10. Особые линейные системы. Часть 2

в 7:16, , рубрики: SimInTech, тау

Продолжаем публикацию лекций по предмету "Управление в Технических устройствах" Автор Олег Степанович Козлов. Кафедра "Ядерные энергетические установки" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Это вторая лекция, гда теория автоматеского управления применяется непосредственно к таким устройствам как ядерные реакторы. 

В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.32.3 — 2.82.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1  Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2 Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3 Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4 Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5 Колебательное звено. 3.6 Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7 Форсирующее звено. 3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9 Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.
7. Точность систем автоматического управления. Часть 1 и Часть 2
8. Качество переходного процесса. Часть 1 и Часть 2
9. Синтез и коррекция систем автоматического регулирования (САР).
10. Особые линейные системы. Часть 1

10.5. Некоторые замечания по численному решению уравнений динамики CAP с запаздыванием. Идентификация запаздывающих звеньев набором простых линейных звеньев.

Расчет CAP, имеющих запаздывающие звенья имеет очень важную особенность, а именно: требуется хранить в оперативной памяти практически все промежуточные результаты расчета, что приводит (или может привести) к неприятным последствиям (увеличение расхода памяти), по сравнению с обычными диференциальными уравнениями.

Эти проблемы возникают, например, при решении задач в форме Коши (система обыкновенных дифференциальных уравнений):

Обычная САР:

left{ begin{align} x_1'=f_1(x_1,x_2, ... x_n) \ x'_2=f_2(x_1,x_2,...x_n) \ .....................\ x'_n=f_n(x_1,x_2,...x_n)end{align} right.

САР с запаздыванием:

left{ begin{align} x_1'=f_1(x_1,x_2, ... x_n, tau ) \ x'_2=f_2(x_1,x_2,...x_n, tau ) \ ........................\ x'_n=f_n(x_1,x_2,...x_n, tau )end{align} right.

В случае обычной CAP правые части уравнений – обычные линейные функции переменных состояния, и поэтому проблем решения не существует  например, с использованием матричных способов, или, например, с использованием конечно-разностных методов (Рунге-Кутта, Адамса и т.д.).

В случае CAP с запаздыванием необходимо сохранить все предыдущие результаты расчета по тем переменным состояния, которые используются и с запаздывающим аргументом. Например, если системе Коши  x_k= f(t), а x_{k+1}= f(t-tau), то необходимо на каждом шаге расчета (при t = t) использовать информацию о поведении x_k при t = t – tau;

Одним из наиболее эффективных способов решения («обхода») возникших трудностей является использование методов идентификации, заключающихся в замене запаздывающих элементов на более простые звенья (или набор звеньев) без особой потери точности.

Наибольшее распространение получили 2 способа:

- замена запаздывающего звена обыкновенным (типовым) звеном 2-го порядка;

- идентификация запаздывающего звена цепью из последовательно соединенных генерирующих звеньев (а период 1-го порядка).

Рассмотрим обоснование таких замен и их ограничения:

Замена звеном 2-го порядка:

W_{и.з.з}=e^{-scdottau}=frac{1}{e^{scdottau}}

раскладывая в ряд Тейлора:

W_{и.з.з}(s)approxfrac{1}{1+scdottau+frac{1}{2!}cdot(scdottau)^2+frac{1}{3!}cdot(scdottau)^3+ ....}

Отбрасывая слагаемые большего порядка малости

W_{и.з.з}(s)approxfrac{1}{frac{1}{2}tau^2cdot s^2+taucdot s+1}

А это подозрительно похоже на колебательное звено

Такой «прием» правомочен (корректен), если на CAP воздействуют только низкочастотные управляющие сигналы и τ – не велико.

frac{1}{2}cdot tau^2=T^2 Rightarrow T=frac{tau}{sqrt{2}};2cdotbetacdot T=tau Rightarrow frac{2cdot betacdot tau}{sqrt{2}}=tau Rightarrow beta=frac{sqrt{2}}{2}

β =frac{sqrt{2}}{2}    это предельный случай т.е. Lm(ω) не имеет «горба».

Рисунок 10.5.1 Замена задержки колебательным звеном

Рисунок 10.5.1 Замена задержки колебательным звеном
Рисунок 10.5.2 Годограф звена замены

Рисунок 10.5.2 Годограф звена замены

Замена (идентификация) цепью из последовательно соединенных инерционных звеньев.

