с нашим выражением для энергии, то превратим √(1 + (v/c)²) в 1 + ½*(v/c)², что превратит наше выражение для энергии в
E = mc² * (1 + ½*(v/c)²),
что при перемножении членов превращается в следующее:
E = mc² + ½mv²,
что говорит нам о том, что полная энергия - это энергия массы покоя (часть mc²) плюс кинетическая энергия (часть ½mv²).
На этом снимке показано отверстие, образовавшееся в панели спутника НАСА Solar Max в результате удара микрометеороида. Хотя это отверстие, скорее всего, образовалось просто от частички пыли, член "v²" в уравнении для нерелятивистской кинетической энергии (½mv²) может стать очень большим и очень быстро.
Однако, рассматривая массивную частицу, движущуюся со скоростью, близкой к скорости света, мы уже не можем делать такие приближения; необходимо просто вычислить все члены по отдельности, используя уравнение E = √(m²c⁴ + p²c²).
Но при достижении очень больших моментов, с которыми мы имеем дело в наших самых больших и мощных ускорителях частиц, член массы покоя вносит очень малый вклад в общую энергию. При 99,999%+ скорости света член m²c⁴ будет намного меньше, чем член p²c² в уравнении, а значит, им можно пренебречь.
В этом случае мы просто получим E = √(p²c²), что превращается в E = pc: уравнение для связи энергии и импульса для фотонов и других безмассовых частиц. Иногда мы называем это приближение ультрарелятивистским, поскольку оно полезно в тех случаях, когда энергия массы покоя системы мала по сравнению с энергией, обусловленной движением; мы можем пренебречь первым членом - членом m²c⁴ - даже если объект, движущийся ультрарелятивистским образом, не является по-настоящему безмассовым.
Как фотоны, так и гравитационные волны распространяются со скоростью света через вакуум пустого пространства. При очень высоких энергиях массами покоя ультрарелятивистских частиц можно смело пренебречь при вычислении их энергии. В обоих случаях, для безмассовых и ультрарелятивистских массивных частиц, их энергия хорошо аппроксимируется формулой E = pc.
Примечательно в этой истории то, что одна из ключевых проверок теории относительности Эйнштейна была проведена в 1919 году во время полного солнечного затмения. Согласно теории Эйнштейна, наличие большого количества энергии в одном месте пространства-времени (на Солнце) должно было искривлять и искажать траекторию движения всех объектов, проходящих вблизи него. В том числе и свет от фоновых звёзд, который, хотя и не имеет массы, всё равно будет двигаться по траектории, создаваемой искривлённым пространством - важная ключевая концепция общей теории относительности.
Но что же предсказывала более старая теория, которую пыталась заменить общая теория относительности, - ньютоновская теория всемирного тяготения?
Одни настаивали на том, что она предсказывает нулевое отклонение, поскольку свет не имеет массы покоя, а в теории Ньютона гравитационное притяжение определяется исключительно массой. Но другие признавали, что фотоны всё же несут энергию в виде E = pc, и поэтому, если использовать энергию фотонов вместо массы (т.е. подставить E/c² фотона вместо ньютоновской массы m), то можно предсказать отклонение и для ньютоновской гравитации. Тот факт, что теория Эйнштейна предсказала удвоение ньютоновского значения, и это действительно подтвердилось наблюдениями, стал ключевым тестом, который позволил нам проверить и подтвердить теорию Эйнштейна, что привело к революции в нашем понимании Вселенной.
Результаты экспедиции Эддингтона в 1919 г. по изучению затмений убедительно показали, что общая теория относительности описывает изгиб звёздного света вокруг массивных объектов, опровергнув ньютоновскую картину. Это было первое наблюдательное подтверждение теории гравитации Эйнштейна.
Когда вы вспоминаете самое знаменитое уравнение Эйнштейна, вы должны осознать, насколько глубоким на самом деле является простое утверждение E = mc². Оно говорит нам о том, что каждая массивная частица обладает присущим ей количеством энергии, даже когда она находится в состоянии покоя, и что её энергия никогда не может опуститься ниже этой ключевой величины: «mc²». Если вы хотите создать частицу, то вам потребуется по крайней мере столько же энергии; если вам захочется создать эту частицу вместе с её античастицей, то вам потребуется по крайней мере вдвое больше энергии. И если уничтожить или аннигилировать любую массивную частицу, то вся эта энергия массы покоя, mc², станет частью энергии, которую унесут с собой все "дочерние частицы", или частицы, образовавшиеся в результате аннигиляции.
Но следует также понимать, что E = mc² - это только часть полной истории: ведь частицы не только существуют в состоянии покоя, но и движутся во Вселенной. Количество движения, которое они несут с собой, - импульс - приводит к тому, что с этой частицей связывается и определённая энергия движения. Для медленно движущихся массивных частиц эту энергию движения можно приближённо представить в виде E = ½mv². Для безмассовых частиц и ультрарелятивистских массивных частиц эту энергию движения можно приближённо выразить E = pc. Но если вы хотите получить общий случай, когда учитываются и масса покоя, и импульс, то вам необходимо полное уравнение для энергии частицы:
E = √(m²c⁴ + p²c²).
Как ни знаменито это уравнение, E = mc² - лишь половина полного уравнения, необходимого для описания энергии частицы. Чтобы получить вторую половину, необходимо помнить, что нельзя просто описать Вселенную, сделав её мгновенный снимок. Она обладает своеобразной красотой, и энергией, заключённой в движении.
Автор: Вячеслав Голованов
