Предлагаю читателям «Хабрахабра» перевод публикации «100 Prisoners Escape Puzzle», которую я нашел на сайте компании DataGenetics. Все ошибки по данной статье присылайте, пожалуйста, в личные сообщения.
В этой задаче в тюрьме сидят 100 заключенных, каждый из которых пронумерован числами от 1 до 100. Тюремщик решает дать шанс заключенным на освобождение, он рассказывает им условия испытания, и если все заключенные пройдут тест, тогда они будут освобождены. Если хотя бы один из них провалит тест, то все заключенные умрут.
Задача
Тюремщик идет в секретную комнату и подготавливает 100 коробок с крышками. На каждую коробку он наносит числа с нумерацией от 1 до 100. Затем он приносит 100 бумажных табличек, по числу заключенных, и нумерует эти таблички от 1 до 100. После этого он перемешивает 100 табличек и помещает в каждую коробку по одной табличке, закрывая крышку. Заключенные не видят, как тюремщик выполняет все эти действия.
Соревнование начинается, тюремщик отводит каждого заключенного по одному в комнату с коробками и говорит заключенным, что они должны найти коробку, в которой будет находиться табличка с номером заключенного. Заключенные пытаются найти табличку со своим номером, открывая коробки. Каждому разрешается открыть до 50-ти коробок; если каждый из заключенных найдет свой номер, то заключенных отпустят, если хотя бы один из них не найдет свой номер за 50 попыток, то все заключенные умрут.
Для того, чтобы заключенные были освобождены, ВСЕ заключенные должны пройти испытание успешно.
Так какой же шанс, что заключенных помилуют?
- После открытия коробки заключенным и проверки им таблички она помещается обратно в коробку и крышка снова закрывается;
- Местами таблички менять нельзя;
- Заключенные не могут оставлять друг другу подсказки или как-то взаимодействовать друг с другом после начала испытания;
- Заключенным разрешается обсудить стратегию до начала испытания.
Какая самая оптимальная стратегия для заключенных?
Дополнительный вопрос:
Если товарищ заключенных (не участник испытания) будет иметь возможность проникнуть в секретную комнату до начала испытания, изучить все таблички во всех коробках и (по желанию, но не обязательно) поменять местами две таблички из двух коробок (при этом у товарища не будет возможности как-то сообщить заключенным о результате своих действий), то какую стратегию он должен предпринять, чтобы увеличить шансы заключенных на спасение?
Решение маловероятно?
С первого взгляда эта задача кажется почти безнадежной. Кажется, что шанс на нахождение каждым из заключенных своей таблички микроскопически мал. К тому же, заключенные не могут обмениваться информацией между собой в процессе испытания.
Шансы одного заключенного — 50:50. Всего 100 коробок и он может открыть до 50-ти коробок в поисках своей таблички. Если он будет открывать коробки наугад и откроет половину всех коробок, то найдет свою табличку в открытой половине коробок, или его табличка останется в закрытых 50-ти коробках. Его шансы на успех — ½.
Возьмем двух заключенных. Если оба выбирают коробки наугад, для каждого из них шансы будут ½, а для двоих ½x½=¼.
(для двух заключенных успех будет в одном случае из четырех).
Для трех заключенных шансы будут ½ × ½ × ½ = ⅛.
Для 100 заключенных, шансы следующие: ½ × ½ × … ½ × ½ (перемножение 100 раз).
Это равняется
Pr ≈ 0.000000000000000000000000000008
То есть это очень маленький шанс. При таком раскладе, скорее всего, все заключенные будут мертвы.
Рекомендуется поразмыслить, прежде чем читать решение дальше.
Невероятный ответ
Если каждый заключенный будет открывать ящики наугад, то вряд ли они пройдут испытание. Существует стратегия, при которой заключенные могут рассчитывать на успех более чем в 30% случаев. Это потрясающе невероятный результат (если вы не слышали про эту математическую задачу ранее).
Больше чем 30% для всех 100 заключенных! Да это даже больше, чем шансы для двоих заключенных, при условии, что те будут открывать ящики наугад. Но как это возможно?
Понятно, что по одному у каждого заключенного шансы не могут быть выше 50% (ведь нет способа для общения между заключенными). Но не стоит забывать, что информация хранится в расположении табличек внутри коробок. Никто не перемешивает таблички между посещениями комнаты отдельными заключенными, так что мы можем использовать эту информацию.
Решение
Для начала расскажу решение, затем разъясню, почему оно работает.
Стратегия крайне легкая. Первый из заключенных открывает коробку с тем номером, который написан на его одежде. Например, заключенный номер 78 открывает коробку с номером 78. Если он находит свой номер на табличке внутри коробки, то это здорово! Если нет, то он смотрит номер на табличке в «своей» коробке и затем открывает следующую коробку с этим номером. Открыв вторую коробку, он смотрит номер таблички внутри этой коробки и открывает третью коробку с этим номером. Далее просто переносим эту стратегию на оставшиеся ящики. Для наглядности смотрим картинку:
В конце концов, заключенный либо найдет свой номер, или дойдет до предела в 50 коробок. На первый взгляд, это выглядит бессмысленно, по сравнению с простым выбором коробки наугад (и для одного отдельного заключенного это так), но так как все 100 заключенных будут использовать тот же набор коробок, это имеет смысл.
