Рекурсивный фильтр скользящего среднего

Да, дорогой читатель, такое тоже бывает, и может быть вкусно и полезно!

Как ты уже наверняка знаешь, дорогой читатель, существует два способа построения цифровых фильтров. Это рекурсивные фильтры, они же фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), и трансверсальные фильтры, они же фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Самым простым и широко используемым фильтром КИХ является «фильтр скользящего среднего». Результат фильтрации такого фильтра, есть среднее арифметическое последних N отсчетов входного сигнала.

Или, в развернутом виде, для N=4:

Функция на языке С реализующая фильтр скользящего среднего:

#define N (4)
int filter(int a)
  {
  static int m[N];
  static int n;
  m[n]=a;
  n=(n+1)%N;
  a=0;
  for(int j=0;j<N;j++){a=a+m[j];}
  return a/N;
  }
 

Комплексный коэффициент передачи фильтра скользящего среднего, нормированный относительно частоты дискретизации, определится как преобразование Фурье от импульсной характеристики:

График амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), нормированной относительно частоты дискретизации, при различных значениях длинны фильтра (N=4;8;16), приведен на рисунке:

Соответственно, график фазо-частотной характеристики (ФЧХ):

Данный фильтр нашел широкое применение в обработке сигналов, отчасти благодаря своей простоте, но самое главное его свойство — линейная фазо-частотная характеристика, и, соответственно, постоянное во всей полосе частот время запаздывания сигнала. Этот фильтр трансформирует амплитудный спектр сигнала, не затрагивая фазовый, что делает удобным его использование в системах регулирования. Фильтр скользящего среднего, благодаря своей линейной переходной характеристике, широко применяется при линейной интерполяции, передискретизации сигнала и т.п.

Главный недостаток фильтра скользящего среднего — вычислительная сложность, пропорциональная длине фильтра N. Для решения этой проблемы существует рекурсивный фильтр скользящего среднего. То есть, фильтр, имеющий те же характеристики, что и классический фильтр скользящего среднего, но реализованный по рекурсивной схеме. Такие типы фильтров широко известны в узких кругах, и называются: рекурсивные фильтры с линейной ФЧХ [Введение в цифровую фильтрацию. Под. ред. Богнера Р. М: 1976] или CIC-фильтры [DspLib]. Существует научная школа проф. Турулина И.И. [РГБ], занимающаяся исследованием подобных фильтров.
Покажем способ построения рекурсивного фильтра скользящего среднего на примере фильтра длинной N=4. Впоследствии нетрудно будет обобщить результаты на произвольную длину фильтра.

Как было отмечено выше, значение n-ного отсчета сигнала на выходе фильтра можно определить как:

А значение предыдущего, ((n-1)-го) отсчета:

Вычтем из первого выражения второе, в результате получим:

Нетрудно сообразить, что при произвольной длине фильтра N, уравнение запишется в следующем виде:

(1)

На основании приведенного уравнения можно записать код фильтра на языке С, но сначала мы выполним проверку наших выкладок. Найдем частотные характеристики рекурсивного фильтра скользящего среднего, для чего выполним Z-преобразование уравнения фильтра. Хочу напомнить дорогому читателю, что для выполнения Z-преобразования необходимо заменить переменные (x_n,y_n) их Z-отображениями (X,Y), каждое понижение индекса переменной на единицу соответствует умножению Z^-1.

Решим полученное уравнение относительно Y/X –коэффициента передачи фильтра

Перейдем из Z-области в частотную область, заменив на , и получим комплексный коэффициент передачи:

Построим график модуля комплексного коэффициента передачи (АЧХ фильтра), при различных значениях N=4,8,16:

А также аргумент комплексного коэффициента передачи (ФЧХ фильтра):

Как видно из приведенных графиков, частотные характеристики классического фильтра скользящего среднего и рекурсивного фильтра скользящего среднего полностью совпадают.

Перейдем к реализации фильтра. При непосредственной реализации по уравнению фильтра (1) в условиях целочисленной арифметики возможны некоторые трудности. При выполнении операции деления на N в целочисленной арифметике возникает потеря значащих разрядов, что приводит к нелинейным искажениям сигнала на выходе фильтра. Для разрешения этих трудностей необходимо исключить операцию деления из рекуррентного уравнения фильтра. Для чего умножим обе части уравнения фильтра (1) на N.

В полученном выражении выполним подстановку:

В результате уравнение фильтра (1) преобразуется в систему уравнений:

На основании системы уравнений фильтра запишем код, реализующий фильтр на языке С.

#define N (4)
int filter(int x)
  {
  static int n;
  static int m[N];
  static int y;
  y=y+(x-m[n]);
  m[i]=x;
  n=(n+1)%N;
  return y/N;
  }

Стоит отметить, что любители «совершенного кода» могут наложить ограничивающие требования на длину фильтра N. При длине фильтра, равной степеням двойки (2,4,8,16…), можно заменить операцию деления (/) арифметическим сдвигом (>>), операцию остаток от деления (%) — побитовой конъюнкцией (&).

Заключение.
Дорогой читатель, целью данной публикации не столько познакомить тебя с рекурсивным фильтром скользящего среднего, очень может быть, что ты про него прекрасно знаешь. Цель данной публикации познакомить тебя, дорогой читатель, с некоторыми практическими приемами анализа и синтеза цифровых фильтров. Посмотри, как просто мы перешли от трансверсального фильтра к рекурсивному, и Z-преобразование не так страшно, как его малюют. Надеюсь также, что метод повышения точности вычисления рекуррентных выражений в условиях целочисленной арифметики будет полезен тебе.
Успехов тебе, дорогой читатель!

Автор: IBAH_II

Источник