Идея этого способа основана на следующих замечательных пределах:

lim_{nrightarrowinfty}(1+frac{1}{n})^n=e;   или   lim_{nrightarrowinfty}(1+frac{a}{n})^n=e^a

Рисунок 10.5.3 Замена временной задержки набором инерционных звеньев

Рисунок 10.5.3 Замена временной задержки набором инерционных звеньев

Т.к. имеется цепь из последовательно соединенных звеньев, то 

W_{экв}=prod_{j=1}^nW_j(s)=[W_j(s)]^n=frac{1}{(frac{tau}{n}cdot s+1)^n}approx e^{scdot t}

если n достаточно велико, то

e^{-scdot tau}=lim_{nrightarrowinfty}W_{экв}(s)=lim_{nrightarrowinfty}frac{1}{(1+frac{taucdot s}{n})^n};

Практика (опыт) показывает, что если n = 6 - 8(10), то свойство запаздывания идентифицируется почти точно (с очень небольшой погрешностью), см. рис. 10.5.4.

Рисунок 10.5.4. Замена задержки набором инерционных звеньев

Рисунок 10.5.4. Замена задержки набором инерционных звеньев

10.6 Простейшие трансцендентные звенья

На стадии приближенной оценки динамических характеристик теплогидравлического оборудования АЭС (парогенератор, теплообменник, сепаратор), тепловой автоматики (датчики теплового потока, термопары и т.д.), тепловыделяющих сборок, используется точечное описание нестационарных теплообменных процессов, когда элементы реакторной установки (имеющие, кстати, немалые размеры) в динамическом (нестационарном) плане представлялись материальной точкой, описываемой простейшим нестационарным уравнением теплового баланса типа:

rhocdot ccdot Vcdotfrac{dtheta(t)}{dt}=Q_1(t)-Q_2(t)                        mathbf{(10.6.1)}

где:

Q_1(t)- источниковый член, описывающий теплоту (энергию), выделившуюся в объеме рассматриваемого элемента (или переданную);

Q_2(t) - «стоковый» член, описывающий отвод теплоты от рассматриваемого элемента (тела);

theta(t)- температура элемента (тела).

Однако, при уточнении математического описания нестационарных процессов уравнение динамики переходит в класс уравнений с частными производными, поскольку для описания процессов переноса тепла приходится использовать нестационарное уравнение теплопроводности:

rhocdot ccdotfrac{partial theta(vec{r}cdot t)}{partial t}=frac{1}{vec{r}}cdotfrac{partial}{partialvec{r}}left[lambdacdotvec{r}cdotfrac{partialtheta(vec{r},t)}{partialvec{r}}right]+Q_1(vec{r},t)-Q_2(vec{r},t)+Q_k(vec{r}cdot t) \mathbf{(10.6.1)}

где:

vec{r} - радиус-вектор;

Q_k(vec{r},t) - конвективный перенос тепла;

lambda - коэффициент теплопроводности;

Q_1,Q_2 - источник и сток, соответственно.

Если температура некоторого элемента (звена) в любой момент времени является также функцией (явной или неявной) только одной пространственной координаты (например, длины или радиуса), то такое звено считается линейно-распределенным, а вся САР – линейно-распределенной. 

Уравнение теплового баланса принимает, например, следующий вид (без внутреннего источника тепла):

rhocdot c frac{partialtheta(x,t)}{partial t}+rhocdot ucdot c_rhocdot frac{partial theta(x,t)}{partial x}=lambdacdotfrac{partial^2theta(x,t)}{partial x^2}-Bcdot theta(x,t)        mathbf{(10.6.3)}

где:

u - скорость тепоноситлея;

B - коэффициент, характеризующий теплоотдачу. 

Примером линейно-распределенного звена может служить полубесконечное тело, нагреваемое, например, лучистым потоком (излучением), падающим перпендикулярно поверхности.

Рисунок 10.6.1 Поток тепла в теле

Рисунок 10.6.1 Поток тепла в теле

Уравнение теплового баланса в этом случае принимает вид:

rhocdot ccdot frac{partial theta(x,t)}{partial t}=lambdacdotfrac{partial^2theta(x,t)}{partial x^2}                                        mathbf{(10.6.4)}

В отличие от описания сосредоточенных моделей (точечное приближение) в данном случае задача формулируется несколько шире:

Точечное приближение:

  1. уравнение или система уравнений;

  2. начальные условия.

