Оцифровка и аппроксимация графиков функций при помощи Wolfram Mathematica и Graph Digitizer

С задачей оцифровки графиков функций и кривых приходится сталкиваться почти каждому инженеру и студенту. Традиционный «ручной» метод очень неудобен и к тому же вносит большие погрешности в данные. Для единоразовой задачи этот метод не так плох, но если графиков больше чем один и на каждом изображена не одна кривая, а семейство кривых?

В процессе выполнения лабораторных практикумов по физике перед мной часто встает задача определить значение функции по её графику представленному на бумаге, для выполнения дальнейших расчётов. Так как обработка подобных графиков на компьютере значительно повышает скорость и точность этого процесса, то было решено изучить возможности для оцифровки графика и построения математической модели кривой, представленной на графике.

В качестве примера, я взял график зависимости КПД генератора от его мощности из лабораторного практикума по электротехнике. Входе выполнения работы мной было выполнено сканирование графика, обработка изображения графика, оцифровка координат и построение математической модели кривой.

1. Подготовка изображения

После сканирования первым делом необходимо привести полученное изображение к полноценному контрасту и выровнять одну из осей графика. Далее необходимо увеличить резкость и изменить размер изображения. При слишком большом размере и разрешении возникают трудности на последующих этапах работы.

Обработку изображений я рекомендую программу Adobe Photoshop. При помощи инструмента Curves добиваемся полноценного контраста, далее при помощи фильтра Smart Sharpen повышаем резкость. Несомненным плюсом Photoshop является возможность обработки большого количества изображений путем записи экшена (Action) и применения его совместно с пакетной обработкой (File – batch processing).

Для большего ускорения процесса обработку можно производить в программе сканирования при помощи заранее заготовленных пресетов или автоматических алгоритмов.

Рисунок 1.1 – Изображение графика До обработки и После обработки

2. Оцифровка координат

Для оцифровки координат я использовал условно-бесплатную программу GetData Graph Digitize версии 2.26. После запуска программы открываем наше обработанное изображение «Файл – Открыть изображение». После открытия, перед нами предстанет стандартное рабочее пространство.

Рисунок 2.1 – Стандартный интерфейс Graph Digitize

2.1. Установка системы координат (СК)

Первое, что нам необходимо сделать – это установить систему координат, т.е. обозначить линии осей. Для этого переходим «Команды – Установить систему координат». Далее зажав ЛКМ находим точку начала координат и кликаем по ней. В появившемся окне вводим значение начала координат (Xmin). Далее аналогично устанавливаем значения Xmax, Ymin и Ymax. Для удобной установки точек необходимо открыть окошко лупы «Вид — Лупа». После установки опорных точек отобразятся линии осей и откроется окно «Параметры Системы координат» в котором можно переназначить значения опорных точек и установить логарифмический масштаб оси.

Для визуального контроля качества установки СК можно отобразить сетку с заданным шагом «Вид – Показывать сетку». В случае корректной установки СК линии сетки должны быть строго параллельны линиям на изображении графика. Стоит отметить, что при сканировании разворотов график часто оказывается в районе сгиба, и одна из осей получается изогнутой. В данном случае корректно установить СК не представляется возможным, поэтому на этапе сканирования следует плотнее прижимать разворот к стеклу.

Рисунок 2.2 – Вид с установленной системой координат и сеткой

2.3. Оцифровка кривой

Приступим к установке точек на графике. Для этого перейдем в режим установки точек (Ctrl+P). В данном режиме клик ЛКМ устанавливает новую точку. Для отображения таблицы координат выбранных точек необходимо перейти «Вид – Окно информации». Для удаления точек используется ластик точек данных «Команды — Ластик точек данных» (Ctrl + E)

По моему опыту большее количество точек необходимо устанавливать в окрестности точек перегиба кривой, на линейных участках кривой можно ограничится небольшим их количеством.

