Сумма степеней натурального ряда. Часть 1

2024-07-03 в 7:08, admin, рубрики: Без рубрики

Вам наверняка известна история о математике Карле Гауссе. Когда ему было восемь лет, учитель задал его классу посчитать сумму всех натуральных чисел от до :

И пока остальные дети трудились над последовательным сложением, Гаусс нашел простое и изящное решение. Он заметил, что числа можно сгруппировать в пар с одинаковой суммой:

$underbrace{1 + 100}_{101}=underbrace{2 + 99}_{101}=underbrace{3+ 98}_{101}=underbrace{4 + 97}_{101}=dots=underbrace{49 + 52}_{101}=underbrace{50 + 51}_{101}$

и мгновенно получил ответ .

Достаточно несложно вывести общую формулу для суммирования произвольного количества натуральных чисел. Найти суммы для сложения вторых, третьих, четвертых и так далее степеней натуральных чисел уже значительно сложнее.

В этой статье мы рассмотрим графический метод нахождения формул для суммы степеней натурального ряда

для значений .

Случай k = 1

Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы натуральных чисел от до :

Изобразим числа в этой сумме соответствующим числом квадратов:

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 12

Несложно заметить, что количество квадратов в такой фигуре и есть искомая сумма.

Соединим две такие фигуры:

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 13

Получим прямоугольник со сторонами и . Площадь такого прямоугольника вычисляется по формуле . Значит, искомая сумма равна половине площади прямоугольника, то есть:

$1 + 2 + 3 + ldots + n=dfrac{ncdot (n+1)}{2}$

Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в виде:

$1 + 2 + 3 + ldots + n=dfrac{1}{2}n^2+dfrac12n$

Случай k = 2

Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы квадратов натуральных чисел от до :

Рассмотрим прямоугольную таблицу размером на , заполненную числами так, как показано на рисунке ниже:

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 24

Суммы чисел, помеченных зеленым и сиреневым цветами, очевидно равны:

$underbrace{1}_{1 , число} + underbrace{2 + 2}_{2 , числа}+ underbrace{3 + 3+ 3}_{3 , числа} +ldots+underbrace{n+n+n+ldots+n}_{n , чисел}=1^2+2^2+3^2+ldots+n^2$

Рассмотрим сумму чисел, помеченных желтым цветом.

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 26

Складывая числа по красным ломаным, как указано на картинке выше, получим:

$1 + (1+2+1)+(1+2+3+2+1)+ (1+2+3+4+3+2+1) + ldots+\[10pt] + ,(1+2+3+ldots +n + n-1+n-2+ldots+1)=\[10pt]=1+4+9+16+ldots+n^2=1^2+2^2+3^2+ldots+n^2$

Таким образом, сумма всех чисел в прямоугольной таблице есть утроенная искомая сумма квадратов:

С другой стороны, мы имеем столбцов, в каждом из которых (сверху вниз) записана сумма:

$1 + 2 + 3 + ldots + n=dfrac{ncdot (n+1)}{2}$

С учетом вышесказанного получаем:

$3cdot(1^2+2^2+3^2+ldots+n^2)=dfrac{ncdot (n+1)}{2}cdot (2n+1)$

Отсюда получаем следующее:

$1^2+2^2+3^2+ldots+n^2=dfrac{ncdot (n+1)cdot(2n+1)}{6}$

Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в следующем виде:

$1^2+2^2+3^2+ldots+n^2=dfrac13n^3+dfrac12n^2+dfrac16n$

Случай k = 3

Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы кубов натуральных чисел от до :

Для нахождения такой суммы воспользуемся таблицей Пифагора. Таблица Пифагора — это квадратная таблица , в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номеров своих строки и столбца. По сути, это обычная таблица умножения.

