В 2010 году некий Кристофер Хейвенс (Christopher Havens) был приговорен к 25 годам тюремного заключения за убийство. В 2020 году его работа по теории чисел была опубликована в научном журнале. Все стены камеры, в которой Кристофер Хейвенс отбывает срок, испещрены бумажными листками с формулами.
Бумажные листы, исписанные числами и греческими символами, уже не помещаются на небольшом столике и теперь, как пёстрые обои, развешаны по всем стенам камеры размером 2.4x3.7 метров. В процессе поиска решений он мог записывать на стенах уравнения непрерывных дробей длиной до 4.5 метров.
Заметки на некоторых листках могли показаться полным бредом, попыткой проникновения в неизвестные глубины математики одному ему известными способами. Заметки на других листах были более осмысленны. Они свидетельствуют о том, что он самостоятельно освоил теорию чисел. Но сам Хейвенс об этом не знал. Он также не знал, что у задачи, которую он пытался решить, решения не было. Охранники и другие заключённые, когда проходили мимо его камеры, с интересом заглядывали внутрь. Для всех он казался чокнутым, но для него это уже не имело никакого значения. Ведь он был на пути к решению. Он был намерен идти до конца. В тюрьму он попал по той причине, что хотел быть как все, не отличаться от других.
Это случилось в ноябре 2012 года – уже не в первый раз Кристофер Хейвенс почувствовал, что достиг дна. Это было время, когда он скрывался от закона, и когда семья считала его мёртвым. Были ночи, когда он дрожал от холода на улицах Сан-Франциско. Его лишили опеки над детьми, и он потерял с ними связь. Как и большинство наркоманов, Хейвенс не раз давал клятвенные заверения, что прекратит принимать наркотики и что это было в последний раз.
Но, естественно, всё повторялось снова и снова.
Хейвенс был брошен в одиночную камеру тюрьмы штата Вашингтон в городе Уолла-Уолла. Попав в тюрьму строгого режима после осуждения на 25 лет за убийство, он понял, что именно здесь он сможет прожить достойную жизнь. "Я как-то позвонил из тюрьмы отцу, и он спросил меня, кем я собираюсь стать в тюрьме – рыбой-клоуном или акулой", – рассказывает он. Хейвенс решил стать акулой. Он попытался примкнуть к тюремным авторитетам и вступить в их братство. Одним из его проверочных заданий было избить другого заключённого. Но вот прошло два месяца после того, как он вошёл в тюремные двери, и он оказался в крошечной неотапливаемой камере, в которой круглосуточно горел свет, и соседи-заключённые выражали свой гнев и разочарование, крича, стуча по стенам, а иногда размазывая фекалии по вентиляционным отверстиям кондиционера. Ему не удавалось заснуть, поэтому он сидел, разгадывал судоку и думал о тех годах, которые ему предстояло здесь прожить.
Хэйвенс мог обвинить отца в том, что тот вынудил его примкнуть к тюремным авторитетам, но он этого не сделал. Он честно признался себе в том, что во всём, что с ним произошло, виноват он сам. Ещё с детских лет ему хотелось всем нравиться. Но желание нравиться сыграло с ним злую шутку – он пристрастился к наркотикам, и это в конечном счёте привело его к тюрьме. Желание нравиться бросило его в камеру, где он несколько месяцев пребывал в совершенном одиночестве.
Каждый полдень – хотя при включённом свете определить время суток было сложно – он слышал, как тюремщик что-то передаёт другим заключённым. "Он что-то передавал в окошко камеры и просто уходил", – рассказывает Хейвенс. Так прошло несколько дней, но Хейвенс не стал интересоваться у "мистера Г.", как его называли заключённые, что именно тот передавал в камеры заключённым. Ему хватало своего судоку. Но дни тянулись и тянулись, и он стал понимать, что так больше продолжаться не может – ему нужно заняться чем-нибудь, что поможет скоротать время. Он встал у двери и спросил у мистера Г., когда тот проходил мимо его камеры, что именно он передаёт другим заключённым. Мистер Г. не ответил, но на следующий день окошко двери камеры Хейвенса открылось, и кто-то просунул в него листки с какими-то математическими задачками.
