Intro
Я публикую этот топик как tutorial. Собственно говоря, существенной новизны в материале нет, тема заезжена. Думаю, что интересным будет подход к решению задачи.
Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (а по ним в основном и строятся вычисления таких функций в калькуляторах и некоторых библиотеках). Вот что получилось.
1. Исходный интеграл и кубическое уравнение
Нужно найти неопределенный интеграл
Применяя метод неопределенных коэффициентов, представим знаменатель подынтегральной функции как
откуда получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, для решения которой требуется найти положительный корень неполного кубического уравнения
Исследуя функцию 
в левой части уравнения на монотонность, можно выяснить, что она имеет максимум
и минимум
При этом
Тогда из непрерывности функции 
следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня, причем два отрицательных и один положительный, принадлежащий отрезку 
, 
.
Найдем его.
2. Поиск положительного решения
Заметим, что наше уравнение не имеет рациональных корней.
Начнем со следующего тождества, справедливость которого, наверное, многие доказывали в школе:
Преобразуем его к виду
Тогда решение кубического уравнения сводится к решению системы
причем 
(по условию положительности корня).
От данной системы перейдем к системе
По сути в (1) записана теорема Виета для квадратного уравнения
или
Дискриминант здесь отрицательный, казалось бы, можно закончить решение, но нам требуется не действительность 
и 
, а действительность их суммы. В этом помогут комплексные числа.
где 
— мнимая единица.
Тригонометрическая форма записи корней квадратного уравнения имеет вид
.
Тогда
Может возникнуть вопрос: в системе (1) первое уравнение было получено возведением обеих частей в куб, не вызовет ли это появление дополнительных комплексных корней? Нет, поскольку если выразить 
через 
в исходной системе, то получится уже рассмотренное квадратное уравнение. При выражении 
через 
имеем тоже самое. Это и доказывает справедливость последней совокупности.
Извлечем кубический корень из 
и 
по правилу извлечения корней из комплексных чисел. Получим
где
Выберем такую пару 
и 
, чтобы их сумма в мнимой части комплексного числа давала 0, а действительная часть была бы отрицательной. При этом будем использовать формулы привидения (если требуется найти остальные корни уравнения, то лучше использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение), а также учтем, что угол 
принадлежит первой четверти. Тогда
Откуда искомый корень
Если использовать тригонометрическую формулу Виета, то полученный корень запишется в более простой форме
Возникает вопрос: почему я не использовал формулу Кардано? Ведь в школах нам говорили, что для решения кубических уравнений используют ее. По своей форме она похожа на то, что сейчас проделал — в итоге придется извлекать кубический корень из комплексного числа. Кстати, именно при решении уравнений третьей степени комплексные числа впервые получили свое применение.
Замечу, что для выяснения состава корней кубического уравнения используют понятие дискриминанта (как и в случае квадратного уравнения). Вообще, понятие дискриминанта в алгебре введено для многочленов произвольной степени.
2. Пример физической задачи с кубическим уравнением
В журнале «Квант» мне как-то раз попалась интересная задачка по физике с выходом на решение кубического уравнения. Суть в следующем. Нужно определить, какую максимальную скорость 
может развить автомобиль массой 
(вместе с человеком) при известной наибольшей мощности 
двигателя?
При наибольшей скорости автомобиля его ускорение равно нулю, поскольку производная функции обращается в ноль в точке экстремума. Хотя оно равно нулю и при движении с постоянной скоростью. Тогда можно сказать так: какую максимальную постоянную скорость автомобиль может развить?
На больших скоростях пренебрегать сопротивлением воздуха уже нельзя, при этом сила лобового сопротивления выражается не по закону Стокса, а по квадратичному закону, поскольку скорость движения достаточно велика. Тогда сила тяги двигателя уравновешивается силой сопротивления воздуха и силами трения качения и скольжения, возникающими между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном:
где 
— суммарный коэффициент трения, 
— ускорение свободного падения, 
— коэффициент аэродинамического сопротивления, 
— площадь лобового сечения автомобиля, откуда и получаем неполное кубическое уравнение.
Вместо заключения
При прочтении топика у читателя могли возникнуть вопросы. Например, такие:
1. Почему автор не рассматривал полного кубического уравнения? Ответ: полное кубическое уравнение сводится к неполному (каноническому виду) заменой
где 
— новая переменная, 
— коэффициент при 
, 
— коэффициент при 
.
2. В начале топика было рассмотрен многочлен четвертой степени. Есть ли методы, позволяющие аналитически разрешать такие уравнения? Ответ: да, существует метод Феррари.
3. По теореме Абеля-Руффини уравнение, выше четвертой степени, не разрешимо в радикалах. А тут получается корень кубического уравнения, содержащий тригонометрические функции, который, скорее всего, нельзя выразить через радикалы, как так? Ответ: в формулировке теоремы имеется в виду общая запись корня, т.е. корни могут извлекаться и из комплексных чисел при подстановке в формулы коэффициентов уравнения.
4. После Эвариста Галуа были ли попытки получения формул корней уравнения произвольной степени? Ответ: не так давно мне попался на глаза русский перевод книги американского математика Дэвида Мамфорда «Лекции о тэта-функциях» (Мир, 1988). Там в качестве добавления приведена работа Хироси Умемура «Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант», где заменяется функция извлечения корня другой функцией — так называемой модулярной функцией Зигеля, выражаемой через тэта-константы. В этой работе также освещена история исследования данного вопроса после Галуа.
5. Как я понимаю, такие формулы не применимы для использования в практических задачах решения уравнений произвольной степени. Есть ли какие-нибудь современные работы с описанием алгоритмов получения приближенных корней? Ответ: советую посмотреть книгу Геннадия Павловича Кутищева «Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы» (URSS, 2010).
6. Существуют ли современные модификации численного метода Ньютона, являющегося на сегодняшний день основным для получения приближенных решений уравнений и систем уравнений? Ответ: можно посмотреть статью Janak Raj Sharma, Rangan Kumar Guha и Rajni Sharma «An efficient fourth order weighted-Newton method for systems of nonlinear equations».
7. Имеются ли какие-нибудь частные случаи уравнений высокой степени, для которых удалось получить аналитические формулы корней? Ответ: корень Бринга для поиска действительного решения уравнения пятой степени и формула Лоуренса Глассера для неполных уравнений произвольной степени.
В заключении для начинающих рекомендую посмотреть книгу С.Л. Табачникова и Д.Б. Фукса «Математический дивертисмент» (МЦНМО, 2010).
Автор: pchelintsev_an
