Данная статья посвящена собственной реализации (солвер Joker FEM) метода конечных элементов для систем уравнений диффузии-реакции.
Обычно предпочтительнее использовать готовые решения, однако если в задаче есть специфические особенности, то на основе простой библиотеки задачу решить легче.
Введение
Метод конечных элементов [1-4] — группа эффективных методов решения задач математической физики, механики сплошных сред. Вопросам программирования МКЭ посвящены источники [5-9].
Постановка задачи
Краевая задача Робина для системы уравнений диффузии-реакции в ограниченной области с границей :
Здесь , — вектор внешней нормали к .
Слабая формулировка
Умножим каждое из уравнений на произвольную тестовую функцию , проинтегрируем полученные тождества по , применим формулу Грина и учтем граничные условия. Получим
Введем функциональное пространство Соболева . Функции называются слабым решением исходной краевой задачи, если указанные тождества выполняются для произвольной тестовой функции .
Слабую формулировку можно записать в следующем виде: найти функции такие, что
где — билинейные формы, — линейная форма:
Алгоритм МКЭ
Введем в пространстве конечномерное подпространство . Согласно методу Галёркина, приходим к дискретной задаче: найти функции такие, что
Пусть — базис . Если положить , , то задача сводится к СЛАУ относительно неизвестных :
или
Простейший пример подпространства — пространство непрерывных кусочно-линейных функций. Область разбивается на конечные элементы (обычно треугольники), и на каждом треугольнике функции из линейны. В МКЭ базисные функции выбираются так, чтобы на большей части области они обращались в ноль, тогда в матрице СЛАУ будет много нулей. В качестве базисных функций берут "пирамидки", которые равны 1 в одном узле сетки и 0 в остальных узлах. Каждому узлу сетки соответствует своя базисная функция, и размерность подпространства равна числу узлов сетки.
Отметим, что если -й и -й узлы не соединены ребром, то , , поэтому при суммировании по достаточно перебрать только индексы , для которых между -м и -м узлами есть ребро либо .
Таким образом, решение краевой задачи методом конечных элементов сводится к построению и решению соответствующей СЛАУ.
Кусочно-линейные функции
Чтобы задать функцию , нужно указать ее значения в узлах сетки. Обозначим координаты -го узла через , а значение функции в -м узле — через .
Чтобы найти значение функции в произвольной точке , принадлежащей треугольнику с -й, -й и -й вершинами, введем барицентрические координаты , которые принимают значения от 0 до 1 и связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями (см. [3, разд. 4.7.1], [4, с. 35]):
Отсюда
где — площадь треугольника со знаком.
Значение функции можно найти по формуле .
Численное интегрирование
Сведем интеграл по граничному ребру с -м и -м концами к интегралу по отрезку :
Здесь — длина ребра, ,
.
Для вычисления последнего интеграла применим квадратурную формулу Гаусса:
Точки и весовые множители берутся из таблицы [3, разд. 5.9.2].
Сведем интеграл по треугольнику с -й, -й и -й вершинами к интегралу по треугольнику :
Здесь — площадь треугольника, ,
.
Для вычисления последнего интеграла применим квадратурную формулу [3, разд. 5.11].
Программная реализация
Общие соображения
В данной предметной области тестирование затруднено [10], поэтому важно, чтобы код был написан предельно ясно. ООП позволяет повысить читабельность кода, для применения ООП нужно выделить набор понятий и сформулировать алгоритм в этих терминах. Это дает возможность в первую очередь обращать внимание на алгоритм, а только потом на детали реализации.
Триангуляция
Для построения сетки используется пакет FreeFem++, триангуляция сохраняется в формате .mesh.
В библиотеке вводится класс Mesh
, содержащий информацию о сетке, которая считывается из файла.
Построение СЛАУ
Для записи алгоритма вводятся классы базисных функций и подынтегральных функций (произведений функций), которые унаследованы от базовых классов Integrand
и BoundaryIntegrand
. В этих классах есть поля support
(носитель) и boundary_support
(граничный носитель) соответственно. Носитель — это список треугольников, на которых функция не равна 0. Граничный носитель — это список граничных ребер, на которых функция не равна 0. Также для классов подынтегральных функций определен метод Value
, который вычисляет значение функции в заданной точке.