Линейно-распределенная САР (нестационарная краевая задача):

  1. уравнение или система уравнений;

  2. начальные условия;

  3. граничные условия (Г.У.).

Поэтому вывод передаточных функций (если это возможно) и сам процесс решения задачи в линейно-распределенных САР заметно (если не намного) сложнее.

Поскольку мы рассматриваем нестационарные тепловые процессы только в полубесконечном теле, то условия, связанные с лучистым потоком (q_r) и охлаждением полутела ( x=0) входят либо в начальные (Н.У.) или граничные условия (Г.У.).

В стационарном состоянии уравнение принимает вид:

frac{partial^2theta(x,t)}{partial x^2}=0                               mathbf{(10.6.5)}

В общем случае theta (x,t) можно представить как сумму стационарной и нестационарной составляющих: theta(x,t)=theta(x,0)+Deltatheta(x,t)перейдем к безразмерной переменной

tilde{T}(x,t)=frac{theta(x,t)-theta(x,0)}{theta(x,0)}Rightarrow theta(x,t)=theta(x,t)cdot[1+tilde{T}(x,t)]       mathbf{(10.6.6)}

если лучистый поток q_r(t)=0, то theta(x,0)=theta_0 - температура окружающей среды.

Подставляя в уравнение (10.6.4) и введя новую перменную

температуропроводность a=frac{lambda}{rho cdot c}, имеем:

theta(x,0)frac{partialtilde{ T}(x,t)}{partial t}=acdotfrac{partial^2 theta(x,0)}{partial x^2}+acdottilde{T}(x,t)frac{partial^2theta(x,0)}{partial x^2}+acdot theta(x,0)frac{partial^2tilde{T}(x,t)}{partial x^2}

Поскольку, в соответствии с условием (10.6.5)

frac{partial^2theta(x,0)}{partial x^2}=0

 следовательно, уравнение принимает вид:

frac{partialtilde{T}(x,t)}{partial t}=acdot frac{partial^2tilde{T}(x,t)}{partial x^2}                              mathbf{(10.6.7)}

Выполним решение уравнения (10.6.7) операторным методом, используя двумерные преобразования Лапласа:

tilde{T}(x,t)rightarrow T(x,s)=int_0^inftytilde{T}(x,t)cdot e^{-scdot t}dt;frac{partialtilde{T}(x,t)}{partial t}rightarrow scdot T(x,s);frac{partialtilde{T}(x,t)}{partial x}rightarrowfrac{partial}{partial x}T(x,s)

Tгода уравнение теплороводности в изображениях принимает вид:

scdot T(x,s)=acdotfrac{partial^2 tilde{T}(x,s)}{partial x^2}Rightarrowfrac{d^2T(x,s)}{dx^2}-gamma^2cdot scdot T(x,s)=0                           mathbf{(10.6.8)}

где: gamma=frac{1}{a} - новая постоянная.

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению (10.6.8) имеет «традиционный» вид:

chi^2-gamma^2cdot s=0Rightarrow chi_{1,2}=pmgammacdot sqrt{s}T(x,s)=c_1(s)cdot e^{-gammacdotsqrt{s}cdotchi}+c_2(s)cdot e^{gammacdotsqrt{s}cdotchi}               mathbf{(10.6.9)}

где постоянные c_1 и c_2 находятся из граничных условий. Учитывая, что при chi rightarrow infty мы должны получить не бесконечно большое значение T, lim_{rightarrow infty} T(x,s)<infty условие ограниченности требует с_2(s)=0. Тогда:

T(x,s)=c_1(s)cdot e^{-gammacdotsqrt{s}cdot x}                           mathbf{(10.6.10)}

Значение постоянной c_1(s), в принципе, может быть найдено из второго граничного условия, а именно, при х=0 , хотя в данном случае мы этого и не будем делать.

Изображения T(x,s) при х=0 и х=l принимают следующий вид:

a)   T(0,s)=c_1(s)         mathbf{(10.6.11)}\b)   T(l,s)=c_1(s)cdot e^{-gammacdotsqrt{s}cdot l}

Рассмотрим теперь различные типы граничных условий, которые определяют тепловое состояние при x=0.