И Хейвенс решил посвятить свои 25 лет заключения обучению математике, лелея себя надеждой, что, возможно, когда-нибудь он сможет возвратить свой долг обществу как математик.
Хейвенс бросил обучение на втором курсе института. Учился он неважно, пропускал много занятий и говорит, что почти не помнит, как учился, так как все его мысли в то время занимали наркотики. Но случилось интересное: он стал размышлять над листками мистера Г., и ему всегда удавалось находить решения. "Дошло до того, что я стал заниматься только этим и ничем другим, – говорит он. – Я мог размышлять над математическими задачами всю ночь напролёт”.
Каждый день мистер Г. приносил ему новые и новые задачки. Это были элементарные, легко решаемые задачки. В основном алгебраические, говорит Хейвенс и добавляет, что вскоре он стал просить мистера Г., чтобы тот приносил ему задачи из других областей математики, а также поинтересовался, есть ли у него более сложные задачи. Мистер Г. сказал, что нет. Через несколько месяцев мистер Г. вместо обычного набора задач передал ему "маляву", то есть записку. В записке говорилось: "Мистер Хейвенс, у меня для Вас больше ничего нет. Желаю успеха".
Впервые за долгое время, возможно, с самого детского возраста Хейвенс понял, что он – обладатель редкого таланта. Он был обычным мелким воришкой, к тому же наркозависимым, и в те годы, когда хорошо у него получались только плохие дела, он опустился на самое дно. Но теперь каждое решённое уравнение что-то меняло в нём. Он почувствовал мир в душе. Он понял, в каком направлении ему нужно двигаться. Он, по его словам, влюбился в математику. Хейвенс решил посвятить свои 25 лет заключения обучению математике, лелея себя надеждой, что, возможно, когда-нибудь он сможет возвратить свой долг обществу как математик. Однако в своих прогнозах, как скоро наступит его математическое будущее, он ошибся.
Хейвенс отдаёт себе ясный отчет, какие ужасные вещи он творил в прошлом, даже если помнит не всё. В 2010 году, когда он жил в городе Олимпии, штат Вашингтон, где пристрастился к наркотикам – метамфетаминам – и из-за этого потерял работу в ночную смену в кафе "У Денни", он занялся продажей наркотиков. И однажды убил человека, с которым они вместе торговали наркотиками. Хейвенс объясняет, что опасался того человека и, чтобы не быть убитым, решил убить его первым, и в этом ему помог другой его приятель. Теперь, вспоминая прошлое, Хейвенс говорит, что не уверен, убивал ли он на самом деле или нет, так как в то время его разум был затуманен наркотиками, и любые параноидальные мысли могли представляться ему реальностью. Он хочет вновь оказаться рядом с детьми (их у него пятеро) и с мамой. И ещё хочет найти способ как-то оправдаться перед ними за все свои прегрешения. Если раньше он делал всё, чтобы его родная страна Америка стала более опасной, то теперь, возможно, он мог бы использовать свой талант к математике, чтобы повернуть вспять колесо судьбы.
