Весной этого года на великолепном образовательном ресурсе был запущен курс «Модельное мышление». Автор курса, Скотт Пейдж, затронул в нём довольно много разнообразных моделей, которые используются в большом количестве областей и в повседневной деятельности. Несмотря на то, что курс поставлен в рамках «экономического» направления на Coursera, он будет интересен многим специалистам и инженерам в области ИТ, поскольку моделирование — один из методов в рамках системного подхода, а системный подход — наше всё. Так что если кто-то ещё не изучал этот курс — рекомендую. Как раз его вторая инкарнация начнётся в сентябре (если уже не запущена).
Сам курс выглядит вводным, многие модели в нём рассматриваются достаточно поверхностно. Даже мне показалось, что сам Скотт Пейдж некоторые формализмы, которые описывает, понимает не до конца (доподлинно могу сказать об этом относительно функции Ляпунова — достаточно посмотреть соответствующую лекцию). Тем не менее, курс отлично ставит на место, классифицирует и систематизирует те знания, которые есть в голове. Ну и нового тоже добавляет, в этом сомнений нет.
Я выбрал ровно 50 моделей и других формализмов, которые рассматривались автором курса на протяжении 10 недель. Далее в этой заметке будут представлены краткие описания этих моделей и формализмов. Так что если кому-то интересно, то милости прошу. И я надеюсь, что эта заметка станет хорошим подспорьем тем, кто начнёт изучать этот курс.
Далее все модели и формализмы описываются несколькими предложениями под соответствующим заголовком. Модели для описания выбраны в соответствии с последовательностью проведения лекций.
01. Модель сегрегации Шеллинга
Для каждого индивидуума имеет место персональный порог «непохожести» соседей на него, при непревышении которого данный индивидуум остаётся в той зоне, в которой он проживает. Если порог превышен, то индивидуум переезжает, при этом ищет себе новое место, опять же исходя из этих же предпочтений.
02. Показатель расхождения
Демографический показатель, который показывает, как две группы распределяются по компонентам большого географического района. Показатель также можно интерпретировать как процент от одной из двух групп, входящих в расчёт. Индивидуумы используют этот показатель для принятия решения относительно переезда в модели сегрегации Шеллинга. Этот показатель также может использоваться как мера неравенства в распределении групп.
03. Модель Грановеттера
Модель, показывающая начало бунта толпы. Пусть есть некая условная (гипотетическая) толпа, в которой каждый индивидуум решает, начинать или поддерживать бунт или нет. Его решение зависит от того, что делают остальные участники толпы. Зачинщики начинают бунтовать вне зависимости от каких-либо сигналов, в то время как остальные индивидуумы должны получить достаточное количество свидетельств того, что «уже по всей стране началось». Такой порог восприятия может быть распределён в соответствии с некоторыми вероятностными моделями. Эта модель входит в класс динамических хаотических моделей, поскольку от небольших изменений порога восприятия катастрофически могут различаться результаты.
04. Модель оваций стоя
Модель показывает, как на публичных мероприятиях может распространяться сигнал к овациям стоя. При помощи данной модели клакеры могут рассчитывать, где им поместиться и в какой момент начинать аплодировать, чтобы вызвать бурные и продолжительные овации, переходящие в всеобщий оргазм.
05. Центральная предельная теорема
Класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
06. Шесть сигм
Концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980-е годы и популяризированная в середине 1990-х. Суть концепции сводится к необходимости улучшения качества выходов каждого из процессов, минимизации дефектов и статистических отклонений в операционной деятельности. Концепция использует методы управления качеством, в том числе, статистические методы, требует использования измеримых целей и результатов, а также предполагает создание специальных рабочих групп на предприятии, осуществляющих проекты по устранению проблем и совершенствованию процессов. Название происходит от статистического понятия среднеквадратичного отклонения, обозначаемого греческой буквой σ. Зрелость производственного процесса в этой концепции описывается как σ-рейтинг отклонений, или процентом бездефектной продукции на выходе, так, процесс качеством 6σ на выходе даёт 99,99966 % выходов без дефектов, или не более более 3,4 дефектных выходов на 1 млн операций. Компания Motorola установила в качестве цели достижение показателя качества 6σ для всех производственных процессов, и именно этот уровень и дал наименование концепции.