10.6.1 Полузапаздывающее звено (граниченое условие 1-го рода)

Предположим, что процесс теплообмена в полубесконечном теле можно описать какой-то передаточной функцией, где входным воздействием будем считать температуру поверхности tilde{T}(0,l), а выходным результатом температуру на расстоянии l tilde(T)(l,t), см. рисунок:

Рисунок 10.6.2. Передаточная функция

Рисунок 10.6.2. Передаточная функция

По определению:

W(s)=frac{Y(s)}{X(s)}=frac{T(l,s)}{T(0,s)}=frac{c_1cdot exp(-gammacdotsqrt scdot)}{c_1(s)}=e^{-gammacdotsqrt{s}cdot l}W(s)=e^{-sqrt{taucdot s}}                            mathbf{(10.6.12)}

где: tau=gamma^2cdot l^2 - время задержки.

Выражение (10.6.12) соответствует передаточной функции полузапаздывающего звена (т.к. есть  sqrt{taucdot s})

Рассмотрим динамические свойства этого звена

АФЧХ

W(icdotomega)=W(s)_{s=icdot omega}=e^{-sqrt{icdottaucdotomega}}=e^{-sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{i}}sqrt{i}=left { begin{align}-frac{sqrt{2}}{2}-icdot frac{sqrt{2}}{2}\ frac{sqrt{2}}{2}+icdotfrac{sqrt{2}}{2} end{align} right.

Рисунок 10.6.3 Главное значение

Рисунок 10.6.3 Главное значение

W(icdotomega)=e^{-frac{sqrt{2cdottautauomega}}{2}}cdot e^{-icdotfrac{sqrt{2cdot taucdotomega}}{2}}begin{align}A(omega)=exp(-frac{sqrt{2cdottaucdotomega}}{2})\varphi(omega)=-frac{sqrt{2cdottaucdotomega}}{2}end{align}                          mathbf{(10.6.3)}

Рисунок 10.6.4. Годограф АФЧХ

Рисунок 10.6.4. Годограф АФЧХ
Рисунок 10.6.5 Амплитуда выходного сигнала

Рисунок 10.6.5 Амплитуда выходного сигнала
Рисунок 10.6.6 Фаза выходного сигнала

Рисунок 10.6.6 Фаза выходного сигнала

ЛAX:

begin{align} Lm(omega)=20cdot lg[A(omega)]=20cdotleft[ -frac{sqrt{2cdot taucdot omega}}{2}cdot lg(e)right]=\=-10cdot lg(e)cdotsqrt{2cdot taucdotomega}=-(10cdot lg(e)cdotsqrt{2cdot tau})cdotsqrt{omega}end{align}Lm(omega)=-(10cdot lg(e)cdotsqrt{2cdot tau})cdotsqrt{omega}            mathbf{(10.6.14)}

Переходная функция:

Предположим, что в момент времени t=0_+  безразмерная температура левой стенки «полутела» изменилась скачком и поддерживается постоянной и равной 1, следовательно, tilde{T}(0,t)=1(t) , следовательно, реакция звена в этом случае соответствует переходной функции:

h(t)=Z^{-1}[H(s)]=Z^{-1}left[frac{W(s)}{s}right]=Z^{-1}left[frac{e^{-sqrt{taucdot s}}}{s}right]=erfcleft[frac{1}{2}sqrt{frac{tau}{t}}right]h(t)=erfcleft[frac{1}{2}cdotsqrt{frac{tau}{t}}right]                 mathbf{ (10.6.1)}

Вот так рассматривая температуру стенки мы вышли на замечательную функцию ошибок Гаусса:

erfc=frac{2}{sqrt{pi}}int_y^infty e^{-u^2}du=1-erfy \erfy=frac{2}{sqrt{pi}}int_0^ye^{-u^2}dy

Рисунок 10.6.7 Функции ошибок Гауса

Рисунок 10.6.7 Функции ошибок Гауса

Весовая функция:

w(t)=h'(t)=frac{1}{2cdot t}sqrt{frac{tau}{picdot t}}cdot e^{-frac{tau}{4cdot t}}                      mathbf{(10.6.16)}

Введем новую переменную относительное время t/ tau тогда весовая функция:

w(t)=frac{1}{2cdotsqrt{pi}}cdotfrac{1}{tau}cdotfrac{tau}{t}cdotsqrt{frac{tau}{t}}cdot e^{-0.25cdotfrac{ tau}{t}}

Рисунок 10.6.8 Переходная функция

Рисунок 10.6.8 Переходная функция
Рисунок 10.6.9 Весовая функция

Рисунок 10.6.9 Весовая функция

По внешнему виду переходная h(t)  и весовая w(t)  функции звена «похожи» на соответствующие функции апериодического звена 2-го порядка.