Хейвенс бросил школу в подростковом возрасте и, естественно, забыл, что операции с числами всегда давались ему очень легко. Когда Хейвенс учился в начальной школе, его мама – Терри Форте – была поражена тем, как быстро он всё схватывает, особенно что касается математики. Она была медсестрой, отлично справлялась со своей работой, но в математике разбиралась очень слабо. К четвёртому классу успехи сына стали настолько впечатляющими, что учителя стали просить его подтянуть по математике других учеников. Форте говорит, что его сыну нравилось помогать другим детям. Форте была армейской медсестрой, поэтому они часто переезжали с места на место. Хейвенс вспоминает, что "он никогда не пользовался популярностью среди людей и всегда был немного неловким", но после каждого переезда всегда старался побыстрее влиться в новую среду и завести новые знакомства. И вот, умный и добрый ребёнок начал меняться в худшую сторону. В подростковом возрасте, пытаясь не отставать от сверстников, он начал курить траву и употреблять алкоголь, затем последовали грибы, затем ЛСД, затем болеутоляющие таблетки и метамфетамины – ведь это употребляли другие подростки. Но он не был плохим ребёнком. Он был просто ребёнком, которому очень хотелось понравиться, говорит Форте. "Он бы отдал последнее, чтобы кому-нибудь угодить, и это одна из причин, по которой мне было так трудно поверить в то, что случилось."
В 2010 году Форте заметила, что её сын, которому сейчас немного за 30, который то "завязывал", то опять принимался за старое, то опять "завязывал", снова сорвался. Она очень хорошо чувствовала, в каком состоянии находится Хейвенс, по тому, как он заботился о своей дочери, которую он взял к себе после того, как её мать передала опеку над ней штату Калифорния. Хейвенс стал отцом-одиночкой, но он занимался чем угодно, только не воспитанием ребёнка. Форте была этим очень обеспокоена.
Внезапный звонок из полиции не стал большим сюрпризом, так как такие звонки раздавались в доме часто, но то, что она услышала в этот раз, стало для нее шоком. Когда из полиции позвонили в первый раз и сообщили, что его посадили в тюрьму за убийство, я им ответила: нет, этого не может быть, и повесила трубку", – рассказывает Форте. Но спустя какое-то время она перезвонила в полицию сама. Убийство? Но этого же просто не может быть. Ведь её сын такой добрый ребенок.
Свой первый день в тюрьме штата Вашингтон Кристофер Хейвенс начал с изучения тюремной терминологии – слов вроде "очко" – и поиска новых друзей. Он мог вновь повторить те же самые ошибки, из-за которых у него было столько неприятностей.
Но его планы были нарушены тем, что он попал в одиночную камеру. Ему не с кем было устанавливать новые дружеские отношения, ведь в камере находился только он.
После того как Хейвенс закончил решать математические задачки мистера Г., он приступил к изучению тригонометрии, численных методов, а затем полез в такие математические дебри, как гипергеометрическое суммирование. Когда он позвонил матери и попросил, чтобы та передала ему учебник по тригонометрии, она была несколько удивлена. Удивилась она не тому, что он, бросивший школу, стал интересоваться наукой (ведь она знала, что он умный), но тому, что в кои-то веки у него появилось желание сделать что-то не руками, а головой. Через несколько недель, когда он попросил книгу по математике, она уже не удивилась. "Я помню, во времена, когда он был моложе, если он решил что-то сделать, он всегда это делал", – говорит Форте. Всё, за что он брался, он доводил до конца, чего бы это ему ни стоило. В детстве, когда он увлекался видеоиграми, он не мог успокоиться до тех пор, пока не пройдёт все уровни, а с футбольных игр возвращался весь измотанный и в синяках.
Он приступил к изучению тригонометрии, численных методов, а затем полез в такие математические дебри, как гипергеометрическое суммирование.
Через несколько месяцев Хейвенс стал просить приносить ему учебники, названия которых были настолько непонятными (например, Вырожденные гипергеометрические функции), что Форте часто его переспрашивала: "Можешь произнести это по буквам? Я вообще не представляю, о чём ты говоришь”.
Когда Хейвенса перевели из одиночной камеры в общую, сокамерники заметили изменения в его поведении. "В то время я больше заботился о своем образовании, чем об освоении тюремной культуры". В конце концов один из парней сказал: "Тебе не место среди нас". И, знаете, что я ему ответил? Да, ты прав”, – вспоминает Хейвенс.