07. Игра «Жизнь»
Клеточный автомат, придуманный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 году. Джон Конвей заинтересовался проблемой, предложенной в 1940-х годах известным математиком Джоном фон Нейманом, который пытался создать гипотетическую машину, которая может воспроизводить сама себя. Джону фон Нейману удалось создать математическую модель такой машины с очень сложными правилами. Конвей попытался упростить идеи, предложенные Нейманом, и в конце концов ему удалось создать правила, которые стали правилами игры «Жизнь». Впервые описание этой игры было опубликовано в октябрьском (1970 год) выпуске журнала Scientific American, в рубрике «Математические игры» Мартина Гарднера.
08. Клеточные автоматы
Одномерный клеточный автомат, каждая клетка которого может быть в двух состояниях: ON и OFF. Для автомата задаются правила порождения следующего поколения, при этом данные правила основаны на зависимости следующего состояния клетки от текущих состояний трёх клеток — её самой и двух смежных. Является простейшей моделью вычислений.
09. Агрегирование предпочтений
При исследовании предпочтений применяется такой подход:
- Предпочтения могут быть упорядочены
- Рациональные предпочтения транзитивны
- Агрегация рациональных предпочтений может стать нерациональной
10. Многофакторное принятие решения
Факторный анализ позволяет решить две важные проблемы исследователя: описать объект измерения всесторонне и в то же время компактно. С помощью факторного анализа возможно выявление скрытых переменных факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными.
11. Пространственная модель выбора
Пространственные модели включают в себя любые формальные методы, которые изучают объекты при помощи их топологических, геометрических и географических свойств.
12. Дерево решений
Структура дерева представляет собой следующее: «листья» и «ветки». На рёбрах («ветках») дерева решений записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в «листьях» записаны значения целевой функции, а в остальных узлах — атрибуты, по которым различаются случаи. Чтобы классифицировать новый случай, надо спуститься по дереву до листа и выдать соответствующее значение. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая предсказывает значение целевой переменной на основе нескольких переменных на входе.
13. Стоимость информации
Определяет количество денег, которое лицо, принимающее решение, будет готово заплатить за информацию.
14. Модели рациональных действующих лиц
Модель рациональности принимает во внимание то, что люди при принятии решений и своей деятельности руководствуются рациональными мотивами, даже если они могут действовать эгоистично или альтруистично.
15. Поведенческие модели
Поведенческие модели представляют соответствие между поведением исходной системы и её модели. Аспект моделирования сделан именно на поведение, а сущность системы оставляется за рамками моделирования. При помощи поведенческих моделей можно предсказывать иррациональное поведение.
16. Модели, основанные на правилах
Модели, основанные на правилах, также используются для моделирования поведения человека и человеческих сообществ. Часто их легко построить, они охватывают основные эффекты, но при этом правила зачастую разрабатываются специальным образом. Одно из самых важных свойств таких моделей — расширяемость.
17. Категорийные модели
Категорийные модели являются предшественником линейных моделей. В этих моделях объекты классифицируются по нескольким категориям в зависимости от тех или иных свойств.
18. Линейные модели
Линейная модель описывает зависимость одной (объясняемой, зависимой) переменной Y от другой или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) X с линейной функцией зависимости.
19. Новая реальность
Линейные модели аппроксимируют наблюдаемые параметры только в определённых рамках. Несмотря на то, что линейные модели можно использовать для оценки нелинейных параметров, иногда переход к «новой реальности» даёт более совершенные результаты. Под новой реальностью понимается переворот в точке зрения на систему, смена осей или координат.