Красота этой математической задачки — не только знать результат, но и понять, почему эта стратегия работает.
Так почему же стратегия работает?
В каждой коробке по одной табличке — и эта табличка уникальна. Это означает, что табличка находится в коробке с тем же номером, или она указывает на другую коробку. Так как все таблички уникальны, то для каждой коробки есть только одна табличка, указывающая на нее (и всего один путь, как добраться до этой коробки).
Если поразмыслить над этим, то коробки образуют замкнутую круглую цепочку. Одна коробка может быть частью только одной цепочки, так как внутри коробки только один указатель на следующую и, соответственно, в предыдущей коробке только один указатель на данную коробку (программисты могут увидеть аналогию со связанными списками).
Если коробка не указывает на саму себя (номер коробки равен номеру таблички в ней), то она будет в цепочке. Некоторые цепочки могут состоять из двух коробок, некоторые длиннее.
Так как все заключенные начинают с коробки с тем же номером, что и на их одежде, они, по определению, попадают на цепочку, которая содержит их табличку (есть всего одна табличка, которая указывает на эту коробку).
Исследуя коробки по этой цепочке по кругу, они гарантированно в конечном итоге найдут свою табличку.
Единственный вопрос остается в том, найдут ли они свою табличку за 50 ходов.
Длина цепочек
Для того, чтобы все заключенные прошли испытание, максимальная длина цепочки должна быть меньше, чем 50 коробок. Если цепочка длиннее, чем 50 коробок, заключенные, имеющие номера из этих цепочек провалят испытание — и все заключенные будут мертвы.
Если максимальная длина самой длинной цепочки меньше, чем 50 коробок, тогда все заключенные пройдут испытание!
Задумайтесь об этой на секунду. Выходит, что может быть только одна цепочка, которая длиннее 50-ти коробок при любом раскладе табличек (у нас всего 100 коробок, так что если одна цепочка длиннее 50-ти, то остальные будут короче, чем 50 в итоге).
Шансы на расклад с длинной цепочкой
После того, как вы убедили себя, что для достижения успеха максимальная длина цепи должна быть меньше или равна 50, и может быть только одна длинная цепочка в любом наборе, мы можем вычислить вероятность успеха прохождения испытания:
Еще немного математики
Итак, что нам нужно, чтобы выяснить вероятность существования длинной цепочки?
Для цепочки с длиной l, вероятность того, что коробки будут вне этой цепочки равно:
В этой коллекции чисел существует (l-1)! способов расположить таблички.
Оставшиеся таблички могут быть расположены (100-l)! способами (не забываем, что длина цепочки не превосходит 50).
Учитывая это, число перестановок, которые содержат цепочку точной длины l: (>50)
Выходит, есть 100(!) способов раскладок табличек, так что вероятность существования цепочки длиной l равно 1/l. Кстати, этот результат не зависит от количества коробок.
Как мы уже знаем, может быть только один вариант, при котором существует цепочка длиной > 50, так что вероятность успеха рассчитывается по данной формуле:
Результат
31.18% — вероятность того, что размер самой длинной цепочки будет меньше 50 и каждый из заключенных сможет найти свою табличку, учитывая лимит в 50 попыток.
Вероятность того, что все заключенные найдут свои таблички и пройдут испытание 31.18%
Ниже приведен график, показывающий вероятности (по оси ординат) для всех цепей длины l (на оси абсцисс). Красный цвет означает все «неудачи» (данная кривая здесь — это просто график 1/l). Зеленый цвет означает «успех» (расчет немного сложнее для этой части графика, так как существует несколько способов для определения максимальной длины <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Гармоническое число (эта часть статьи для гиков)
В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда.
Мы можем рассчитать вероятность побега из тюрьмы, складывая соответствующие гармонические числа.
Посчитаем лимит, если вместо 100а коробок мы имеем произвольное большое количество коробок (давайте считать, что у нас есть 2n коробок в итоге).
Постоянная Эйлера—Маскерони — константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
Так как число заключенных увеличивается, то при условии, если надсмотрщик разрешает заключенным открывать половину всех коробок, то шанс на спасение стремится к числу 30.685%
(Если вы приняли решение, при котором заключенные случайно угадывают коробки, то с увеличением количества заключенных вероятность спасения стремится к нулю!)
Дополнительный вопрос
Кто-нибудь еще помнит про дополнительный вопрос? Что может сделать наш полезный товарищ, чтобы увеличить шансы на выживание?
Сейчас мы уже знаем решение, так что стратегия тут простая: он должен изучить все таблички и найти самую длинную цепочку из коробок. Если самая длинная цепочка меньше 50-ти, то ему вообще не нужно менять таблички, или поменять их так, чтобы самая длинная цепочка не стала длиннее 50-ти. Тем не менее, если он нашел цепочку длиннее 50-ти коробок, всё, что ему нужно — это поменять содержимое двух коробок из этой цепи, чтобы разбить эту цепочку на две более короткие цепи.
В результате этой стратегии не будет длинных цепочек и все заключенные гарантированно найдут свою табличку и спасение. Так что, поменяв местами две таблички, мы сводим вероятность спасения к 100%!
Автор: megabraza