У Хейвенса нет доступа к компьютеру, поэтому почти все свои работы он пишет от руки. Доказательства теорем часто растягиваются на несколько страниц, так как он анализирует множество вариантов, которые могут привести к решению. Эти страницы (как и многие другие) он отправил в Туринский университет в Италии как подтверждение того, что ему удалось решить ранее никем не решённую математическую проблему. В январе 2020 года его лучшая работа по данной проблеме была опубликована в журнале Исследования в области теории чисел.
Если бы не тюремный срок, возможно, он смог бы примкнуть к команде профессиональных математиков. В январе 2013 года Хейвенс написал письмо в издательство "Математические науки" – организацию, занимающуюся изданием ряда престижных математических журналов. В письме он рассказал, что отбывает тюремный срок и пытается изучать высшую математику. "Я попросил их выслать мне несколько журналов, а также спросил, с кем я могу переписываться”. Через несколько недель он получил вежливый ответ, смысл которого сводился к тому, что он в этих журналах ничего не поймёт и высылать ему такие журналы они не станут. В этот момент Хейвенс снова почувствовал, что остался совершенно один.
Как выздоравливающий наркоман Хейвенс хорошо знал, во что может вылиться это чувство, и как никогда осознавал собственную уязвимость. "Если вы находитесь на переходном этапе и пытаетесь забыть всё, что было в прошлом, но не чувствуете от людей никакой поддержки, очень вероятно, что вы опять скатитесь в пропасть", – говорит он. Но Хейвенс сказал себе, что отступать не собирается. Не в этот раз.
Тюремная жизнь – это сплошной хаос. Конечно, в тюрьме действуют свои правила, но такие правила очень часто бывают произвольными и непредсказуемыми. Тюремные сотрудники могут в любой момент изменить обычный режим на режим изоляции. И почти полное отсутствие контроля. Когда ты принимаешь душ, ешь, работаешь и спишь, все это происходит по чьей-то чужой воле. Но, какой бы хаотической ни была жизнь в тюрьме, иногда она бывает крайне монотонной. Хейвенс более или менее представлял, как пройдут следующие два с половиной десятилетия его жизни.
И именно математика помогла Хейвенсу осознать, что у него всё находится под контролем. Существуют правила, и такие правила логичны и последовательны в разных областях. Даже когда Хейвенс понимает основные пути решения проблемы, конечный результат часто оказывается неожиданным. Математика во многих смыслах является идеальным противоядием от тюремного заключения, и математикой в тюрьме занимаются гораздо больше людей, чем можно подумать, говорит Гэри Гордон, доктор философии, профессор математики в колледже Лафайетт в городе Истоне, штат Пенсильвания. Он любил придумывать задачи для раздела "Задачи” студенческого журнала для любителей математики Математические горизонты. Для каждого выпуска он придумывал хитрую, но вполне поддающуюся решению задачу, и читатели присылали ему свои решения. Нередко бывали случаи, когда решения его задач ему присылали такие же, как и он, заключённые. "Такие ответы всегда были написаны от руки, поэтому, когда они приходили по почте, я всегда знал, от кого они", – говорит он.
В 2015 году Хейвенс послал своё решение Гордону. Тот был впечатлён изобретательностью Хейвенса, его поразил способ, который Хейвенс применил для получения правильного ответа. Было ясно, что у Хейвенса не было даже начального математического образования, так как он не использовал математический аппарат, который, как предполагал Гордон, необходимо было использовать для решения. Но решение, тем не менее, было получено. (Прокрутите вниз, чтобы узнать, какую задачу предлагал решить Гордон в журнале "Математические горизонты". Щёлкните здесь, чтобы ознакомиться с недавно опубликованными Хейвенсом задачами.)