20. Точки перелома
В точках перелома небольшие изменения параметра влекут огромные эффекты. Точки перелома бывают прямыми и контекстными. Прямые точки перелома зависят от параметров самой модели. Контекстные точки перелома проявляются из-за каких-то неучтённых изменений в среде.
21. Фильтрационная модель
Среда представляется в виде связанных элементов — в простейшем случае, в виде двумерной матрицы, в которой каждый элемент связан с 4-мя (или с 8-ью) граничными. Каждый элемент матрицы может иметь какое-либо свойство с вероятностью p. Вопрос: при каком p можно пройти по ячейкам со свойствами от верхней границы матрицы до нижней?
22. Диффузное заражение
Диффузная модель заражения рассматривает взаимодействия двух индивидуумов и определяет скорость распространения заразной болезни в популяции. В данной модели скорость распространения зависит только от вероятности заражения и частоты контактов. Точек перелома нет.
23. Модель заражения SIR
S = Susceptible (восприимчивость), I = Infected (инфицирование), R = Recovered (излечивание). Одна из эпидемиологических моделей распространения заболевания, применяющаяся для заболеваний, против которых у человека формируется устойчивый иммунитет после излечивания.
24. Модель заражения SIS
Одна из эпидемиологических моделей распространения заболевания, которая применяется для заболеваний, против которых не формируется устойчивого иммунитета.
25. Экспоненциальный рост экономики
Экспоненциальное возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растёт со скоростью, пропорциональной её значению. Экспоненциальный рост всегда более быстр, чем любой степенной, и тем более, чем любой линейный рост.
26. Базовая модель экономического роста
Базовая модель экономического роста показывает количество производимого товара и услуг в зависимости от времени. Обычно измеряется в процентах от ВВП.
27. Модель экономического роста Солоу
Неоклассическая модель экономического роста Роберта Солоу основывается на производственной функции Кобба-Дугласа. Основное отличие модели Солоу от производственной функции заключается в том, что автор вводит технический прогресс как фактор экономического роста наравне с такими факторами производства как труд и капитал. Модель описывает влияние трёх вышеупомянутых факторов на экономический рост и описывается мультипликативной производственной функцией, составляющую основу модели, и рядом условий и ограничений.
28. Эвристики
Эвристика как наука занимается построением эвристических моделей процесса поиска оригинального решения задачи. Существует следующие типы таких моделей:
- модель слепого поиска, которая опирается на метод проб и ошибок;
- лабиринтная модель, в которой решаемая задача рассматривается как лабиринт, а процесс поиска решения — как блуждание по лабиринту;
- структурно-семантическая модель, которая исходит из того, что в основе эвристической деятельности по решению задачи лежит принцип построения системы моделей, которая отражает семантические отношения между объектами, входящими в задачу.
29. Совместное принятие решений
При совместном принятии решений активно используются эвристики и различные точки зрения. Это позволяет выйти из «локальных оптимумов», где, бывает, застревает решение, принимаемое в одиночку.
30. Рекомбинирование
Комбинирование решений ведёт к геометрическому росту возможностей в виду применения эвристик и использования различных точек зрения.
31. Перспектива и инновация
Перспективой называется представление множества всех возможных решений данной проблемы. Перспектива зависит от проблемы. Наилучшая перспектива имеет наилучший локальный оптимум.
32. Модель Маркова
Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Марковский процесс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»).
33. Функция Ляпунова
Траектория динамической системы называется устойчивой, если траектория с близким начальным условием «не сильно отличается» от исходной траектории. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.
34. Игра чистой кооперации
В теории игр, игры чистой кооперации относятся к классу игр с несколькими чистыми стратегиями равновесия Нэша, в которых игроки выбирают одинаковые или соответствующие друг другу стратегии. Такие игры являются формализацией проблемы кооперации, которая широко распространена в социальных науках, в том числе в экономике, — то есть в ситуациях, в которых все стороны смогут реализовать взаимную прибыль, но только путём взаимно согласованных решений.