Примером полузапаздывающего звена может служить термопара (малоинерционная) «зачеканенная» в массивную стенку (например, в бетонный корпус биологической защиты).

10.6.1 Полуинтегрирующее звено (граниченое условие 2-го рода)

Рассмотрим другое граничное условие при x=0. На стенке задан тепловой (лучистый) поток q_л(t). Тогда входным воздействием будем считать тепловой поток на стенку, а выходным воздействием – температуру поверхности «полутела»:

Рисунок 10.6.10 Переходная функция

Рисунок 10.6.10 Переходная функция

W(s)=frac{T(0,s)}{q_л(s)}                            mathbf{(10.6.17)}

Данную задачу можно трактовать следующим образом: при t=0_+ лучистый поток скачком изменился. Что будет с температурой поверхности?

q_л(t)=-lambdafrac{partialtilde{T}(x,t)}{partial x} |_{x=0}q_л(s)=-lambdacdotfrac{partial T(x,s)}{partial x}|_{x=0}                    mathbf{(10.6.18)}q_л(s)=-lambdacdotleft [-c_1(s)cdotgamma^{sqrt{s}cdot e^{-gamma^{sqrt{scdot x}}}} right]_{x=0}=c_1(s)lambdacdot gammacdot sqrt{s}              mathbf{(10.6.19)}

Учитывая, что T(0,s)=c_1(s), подставим в формулу (10.6.17):

W(s)=frac{c_1(s)}{c_1(s)cdotlambdacdotgammacdot sqrt{s}}=frac{1}{sqrt{taucdot s}}                       mathbf{(10.6.20)}

где: tau=lambda^2cdotgamma^2

Выражение (10.6.20) соответствует передаточной функции полуинтегрирующего звена (т.к. есть sqrt{taucdot s}.

Определим динамические свойства этого звена:

АФЧХ (не могу удрежатся что бы не вывести):

W(icdotomega)=frac{1}{sqrt{icdottaucdot omega}}=frac{1}{sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{i}}=frac{sqrt{1-i^2}}{sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{i}cdotsqrt{(1-i^2)}}=\=frac{sqrt{2}}{sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{i-i^3}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{taucdot omega}cdotsqrt{2cdot i}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{1+2cdot i+i^2}}=\=frac{sqrt{2}}{sqrt{taucdotomega}cdotsqrt{(1+i)^2}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{taucdotomega}cdot(1+i)}=frac{sqrt{2}cdot (1-i)}{sqrt{taucdotomega}cdot(1^2-i^2)}W(icdotomega)=frac{sqrt{2}}{2cdotsqrt{taucdotomega}}cdot{(1-i)}                            mathbf{(10.6.21)}u(omega)=frac{sqrt{2}}{2cdotsqrt{taucdot omega}};      v(omega)=-frac{sqrt{2}}{2cdot{sqrt{taucdot omega}}}                    mathbf{(10.6.22)}

Из формул 10.6.22 получаем выражение амплитуды A(omega) для varphi(omega) :

varphi(omega)=arctgfrac{v(omega)}{u(omega)}=arctg(-1)=-frac{pi}{4}          mathbf{(10.6.23.a)}A(omega)=frac{1}{sqrt{taucdotomega}}                          mathbf{(10.6.23.b)}

Рисунок 10.6.11 Графики , , .

Рисунок 10.6.11 Графики W(icdotomega),A(omega) , varphi(omega)  .

ЛАХ Логарифмическая амплитудная характеристика:

Lm(omega)=20cdot lg[A(omega)]=-10cdot lg(taucdotomega)                         mathbf{(10.6.24)}

Из формулы (10.6.24) следует, что наклон равен -10дБ/дек:

Рисунок 10.6.12. ЛАХ

Рисунок 10.6.12. ЛАХ

Поскольку данное звено полуинтегрирующее, то и наклон ЛАХ равен половине от обычного интегрирующего, т.е. наклон = ½ (-20дБ/дек) = -10дБ/дек

Найдем переходную и весовую функции звена:

h(t)=Z^{-1}[H(s)]=Z^{-1}left[frac{W(s)}{s} right]=Z^{-1}left[frac{1}{scdotsqrt{taucdot s}} right]