Однако Хейвенсу быстро надоело решать задачи, которые фактически представляли собой числовые загадки. Он хотел стать настоящим математиком, который смог бы двигать вперёд всю математическую науку. В своём письме в издательство "Математические науки" Хейвенс рассказал, что увлекается теорией чисел, то есть хочет изучать целые числа. Теория чисел включает в себя такие разделы, как модульная арифметика, в которой повторяющиеся числовые закономерности помогают понять, как работают обыденные вещи, например, как узнать время в 24-часовом формате, если имеются только часы с 12-часовым циферблатом. Методы модульной арифметики могут оказаться очень полезными в реальной жизни – например, при генерации штрих-кодов и шифровании данных. Редакторы издательства "Математические науки" не смогли в должной мере оценить способности Хейвенса, но кто-то передал его просьбу о друге по переписке. И вот однажды он получил письмо из города Турина, Италия.
Вы наверняка уже знакомы с модульной математикой, так как совершенно точно представляете, каким образом читаются показания часов. Модульная арифметика получила своё название от латинского слова, означающего "мера" (measure), и определяет методы осуществления подсчётов через последовательность чисел. Модуль, или, для краткости, мод часов, равен 12. Мы считаем до 12, а затем начинаем счёт сначала. Поэтому можно говорить 3 часа дня, но нельзя говорить 15 часов вечера, но при этом число 3 конгруэнтно (то есть равняется) 15 (по модулю 12). Модульная операция – это действие взятия остатка при делении числа на модуль. Таким образом, 3 и 15 являются одним и тем же числом по модулю 12, так как оба они дают остаток 3 при делении на 12. Модулем может быть любое положительное число. Например, числа 3 и 5 являются одними и теми же числами по модулю 2, так как как они дают остаток 1 при делении на 2. В отличие от чисел на циферблате часов в модульной арифметике счёт обычно начинается с 0. Поэтому числами, используемыми для арифметического модуля 12, обычно являются числа от 0 до 11. В арифметическом модуле 2 обычно используются только две цифры: 0 и 1. Все чётные числа эквивалентны нулю по модулю 2, а все нечётные числа эквивалентны единице.
Письмо было составлено группой исследователей, изучающих теорию чисел, в частности непрерывные дроби (см. ниже Непрерывные дроби – базовое представление). Эти исследователи отказались давать нам интервью, однако дочь одного из них – Марта Серрути, доктор философии, профессор Университета Макгилла в городе Монреале – написала нам о связи с The Conversation, журналом, в котором публикуются (в основном) научные теоретические работы. Серрути рассказала, что именно она попросила своего отца – Умберто Серрути, доктора философии, профессора Туринского университета – попросить Хейвенса решить проблему. В ответ Хейвенс прислал длинную, сложную и написанную от руки формулу. "Отец ввёл формулу в компьютер и, к его удивлению, результаты оказались верными!" – написала она. Затем Умберто Серрути попросил Хейвенса заняться ещё одной проблемой – на этот раз не имевшей решения.
То, что проблема не имела решения, Хейвенс просто не знал. Большинство людей, получивших вторую задачу от Серрути, сразу сдались, когда узнали, что решения у такой задачи до сих пор нет. Но у Хейвенса не было доступа к Google, и он добросовестно приступил к решению задачи. Он сел за работу.
Чтобы понять теорию чисел и, в частности, непрерывные дроби, необходимо окунуться в бесконечность, говорит Хейвенс. Возьмём, к примеру, число пи, это иррациональное число. Последовательность его знаков после десятичной точки продолжается до бесконечности. На первый взгляд, они расположены в совершенно хаотичном порядке. Но на самом деле это не так. Иррациональное число можно записать другим способом – в виде непрерывной дроби. Если записать число Pi таким способом, мешанина его десятичных знаков после запятой превращается в ряд упорядоченных и вложенных друг в друга уровней – дробей внутри дробей, которые предопределяют все десятичные знаки числа Pi вплоть до бесконечности. В иррациональном числе таких вложенных уровней – бесконечное число. В рациональном числе, то есть в числе, имеющем конец, уровни дробей рано или поздно заканчиваются, другими словами, их число конечно.
