Как понять, что выборка данных принадлежит определенному распределению? Есть 2 метода: аналитический тест Колмогорова-Смирнова (тест Шапиро-Уилка для нормального) и графический метод при помощи графика квантиль-квантиль плот.
Чем так замечателен второй вариант? Q-Q plot позволяет кроме принадлежности:
-
оценить степень отклонения данных от теоретического распределения
-
графически проиллюстрировать такие параметры как расположение данных, масштаб и скошенность. Читаем: медиану, дисперсию и наклон функции плотности распределения.
-
сравнить две выборки между собой
-
делать выводы, не основываясь на таких спорных показателях как $p.value$.
Фактически, 
в случае Q-Q Plot будет оценивать человеческий на основе визуального изучения.
Графический метод является мощнейшим инструментом анализа, но как сказано в англоязычной статье википедии про Q-Q Plots, требует серьезных навыков для интерпретации. В данной статье я представляю дорожную карту пути к пониманию квантильных графиков.
С чего начинать? Сперва стоит посмотреть видео на YouTube от StatQuest. Это тот самый автор, который на обложке видеороликов пишет "... Clearly Explained". Если у вас Яндекс-браузер, то вы можете смотреть его видео почти на русском. Есть упомянутая статья в википедии, а также отличный текст на Медиуме. Мне показалось, что это лучшее, что можно найти в поиске по теории, если просто вбивать в строку браузера "Understanding QQ-Plots". Напишите в комментариях вашу любимую статью по квантильным графикам.
Несмотря на замечательные материалы, которые я упомянул, у меня не сложилось полноценного понимания QQ-Plots. Я до сих пор не могу с ходу представить в голове распределение, если мне показать квантильный график. Но в процессе их изучения я смог осознать несколько важных тезисов, с которыми и хочу вас познакомить при помощи визуализаций на Wolfram Mathematica.
В статье я представляю идеальные квантильные графики. Выводы, сделанные на их основе легко переносятся на соответствующие распределения выборочных данных в случае большого их объема (см. Рис. 1). На графиках в статье по горизонтальной оси я буду откладывать только теоретические квантили стандартного нормального распределения.
1. Квантили
Начнем с трех важнейших определений: дискретный квантиль выборки, дискретный квантиль функции плотности распределения и квантиль-функция.
Квантиль дискретной выборки — это одна из точек, делящих упорядоченную последовательность чисел на равные части.
Обращаю ваше внимание, что понятия 0.25 квантиль, 1 квартиль и 25 персентиль обозначают одно и то же, как и 2 квартиль, 0.5 квантиль и 50 персентиль.
Квантиль непрерывного распределения — это одна из точек, делящих функцию плотности распределения на участки, вероятность попадания в которые одинакова, то есть на участки одинаковой площади.
Квантиль-функция — это функция, которая по значению вероятности 
возвращает такое число (квантиль) 
, что вероятность того, что случайная величина примет значение меньше 
равняется
.
Можно представлять себе квантиль-функцию непрерывного распределения, как зависимость арифметического уровня воды в вазе, стенками которой является функция плотности вероятности 
от объема налитой воды. Эта интерпретация хорошо показана в видео одного бразильского инструктора по статистике.
2. Главный квантильный график
Для начала построим базовый Q-Q Plot — теоретических квантилей стандартного нормального распределения от теоретических квантилей стандартного нормального распределения. На следующей картинке (рисунок слева) в виде непрерывной прямой показана зависимость этих теоретических квантилей. Горизонтальные прямые делят распределение оси y на 8 равных по площади промежутков, а вертикальные прямые делят распределение на оси x на 8 равных промежутков и визуализируют появление непрерывной прямой, которую вы наблюдаете.
На рисунке справа я тоже построил квантильный график, но в этом случае по оси y отложил квантили выборки из 200 чисел, случайно выбранных из стандартного нормального распределения. Обращаю ваше внимание, что в случае квантильного графика выборки, за квантиль выбирается каждая точка наших данных, как показано в нижней части на рисунке 1. Далее в статье я буду опускать построение выборочного квантильного графика. Повторюсь, что на больших объемах выборки квантильный график будет полностью повторять теоретическую зависимость.