Функции Integrate
и BoundaryIntegrate
принимают на вход подынтегральную функцию, перебирают список-носитель и вызывают функцию интегрирования по заданному треугольнику (или граничному ребру), которая определена в базовом классе Integrand
(BoundaryIntegrand
) и вызывает виртуальную функцию Value
.
Таким образом, код построения СЛАУ имеет простой вид:
for (int i = 0; i < data.N; ++i) {
for (int j = 0; j < data.mesh.nodes_num; ++j) {
for (auto s : data.mesh.adjacent_nodes[j]) {
sys.AddCoeff(i, j, i, s,
data.a[i] * Integrate(grad(phi[s]) * grad(phi[j]))
+ BoundaryIntegrate(data.b[i] * phi[s] * phi[j])
);
}
for (int k = 0; k < data.N; ++k) {
for (auto s : data.mesh.adjacent_nodes[j]) {
sys.AddCoeff(i, j, k, s,
Integrate(data.q[i][k] * phi[s] * phi[j])
);
}
}
sys.AddRhs(i, j,
Integrate(data.g[i] * phi[j])
+ BoundaryIntegrate(data.b[i] * data.w[i] * phi[j])
);
}
}
Решение СЛАУ
Для решения СЛАУ применяется библиотека MTL4.
Доступ к результату
Для нахождения значения решения в заданной точке необходимо за короткое время найти треугольник, содержащий данную точку. Для этого можно использовать хеш-таблицу.
Разобьем объемлющий прямоугольник области на блоков, где , , — длина и ширина объемлющего прямоугольника, — средние размеры объемлющих прямоугольников треугольников триангуляции.
Для каждого из блоков заполним список треугольников, которые его пересекают. Для этого переберем все треугольники и найдем их объемлющие прямоугольники,
для которых легко найти пересекающие их блоки.
При выполнении запроса для заданной точки находим блок, которому она принадлежит, и просматриваем соответствующий этому блоку список треугольников, проверяя, которому из них принадлежит заданная точка.
Тестирование
Тестирование программы проводилось на задачах с известным точным решением. При удвоенном измельчении сетки погрешность уменьшается примерно в 4 раза или в 2 раза, что свидетельствует о том, что метод имеет 2-й или 1-й порядок точности. Уменьшение порядка сходимости до 1-го может быть связано с несогласованностью граничных условий на стыках частей границы, на которых заданы разные значения функции .
Заключение
Преимущество разработанной библиотеки перед крупными солверами — ее простота, а также возможность учесть специфические особенности задачи (кусочно-постоянный коэффициент в граничном условии). В дальнейшем планируется реализовать аналогичную библиотеку для 3-мерных задач, которая будет использована для решения задач оптимального управления граничным коэффициентом в модели сложного теплообмена, где данный коэффициент является кусочно-постоянным [11].
Источники
- Алексеев Г.В. Численные методы математической физики. Введение в метод конечных элементов. Владивосток: Дальнаука, 1999.
- Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. Казань: КГУ, 2004.
- Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Elsevier, 2005.
- Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
- Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона // Хабрахабр, 27.07.2015.
- Написание МКЭ расчетчика в менее чем 180 строк кода //
Хабрахабр, 01.12.2015. - Практика использования Freefem++ // Хабрахабр, 06.06.2013.
- Gockenbach M.S. Understanding and implementing the finite element method. SIAM, 2006.
- Smith I.M., Griffiths D.V., Margetts L. Programming the finite element method. Wiley, 2014.
- Почему юнит-тесты не работают в научных приложениях // Хабрахабр, 26.04.2010.
- Гренкин Г.В. Алгоритм решения задачи граничного оптимального управления в модели сложного теплообмена // Дальневост. матем. журн. 2016. Т. 16. № 1. С. 24-38.
Автор: Глеб Гренкин