"Для меня непрерывные дроби – это святая святых иррациональных чисел", – говорит Хейвенс. "Они красивы и чисты, и у них даже есть пульс – в том смысле, что их наборы подходящих дробей "пульсируют" в такт колеблющейся арифметической последовательности".
Подходящие дроби представляют собой рациональные числа, которые можно использовать в качестве аппроксимаций при записи непрерывных дробей для иррациональных чисел. Их красота отчасти объясняется в том, что они обеспечивают наилучшее приближение иррационального числа, запись которого в формате десятичной дроби длилась бы бесконечно. При работе с непрерывными дробями, чем больше вычисляется уровней, тем ближе подходящие дроби приближаются к точному значению иррационального числа, но добраться до истинного конечного числа за конечное время никогда не получится. По словам Хейвенса, решение непрерывной дроби означает нахождение всех подходящих дробей для такой непрерывной дроби.
Такие дроби внутри дроби позволяют математикам изучать иррациональные числа – такие как Pi – и находить закономерности в бесконечной последовательности их десятичных знаков. Поиск закономерностей в комплексных иррациональных числах – очень важная задача в таких областях, как криптография и шифрование.
Самый простой способ перейти к непрерывной дроби – начать с "простой и конечной" непрерывной дроби, где не будет ничего, кроме единиц в числителях непрерывных дробей, и эта дробь разрешится всего за несколько шагов. Запись непрерывных дробей для иррациональных чисел, таких как Pi, продолжается до бесконечности. Возьмём дробь 37/13. Это одна из "неудобных" неправильных дробей. Дробь 37/13 можно записать как 2 плюс 11/13. Это первый шаг в преобразовании обычной дроби в непрерывную.
Чтобы перейти на следующий вложенный уровень, для деления снова потребуется неправильная дробь. Заменим выражение 2 плюс 11/13 на 2 плюс 1, поделённая на 13/11. Теперь разделим 13 на 11, что, естественно, даст результат 1 плюс 2/11. Это будет наш следующий уровень. Будем продолжать процесс до тех пор, пока число, на которое вы будете делить, не станет равным 1. Мы достигли конца конечной, рациональной непрерывной дроби, так как любое число, поделённое на 1, равняется самому себе.
Для меня непрерывные дроби – это святая святых иррациональных чисел. Они красивы и чисты, и у них даже есть пульс – в том смысле, что их наборы подходящих дробей "пульсируют" в такт колеблющейся арифметической последовательности.
Задача, которую Хейвенс получил из города Турина, заключалась в изучении того, что происходит с особым типом непрерывной дроби после того, как к ней будет применена особая функция, называемая дробно-линейным преобразованием. Такое преобразование описывается четырьмя числами (a,b,c,d), и оно отображает дробь f на дробь (af + b)/(cf + d). Хейвенс и его коллеги обнаружили, что при применении преобразования к непрерывной дроби возникают новые семейства непрерывных дробей. Ещё одним удивительным открытием было то, что колеблющиеся последовательности в подходящих дробях не всегда линейны. "Этот результат может открыть новые области исследований в теории чисел", – написал Серрути в своей работе о Хейвенсе.
У Хейвенса была цель опубликоваться в научном журнале, но то, что произошло дальше, его целью не было. Когда стало известно, что заключённый решил "ранее неразрешимую" проблему, средства массовой информации буквально сошли с ума. В начале августа, когда мне позвонил Хейвенс, он поставил одно условие: чтобы я не сравнивал его с Эвклидом, греческим математиком и отцом теории чисел. В другой статье такое сравнение присутствовало, и Хейвенс испытывал от такого сравнения чувство глубокой неловкости. Те же самые чувства испытывали члены команды в Италии. (Хейвенс попросил меня не обращаться с просьбой дать интервью к Умберто Серрути и не удивился, когда другие члены туринской команды не ответили на мои просьбы об интервью.) Время учёных-одиночек прошло, сегодня учёные работают в составе команд и опираются на результаты множества прошлых работ своих коллег. Хейвенс не выполнял свою работу в одиночку и уж точно не создавал совершенно новую ветвь математики.