(б): Зависимость выборочных квантилей (200 штук) стандартного нормального распределения от тех же теоретических.
Как мы видим, в случае одинаковых распределений Q-Q Plot представляет собой прямую линию 
, причем масштаб нормальных распределений не имеет значения, главное, чтобы у них совпадали средние значения и стандартное отклонение. Этот вывод переносится на случай произвольных распределений.
3. Физический смысл коэффициентов прямой
Что произойдет с прямой, если у распределения на оси y поменять среднее значение (и медиану, соответственно)? Построенная прямая сместится таким образом, чтобы медиане квантилей на оси 
соответствовала медиана квантилей на оси 
. На рисунке слева визуально ничего не изменилось, только по оси y я теперь откладывают квантили нормального распределения со средним 5 стандартным отклонением 1.
Таким образом:
-
При построении Q-Q Plot от теоретических квантилей стандартного нормального распределения значение квантильной зависимости в нуле имеет смысл медианы распределения, которое мы строим на оси y.
А что произойдет с прямой, если у распределения на оси y поменять стандартное отклонение?
(б) Зависимость теоретических квантилей нормального распределения N(0, 2) от тех же теоретических.
Ответ представлен на Рисунке 4. Поигравшись с параметрами можно сделать следующий вывод:
-
При построении Q-Q Plot от теоретических квантилей стандартного нормального распределения тангенс наклона прямой имеет смысл стандартного отклонения распределения, которое мы строим на оси y. Если прямая положе, чем y = x (Рис. 4а), то нормальное распределение, построенное на вертикальной оси менее дисперсно, чем распределение, построенное на горизонтальной оси. Если прямая круче, чем y = x (Рис. 4б), то распределение, построенное не вертикальной оси более дисперсно, чем распределение, построенное на горизонтальной оси.
Мы разобрались с основными понятиями и выяснили, что QQ-Plot нормального распределения или выборки из нормального распределения хорошо визуализирует медиану и стандартное отклонение, чем являются коэффициенты прямой.
4. Линия главного тренда на примере скошенных распределений
Все бы хорошо, да кроме нормальных распределений есть еще много других. Если в случае построения околонормального распределения все точки стелятся вдоль прямой линии как на Рис. 4б (коэффициенты которой очень легко интерпретируются), то в случае, например, скошенных распределений точки на прямую ложиться не будут.
При построении Q-Q Plot многие программные пакеты подбирают и изображают некоторую прямую, которая называется линией главного тренда (англ. Reference Line).
SkewNormalDistr(0, 1, 3) от теоретических квантилей стандартного нормального распределения N(0, 1).
(б) Зависимость квантилей скошенного нормального распределения SkewNormalDistr(0, 1, -3)
от тех же теоретических.
Intercept и slope этой контрольной прямой имеют смысл среднего и стандартного отклонения нормального распределения, "наилучшим образом" подходящего к нашим данным. Как написано в замечательном гайде по q-q plots на языке SAS есть 3 способа это сделать:
-
Провести прямую по двум точкам: через 1 и 3 квартили.
-
Провести прямую методом наименьших квадратов.
-
К выборочным данным подобрать среднее и стандартное отклонение генеральной совокупности, используя метод максимального правдоподобия и провести прямую, иллюстрирующую зависимость теоретических квантилей подобранного идеального нормального распределения от теоретических квантилей стандартного нормального (или любого другого, используемого при построении).
-
Провести прямую по двум точкам: через 1 и 3 квартили данных. В большинстве визуализаций этой статьи я использую именно этот способ.
-
Провести прямую по методу наименьших квадратов.
-
С помощью метода максимального правдоподобия подобрать среднее и стандартное отклонение генеральной совокупности и отобразить теоретические квантили идеального нормального распределения против
Мнение автора по интерпретации 1 и 2 способа.