35. Модель культуры Аксельрода
У каждого индивидуума в рамках одного культурного поля имеется набор значений выделенных свойств. Все индивидуумы взаимодействуют друг с другом с вероятностью, которая вычисляется на основании того, насколько схожими являются векторы их значений для культурных свойств.
36. Модель Беднар
В данной модели культура рассматривается с точки зрения теории игр в аспекте координации и сотрудничества. Координация рассматривается так же, как и в модели Аксельрода, а сотрудничество следующим образом. Выбираются два культурных атрибута, значение второго из которых устанавливается равным значению первого.
37. Модели с урнами
Урна содержит некоторое количество шаров различного цвета. Результат действия модели равен цвету вынутого шара.
38. Зависимость от пути
Разновидность модели с урнами. Цвета вынутых шаров в рассматриваемом периоде зависят от того, какие шары вынимались до этого периода (зависимость от истории).
39. Зависимость от пути, но не от порядка
Разновидность модели с урнами. Результат зависит от истории, но не зависит от порядка вынимания шаров того или иного цвета.
40. Сетевые модели
Сеть — это связный граф, с рёбрами которого может быть ассоциирована какая-либо дополнительная информация. Сеть имеет внутреннюю структуру, которая описывается несколькими метриками.
41. Модели случайного блуждания
Модель, в соответствии с которой изменения заданных параметров системы колеблются случайным образом вокруг своих «объективных» значений.
42. Умение и Удача
Если представить такие параметры, как Умение (Skill) и Удача (Luck) в виде долей, вносимых в общий результат процесса, то оказывается, что для профессиональных соревнований, в которых участвуют спортсмены с примерно одинаковым уровнем умения, значимость Удачи становится критичной.
43. Игра полковника Блотто
Игра полковника Блотто относится к классу игр двух игроков с нулевой суммой. Смысл заключается в одновременном распределении ограниченного количества ресурсов по нескольким объектам (битвам). Выигрыш в игре составляет количество побед в битвах, а победа в битве определяется количеством выставленных ресурсов — кто больше выставил на конкретную битву, тот и победил в ней.
44. Дилемма заключённого
Фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других. В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, не важно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.
45. Аукцион с повышением цены
Обычный аукцион, в котором участники повышают цену, и выигравшим является тот, кто предложил наибольшую цену. Платится эта наибольшая цена.
46. Аукцион второй цены
Обычный аукцион одной ставки, в котором участники указывают свою цену, и выигравшим является тот, кто предложил наибольшую цену. Платится цена, предшествовавшая наибольшей.
47. Закрытый аукцион
Аукцион, в котором участники знают только свою собственную цену, указывая её в закрытом конверте. Выигрывает тот, кто указал наибольшее значенеи цены.
48. Динамический репликатор
В математике, динамическим репликатором называется детерминированным монотонная нелинейная и неинновационная игровая динамика, используемая в эволюционной теории игр. Динамический репликатор отличается от других уравнений, используемых в модели репликации, тем, что он позволяет включать распределение типов населения, а не устанавливать один единственный тип. Это важное свойство позволяет динамическому репликатору отражать выбора.
49. Теорема Фишера
Чем выше стандартное отклонение в вариабельности типов, тем больше возможностей для адаптации.
50. Теорема о прогнозе разнообразия
Люди используют различные модели и методы принятия решений, так что мы можем оценить общую оценку при помощи стандартного отклонения.
Заключительные замечания
Для удобства читателей и слушателей курса я собрал всю информацию, приведённую в данной заметке, в одну таблицу «Список моделей, рассматривавшихся в курсе Model Thinking». Всякий желающий может внести дополнения в данную таблицу через комментирование данной заметки. Ну и ежели кто готов продолжить это дело, я могу дать доступ на запись к этой таблице.
Также любой желающий может скачать себе интеллект-карту, которую я составлял по мере обучения. Карта в формате XMind и находится здесь.
Автор: Darkus