Хейвенсу осталось сидеть 14 лет (или 12, если его выпустят досрочно за хорошее поведение). Это ещё более десяти лет, и он уже не сможет наблюдать, как взрослеют его дети. Когда он вернётся в общество, его дети вполне могут сами стать родителями. Однако Хейвенс рассматривает свой приговор не как наказание, а как возможность самостоятельно получить образование и начать здесь новую жизнь. (Он также подчёркивает, что теперь он лучший отец, чем был раньше.) Поскольку Хейвенс – самоучка, в его математических знаниях имеются огромные пробелы. Как правило, студенты проходят обучение практически, то есть изучение ими каждого нового предмета базируется на знаниях, полученных при изучении предыдущего предмета. Хейвенсу же приходилось всё время строить догадки – с чего начинать, как продолжать? Он пытается заполнить образовательные пробелы и поэтому до сих пор переписывается с членами итальянской команды, а также с профессором математики из Гарварда. После освобождения он планирует получить систематическое образование. Хейвенс прекрасно понимает, что после отбытия срока многим бывшим преступникам удаётся получать только самую низкопробную работу, но он не хочет для себя такого будущего. "Большинство заключённых ждут освобождения и только потом начинают строить карьерные планы", – говорит он. – Но только не я. В тюрьме я собираюсь доказать, что и здесь можно заниматься делом и расти над собой".
Так, в 2016 году Хейвенс запустил проект "Тюремная математика", получивший признание на национальном уровне. "Моя цель – изменить жизнь через ликвидацию рецидивной преступности с помощью математики", – говорит он.
Идея проекта была позаимствована у того самого небезызвестного мистера Г., то есть просить заключённых решать математические задачки. Затем заключённые объединяются в пары с научными руководителями, которые будут помогать им в обучении
Большинство заключённых ждут освобождения и только потом начинают строить карьерные планы. Но только не я. В тюрьме я собираюсь доказать, что и здесь можно заниматься делом и расти над собой.
В перерывах между заполнением пробелов в образовании и созданием программ обучения для других заключённых любителей математики Хейвенс посвящает остальную часть своего срока изучению криптографии – гораздо более сложной математической науки. Криптография – это сохранение информации с помощью математических методов и чисел, а также расширение теории чисел. Фактически именно криптография стала причиной того, что Хейвенс впервые заинтересовался теорией чисел. Он понимал, что для того, чтобы получить хоть малый шанс понять основы криптографии, ему нужно сначала разобраться в теории чисел. Марта Серрути в своей статье упомянула, что Хейвенс искал наставника, и на этот призыв откликнулся доктор философии Амита Сахаи, криптограф из Калифорнийского университета Лос-Анджелеса. Теперь Хейвенс и Сахаи регулярно переписываются. Сахаи говорит, что относит Хейвенса "к числу самых усердных студентов, с которыми я когда-либо имел удовольствие работать на протяжении всей своей научной карьеры".
Он не только усердный, но и невероятно умный и решительный человек. "За последние несколько недель он решил несколько сложных задач, которые в состоянии решить лишь немногие из моих выпускников, закончивших Калифорнийский университет. И это при том, что Кристофер работает один, и уже не говоря о том, что он работает, мягко выражаясь, в неблагоприятном окружении", – говорит Сахаи.
Хейвенс может проводить целые дни, работая над проблемами, которые присылает ему Сахаи. Частично его новая одержимость объясняется тем, криптография как наука очень близка к логике и математике. Но есть и другая причина. Он до сих пор чувствует, что наука криптографии – это воплощение всего того, что есть в нём самом.