Если на графике присутствует больше чем 1 кривая или семейство кривых, то после установки точек на первой нужно добавить новую линию «Команды – Добавить линию». После чего можно будет выставить точки на второй кривой и т.д.

Если на изображении графика нет сетки, то можно воспользоваться автоматическим алгоритмом трассировки кривой (Ctrl + T). При наличии сетки алгоритм выдает много ошибок.

Рисунок 2.3 – Вид с установленными точками на кривой

2.4. Экспорт данных

Для дальнейшей обработки полученных данных необходимо экспортировать координаты точек в .txt файл или в буфер обмена (удобно в случае если у нас только одна кривая). В программе GetData Graph Digitize экспорт в .txt выполняется вызовом команды «Файл – Экспорт данных» (Ctrl + Alt + E). После нажатия в открывшемся окне предлагается задать путь сохранения и имя файла.

В меню «Установки – Параметры» устанавливается формат вывода данных. Там же можно включить сортировку точек по значению координаты X, если на вашей кривой для каждого X существует уникальный Y, для исключения случайных ошибок в последовательности установке точек.

Рисунок 2.4 – Установки экспорта

3. Построение математической модели кривой

В финале выполним аппроксимацию полученных данных и проверим корректность полученной математической модели. Для этого я предлагаю использовать систему компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Для быстрого импорта данных в Wolfram Mathematica скопируем координаты точек из экспортированного файла и вставим в пустую ячейку Excel. В итоге на листе появятся 2 колонки данных X и Y соответственно.

Рисунок 3.1 – Данные в Excel

Следующим шагом создаем новый документ Wolfram Mathematica и перетягиваем в него файл Excel. В итоге образуется список списков, содержащий координаты точек. Присвоим ему переменную data.

Рисунок 3.2 – Импортированные данные в Wolfram Mathematica

Отобразим импортированные данные при помощи функции ListPlot[].

Рисунок 3.3 – Графическое отображение точек в виде диаграммы разброса данных

Аппроксимируем точки полиномом 5й степени. Для этого используем функцию LinearModelFit[]. В итоге мы получим объект класса FittedModel[]. Присвоим ему переменную fit.

Вычислим коэффициент детерминации R^2, показывающий какую долю вариации (разброса) переменной, объясняет полученное уравнение. Чем ближе данный коэффициент к единице, тем большую долю вариации объясняет уравнение. Для этого в качестве аргумента функции fit укажем «RSquared». В данном случае R^2 = 0.99, это значит, что наша модель объясняет 99,9% вариации переменной.

Для вычисления значения Y необходимо в качестве аргумента к функции fit указать требуемое значение X.

Рисунок 3.4 – Аппроксимация точек, вычисление коэффициента детерминации и вычисление значения функции

Кроме вычисления коэффициента детерминации, проведем регрессионный анализ. В этот раз в качестве аргумента функции fit укажем «ANOVATable». По полученному результату, можно утверждать, что оправданно использование каждого члена аппроксимирующего полинома. Отобразим полученное уравнение в явном виде, для этого к переменной fit применим функцию Normal[].

Рисунок 3.5 – Регрессионный анализ и полином в явном виде

Далее построим график полинома и отобразим на нем исходные точки. При помощи стандартного синтаксиса настроим стиль графика добавим подписи к осям и название графика.

Рисунок 3.6 – Итоговый график

Рисунок 3.7 – Сравнение итогового графика с исходными данными

Возможности для анализа математической модели в Wolfram Mathematica воистину огромны, но мы ограничимся представленными выше. Интересующиеся могут узнать больше путем вычисления функции fit[«Properties»].

Вывод:

В итоге мы изучили возможности применения Wolfram Mathematica и Graph Digitizer для оцифровки графиков и подбора математической модели кривой. Использованное программное обеспечение позволяет выполнить поставленную задачу с минимальными усилиями и с высоким качеством.

P.S: В комментариях вкратце можете рассказать часто ли Вам приходится сталкиваться с подобной задачей в вашей деятельности? Буду рад ответить на вопросы.

Автор: Colorbit

Источник