Переходная функция h(t):

h(t)=2cdotsqrt{frac{t}{picdot tau}}                       mathbf{(10.6.25)}

Весовая функция звена :

w(t)=frac{1}{sqrt{picdot tcdottau}}cdot 1(t)                    mathbf{(10.6.26)}

Рисунок 10.6.13. Перходная и весовая функции

Рисунок 10.6.13. Перходная и весовая функции

10.6.3 Полуинерционное звено (Г.У. 3-го рода)

Рассмотрим еще одно Г.У. при x=0 - на поверхности задан тепловой поток и закон теплосъема, т.е. поверхность охлаждается какой-то (прозрачной) жидкостью.

Следовательно, лучистый поток, падающий на стенку, отводится вглубь тела теплопроводностью и в охлаждающую жидкость посредством конвективного обмена. Тогда уравнение физики, c учетом коэффициент теплоотдачи alpha будет выглядеть так:

q_л(t)=-lambdafrac{partialtilde{T}(x,t)}{partial x}|_{x=0}+alphacdottilde{T}(x,t)|_{x=0}q_л(s)=-lambdacdotfrac{dT(x,s)}{dx}|_{x=0}+alphacdot T(x,s)|_{x=0}                    mathbf{(10.6.27)}

Пусть входным воздействием будет q_л(t), а выходным воздействием T(0,t)– температура поверхности, тогда:

Рисунок 10.6.14 Схема полупереадического звена

Рисунок 10.6.14 Схема полупереадического звена

Передаточная функция:

W(s)=frac{T(0,s)}{q_л(s)}                          mathbf{(10.6.28)}

Подставляя в выражение (10.6.28) значение T(0,s) и q_л(s), получаем:

W(s)=frac{c_1(s)}{lambdacdotgammacdot sqrt{s}cdot c_1(s)+alphacdot c_1(s)}=frac{1/alpha}{frac{lambdacdotgamma}{alpha}sqrt{s}+1}=frac{k}{sqrt{frac{lambda^2cdotgamma^2}{alpha^2}cdot s}+1}W(s)=frac{k}{sqrt{taucdot s}+1}                                mathbf{(10.6.29)}

где:

k=frac{1}{alpha},     tau=frac{lambda^2cdot gamma^2}{alpha^2}

Выражение (10.6.29) соответствует передаточной функции полуинерционного звена (полуапериодическое 1-го порядка).

Определим динамические свойства данного звена:

W(icdotomega)=frac{k}{sqrt{taucdot icdot omega}+1}=frac{k}{sqrt{taucdotomega}cdotfrac{sqrt{2}}{2}cdot(1+i)+1}=\=frac{k}{(1+frac{sqrt{2cdottaucdotomega}}{2})+icdotfrac{sqrt{2cdottaucdotomega}}{2}}

Следовательно, опуская выкладки, нарисуем графики:

Рисунок 10.6.15 Годограф АФЧХ. Амплидуда и фаза

Рисунок 10.6.15 Годограф АФЧХ. Амплидуда и фаза

Амплитуда:

A(omega)=frac{k}{sqrt{left(1+frac{sqrt{2cdot taucdotomega}}{2}right)^2+frac{taucdotomega}{2}}}

ЛАХ:

Lm(omega)=20cdot lg(k)-10cdot lg[1+sqrt{2cdottaucdotomega}+taucdotomega]              mathbf{(10.6.30)}

Анализ формулы (10.6.30) показывает, что при  асимптотический наклон ЛАХ будет составлять -10 дБ/дек.

Рисунок 10.6.16 ЛАХ полуинерционного звена

Рисунок 10.6.16 ЛАХ полуинерционного звена

Внешне ЛАХ «похож» на ЛАХ апериодического звена 1-го порядка, только наклон равен -10 дБ/дек.

Найдем выражения для переходной h(t) и весовой функции w(t):

h(t)=kcdotleft[ 1-e^{frac{t}{tau}}cdot erfcsqrt{frac{t}{tau}}right]\w(t)=frac{k}{tau}cdotleft[ sqrt{frac{tau}{picdot t}}-e^{frac{t}{tau}}cdotsqrt{frac{t}{tau}}right]

Рисунок 10.6.17. Графики переходной и весовой функции

Рисунок 10.6.17. Графики переходной и весовой функции

Автор: petuhoff

Источник

* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js