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 38

Рассмотрим суммы чисел, помеченных одинаковым цветом:

$1=1^3\[10pt]2+4+2=2^3\[10pt]3+6+9+6+3=3^3\[10pt]4+8+12+16+12+8+4=4^3\[10pt]5+10+15+20+25+20+15+10+5=5^3\[10pt] ldots \[10pt] n+2n+3n+ldots+n^2+n(n-1)+n(n-2)+ldots+3n + 2n +n=n^3$

Таким образом, сумма всех чисел в таблице Пифагора равна:

С другой стороны, сумма чисел в таблице Пифагора равна:

$underbrace{1+2+3+ldots + n}_{1 , строка , таблицы} + underbrace{2 + 4 + 6+ldots+2n}_{2, строка, таблицы} +ldots+ underbrace{n+2n+3n+ldots+n^2}_{n , строка , таблицы}=\[25pt]=(1+2+3+ldots + n) + 2(1 + 2 + 3+ldots+n)+ldots+ n(1+2+3+ldots+n)=\[10pt]=(1+2+3+ldots+n)cdot(1+2+3+ldots+n)=(1+2+3+ldots + n)^2=\[10pt]=left(dfrac{n(n+1)}{2}right)^2=dfrac{n^2(n+1)^2}{{4}}$

Итак, получили формулу:

$1^3+2^3+3^3+ldots+n^3=dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в следующем виде:

$1^3+2^3+3^3+ldots+n^3=dfrac14n^4+dfrac12n^3+dfrac14n^2$

Графический метод хорош и нагляден, однако у него есть серьезный недостаток: решения никак не связаны друг с другом и по мере увеличения значения усложняются. Для нахождения суммы четвертых степеней придется искать что-то принципиально отличное от всего предыдущего.

Как вы думаете, получится ли найти формулу для нахождения суммы четвертых степеней с помощью графических рассуждений? Забегая вперед, скажу, что эта формула была выведена примерно на тысячу лет позже, чем формула для суммы кубов, которая была известна уже в античности.

Заключение

С помощью графических рассуждений нам удалось вывести формулы для нахождения суммы степеней натурального ряда при :

$1 + 2 + 3 + ldots + n=dfrac{ncdot (n+1)}{2}=dfrac{1}{2}n^2+dfrac{1}{2}n \[15pt] 1^2+2^2+3^2+ldots+n^2=dfrac{ncdot (n+1)cdot(2n+1)}{6}=dfrac13n^3+dfrac12n^2+dfrac16n \[15pt] 1^3+2^3+3^3+ldots+n^3=dfrac{n^2(n+1)^2}{4}=dfrac14n^4+dfrac12n^3+dfrac14n^2$

Глядя на три данные формулы, можем быстро вывести гипотезу, что для любого натурального значения сумма равна некоторому многочлену от переменной степени , который начинается со слагаемого $dfrac{1}{k+1}n^{k+1}$ , за которым идет слагаемое $dfrac{1}{2}n^k$ и члены еще меньших степеней.

Во второй части этой статьи мы подтвердим указанную выше гипотезу и рассмотрим несколько аналитических методов нахождения формул суммы для любых натуральных значений .

Также хочется отметить, что знание рассмотренных в статье формул оказывается полезным и при решении задач на программирование. Классическая задача с алгоритмического собеседования звучит следующим образом: имеется список целых чисел, в котором каждое из чисел от 1 до n встречается ровно один раз — кроме одного отсутствующего числа. Требуется найти отсутствующее число.

Наиболее быстрое и асимптотически оптимальное решение такой задачи основано на использовании следующей формулы:

$1 + 2 + 3 + ldots + n=dfrac{ncdot (n+1)}{2}$

А если в условии задачи будет пропущено не одно число, а сразу два, то предыдущую формулу придется дополнить формулой для суммы квадратов натуральных чисел:

$1^2+2^2+3^2+ldots+n^2=dfrac{ncdot (n+1)cdot(2n+1)}{6}$

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Используя графические рассуждения, выведите формулу для нахождения
суммыпервых нечетных натуральных чисел:

Подсказка 1

Сопоставьте каждому нечетному числу следующую фигуру:

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 62

Подсказка 2

Вкладывая указанные фигуры друг в друга, вы получите квадрат со стороной , площадь которого равна .

Сумма степеней натурального ряда. Часть 1 - 65

Задача 2. Как мы уже знаем, таблица Пифагора — это квадратная таблица , в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номеров своих строки и столбца. Ниже представлена таблица Пифагора для и