Деньги, товар и немного статистики

Пару лет назад мне попалась интересная статья о взаимосвязи цен на золото и нефть.

И я решил немного расширить модель и провести собственное исследование.
Прежде всего — взять не два товара, а некий более существенный набор.

После долгих поисков по интернету, я нашел этот сайт, с которого скачал архив цен (скачать XLS) на товары за 35 лет.

Все данные я обрабатывал в MATLAB.

xls = xlsread('data.xls'); %загружаем данные из файла XLS

time = 1:399; %индекс
real_time = 1979 + time/12; %реальная дата

data = xls(time,1:22);

% получаем данные:
oil = data(:,1); % нефть
gold = data(:,2); % золото
iron = data(:,3); % железная руда
logs = data(:,4); % бревно
maize = data(:,5); % кукуруза
beef = data(:,6); % говядина
% и все остальные товары

% добавляем в матрицу те товары, которые будем подвергать анализу:
all_goods = [oil gold logs maize beef chicken gas tea tobacco wheat sugar soy rice cotton copper coffee coal];

goods_count = size(all_goods, 2); % количество товаров

В качестве относительной цены для более чем двух товаров можно использовать цену, деленную на среднее геометрическое:

geom_average = ones(size(time))'; % для транспонирования в Матлабе используется символ ' 
%, но Хабр воспринимает его как начало строки  

for i = 1:goods_count 
    geom_average = geom_average .* all_goods(:,i);
end

geom_average = geom_average .^ (1/goods_count);  % среднее геометрическое

all_goods_rel = zeros(size(all_goods));
all_goods_norm = zeros(size(all_goods));

mean_ = zeros(1,goods_count);
std_ = zeros(1,goods_count);
percent_std_ = zeros(1,goods_count);

for i = 1:goods_count
    all_goods_rel(:,i) = all_goods(:,i) ./ geom_average; % относительные цены товаров
    mean_(i) = mean(all_goods_rel(:,i)); % среднее по времени
    all_goods_norm(:,i) = all_goods_rel(:,i) / mean_(i); % относительные цены, нормированные на среднее по времени
    std_(i) = std(all_goods_rel(:,i)); % стандартное отклонение по времени
    percent_std_(i) = 100*std_(i)/mean_(i); % стандартное отклонение в процентах
end

Графики нормированных цен:

Стандартные отклонения относительных цен в процентах от среднего по времени:

Теперь попробуем составить диверсифицированный продукт (ДП).

Пусть x — вектор относительного количества товаров, sum(x_i) = 1;
A — матрица ковариаций нормированных цен.
Тогда дисперсия диверсифицированного продукта вычисляется как X'*A*X;
Нам нужно ее минимизировать.
Типичная задача на условный экстремум, решается методом множителей Лагранжа.
Не буду вдаваться в подробности, решается так:

A = cov(all_goods_rel); % матрица ковариаций

cond = ones(1, goods_count);

B = [2*A cond']; %'
B = [B; [cond 0]];

b = [zeros(1, goods_count) 1]';
x = (B^-1)*b;

Состав ДП получается следующий:

Вычислим стоимость ДП:

DP = all_goods_rel*x(1:goods_count); % стоимость относительно среднего геометрического
USD_per_DP = all_goods*x(1:goods_count); % стоимость в долларах

Построим графики:

Сверху — график относительной стоимости, внизу — стоимость в долларах.
Стандартное отклонение относительной стоимости ДП за более чем 30 лет — всего 1.06%!
Но его стоимость в долларах выросла (соответственно покупательная способность доллара упала).

Так от чего же эта покупательная способность может зависеть?

Когда-то мне попадались данные о государственном долге США.
Здесь (стр. 143-144) я нашел подробные данные о государственном долге и перегнал их в файл XLS.

Получим данные из таблицы:

debt_xls = xlsread('usa_debt.xls');

debt_time = debt_xls(:,1);
end_index = size(debt_time,1);
start_index = (1:end_index)*(debt_time == 1978);
debt_time = debt_time(start_index:end_index);

debt_usd = debt_xls(start_index:end_index,2);
debt_percent = debt_xls(start_index:end_index,3);

debt_time = debt_time + 1; % данные о долге даны на конец года, что равносильно началу следующего

И попробуем построить графики:

Верхний график — объем государственного долга США в миллионах долларов, нижний — в процентах от ВВП.
Можно заметить некоторое сходство в поведении объема долга в % ВВП и стоимости диверсифицированного продукта.

Так почему бы не попробовать наложить эти два графика друг на друга?

Для этого сгладим стоимость ДП скользящим средним, и интерполируем объем долга на весь временной интервал, а так же поделим на среднее по времени:

a = 1;
b = ones(1,24)/24;

debt_interp = interp1(debt_time, debt_percent, real_time, 'cubic')'; %'
USD_per_DP_mov_av = filter(b, a, USD_per_DP);

debt_and_DP = [USD_per_DP_mov_av/mean(USD_per_DP_mov_av) debt_interp/mean(debt_interp)];

debt_DP_corr = corr2(debt_and_DP(:,1),debt_and_DP(:,2))

figure;
plot(real_time, debt_and_DP);

Получаем следующую картину:

Можно так же вычислить коэффициент корреляции между стоимостью ДП в долларах и объемом долга, он равен 0.7165 или 71.65% — цифра довольно существенная.

Полностью matlab-скрипт можно посмотреть на github.

Послесловие

Как устроена экономика сегодня?
Как известно, большинство международных сделок совершается в долларах США.
Рубль так же привязан к доллару — ЦБ может эмитировать в экономику ровно столько рублей, сколько долларов поступило от экспорта, умножая эту сумму на курс доллара к рублю.

Что можно сделать?
Ввести понятие сбалансированной денежной единицы (СДЕ) и привязывать ее не к некоторой иностранной валюте, а к диверсифицированному продукту.

Реализовать это можно так:

Допустим имеется СДЕ и валюта некоторого иностранного государства V.
Курс СДЕ по отношению к V индексируется как стоимость ДП в валюте V, умноженная на некоторый коэффициент q.

Рассмотрим операции экспорта и импорта.

Допустим, 1V = 20СДЕ.

Экспорт.

Вариант 1.
Внешний покупатель закупает товар на сумму 1000V или 20000СДЕ в валюте V.
1000V «оседает» в ЦБ, 20000СДЕ эмитируется в экономику.
Вариант 2.
Внешний покупатель занимает у ЦБ 20000СДЕ и покупает на них товар.
То есть, по сути, обязуется в будущем вернуть равнозначное количество товара.

Импорт.
Вариант 1.
Внутренний покупатель закупает извне товар на сумму 1000V или 20000СДЕ в валюте V.
Центробанк выдает 1000V из своих резервов, 20000СДЕ из экономики изымается.
Вариант 2.
Внутренний покупатель закупает извне товар в СДЕ.

Заключение: введение СДЕ в теории позволяет практически избежать инфляции и ввести процентные ставки по кредитам, близкие к нулевым.

Автор: jatx

Источник