Что нравится в криптографии Сахаи: "В криптографии мы пытаемся достичь невозможных целей. Бывают многие увлекательные случаи, когда какая-либо цель может интуитивно казаться недостижимой, но в конце концов оказывается достижимой". Сахаи точно так же мог бы охарактеризовать Хейвенса.
Сможете ли вы решить задачку из журнала Математические горизонты?
Циферблат (как на рисунке 1) может указывать на любое целое число от 1 до n, если вращать его против часовой стрелки. Отсчёт начинается с 1, затем стрелка поворачивается последовательно (всегда против часовой стрелки) на одну позицию, затем на две, затем на три и так далее, до последнего поворота на n-1 позицию. Например, первыми пятью позициями при n=12 будут 1, 2, 4, 7, 11 и 4. Для каких значений n стрелка циферблата будет указывать на другую позицию на каждом этапе такого процесса?
Представлено Гари Гордоном и Денизом Озбаем, ноябрьский выпуск журнала "Математические горизонты", 2020 год.
Лучший способ решить эту задачу – начать с малого. Циферблат с одной позицией не годится, но мы могли бы попробовать циферблат с двумя позициями. В этом случае начинаем с позиции 1, делаем поворот на одно деление, получаем 2, поэтому последовательность цифр, на которые будет указывать стрелка, такая: 1-2. Это соответствует условиям задачи: на каждом шаге стрелка должна указывать на другую позицию, однако это не тот ответ, который просят представить Гордон и Озбай. Вернее будет сформулировать так: n – это тип числа с бесконечными целыми числами, соответствующими требованиям задачи.
Чтобы не рисовать циферблат для каждого значения n, можно переформулировать задачу в терминах модульной арифметики. Для любого n последовательность позиций стрелки циферблата будет такой же, что и последовательность, при которой мы начинаем с 1 и добавляем сначала 1, затем 2, затем 3, и так весь путь до n-1, всё по модулю n. Поэкспериментируйте сами с такой последовательностью, чтобы понять мою идею. Если Вы это сделаете, то для n=3 у Вас получится последовательность 1-2-1; для n=4 у Вас получится последовательность 1-2-4-3 (ещё одна, соответствующая критерию); а для n=5 у Вас получится последовательность 1-2-4-2-1.
Случай, когда n=6, особенно показателен. Начнём с номера 1, затем добавляем 1, чтобы получить 2. К нему добавляем 2, чтобы получить 4, затем добавляем 3, чтобы получить 7 (то есть 1 по модулю 6), 4, чтобы получить 5, и 5, чтобы получить 10 (то есть 4 по модулю 6).
Таким образом, искомой последовательностью является 1-2-4-1-5-4, и мы повторили не одно, а два числа. Между первым и вторым номером 1 мы добавили 1+2+3, или 6, что соответствует n. Между первым и вторым номером 4 в нашей последовательности мы добавили 3+4+5, или 12. В обоих случаях мы получили последовательность последовательных чисел, которая в сумме даёт число, кратное 6.
Попробуйте сами и подумайте, сможете ли Вы угадать, какие числа подходят или не подходят под критерии повторяемости Вашей последовательности. Если такая догадка у Вас появится, можно попробовать вежливые числа и попытаться понять, имеют ли они отношение к данному вопросу.
Пример Кристофера доказывает, что человек может научиться чему захочет, даже находясь в самых неблагоприятных для этого условиях. Но путь самостоятельного обучения может быть (не всегда!) подобен блужданию слепого в темной комнате, так что без опытных менторов и поддержки, которые за руку проведут по всему пути — не обойтись. Если вам нужно подтянуть математику, то у нас на курсе математика для Data Science и его расширенной версии математика и Machine Learning для Data Science у вас будут и опытные менторы и внимательная поддержка.
Узнайте, как прокачаться в других специальностях или освоить их с нуля:
Другие профессии и курсы
ПРОФЕССИИ
КУРСЫ
Автор: Александр