В первом случае "идеальная прямая" будет соответствовать нормальному распределению со средним, равным среднему значению 1 и 3 квартилей выборки и стандартным отклонением, равным отношению межквартильного размаха распределения на оси y и межквартильного размаха распределения на оси x.
где IQR(x) и IQR(y) — межквартильный размах распределений, построенных на осях y и x соответственно. Для стандартного нормального распределения IQR(x) примерно равен 1.35.
Во втором случае тангенс наклона прямой будет равен произведению корреляции квантилей изображенных распределений — на стандартное отклонение распределения на оси y.
где corr — корреляция, а sd — стандартное отклонение. Это следует из формул для коэффициентов регрессионной прямой, а также из того факта, что для стандартного нормального распределения sd(x) = 1.
Я не нашел подтверждения полученных умозаключений в литературе и не представляю, как использовать эту информацию в реальном анализе.
Разные программные пакеты строят эту линию, используя один из указанных подходов. Если есть большая потребность узнать методы построения, можно заглянуть в документацию. Но если это не принципиально, можно ориентироваться на главную идею: линия главного тренда представляет прямую идеального нормального распределения для наших данных.
Выводы:
-
Если оба конца квантильного графика находятся выше прямой главного тренда, то скорее всего это распределение скошено вправо.
-
Если оба конца квантильного графика находится ниже прямой главного тренда, то скорее всего это распределение скошено влево.
5. Изогнутые Q-Q Plots: Равномерное, Бимодальное и t-распределения.
Следующие 4 графика предназначены для настройки машинного обучения в голове. С помощью них можно научиться отличать равномерное распределение от двугорбого.
Квантиль-квантиль плот для равномерного и бимодальных распределений представляют собой 
- Образную кривую. В случае равномерного распределения кривая стелется вдоль линии главного тренда, а в случае бимодального пересекает ее. Обращаю также ваше внимание на поведение буквы 
в нуле в случае бимодального распределения. Если разрыв между горбами велик, то квантильная зависимость в этом месте становится почти вертикальной.
Стоит прямо здесь научиться распознавать распределение Стьюдента, которое, как известно имеет более толстые хвосты, по сравнению со стандартным нормальном. Внимание на экран.
Здесь мы тоже видим змееобразную кривую, но она представляет собой букву 
зеркально-отраженную относительно линии главного тренда.
Бонус: Экспоненциальное распределение
На следующем рисунке изображён первый график из англоязычной статьи Википедии про Q-Q Plots. Обращаю еще раз ваше внимание на то, что значение квантильного графика в нуле — это медиана распределения, которое мы строим вдоль оси y. На данном квантильном графике не изображена линия главного тренда. Пунктирная прямая представляет график функции y = x.
Заключение
Если делать summary, то главным является следующее.
-
Если точки на графике Q-Q Plot стелятся вдоль какой-то прямой, то наши данные неплохо соответствуют теоретическим квантилям, отложенным по горизонтальной оси.
Если мы строим Q-Q Plot от теоретических квантилей стандартного нормального распределения, то:
-
Значение получившейся функции в нуле — это медиана нашей выборки. Вообще все квантили нашей выборки соответствуют квантилям распределения на оси x, а не только медиана :)
-
Тангенс линии тренда соответствует стандартному отклонению нормального распределения, наилучшим образом описывающем нашу выборку. Значение линии главного тренда в нуле соответствует его среднему значению
-
Равномерное распределение - это S-образная кривая, стелющаяся вдоль линии тренда, бимодальное распределение - это S-образная кривая, пересекающая линию тренда. t-распределение - это зеркально отраженная S-образная кривая.
Я буду рад, если моя статья поможет кому-то в понимании QQ-Plots. Поделитесь в комментариях вашим любимым учебным материалом по квантильным графикам или примером реального их использования в анализе данных.
Благодарю Анастасию Котликову за ценное обсуждение способов построения линии главного тренда и за помощь в интерпретации ее коэффициентов.
Автор:
volodya_research
