Иногда мне в голову попадают задачи, не имеющие какой-то очевидной практической ценности, но, тем не менее, они захватывают так или иначе мое воображение, по крайней мере, пока не решу. Практическая ценность задачи, как правило, нулевая, но в процессе решаются другие, которые могут иметь бОльшую ценность, чем решенная.
Все началось с желания изучить свойства правильных октагонов и октаграмм, но результаты оказались применимы ко всем выпуклым многоугольникам (полигонам) и звездам, построенным в них (по аналогии назову их полиграммами — пентаграмма, гексаграмма, септаграмма, октаграмма и т.д. — хотя этот термин имеет и иные значения).
Для начала терминология. Пентаграммой называют совокупность всех диагоналей пятиугольника, в случае гексаграммы — это уже не все диагонали, а только те, которые соединяют непротивоположные вершины шестиугольника. Во обоих случаях эти вершины идут через одну друг от друга. Например, если вершины пятиугольника перенумеровать (0, 1, 2, 3, 4), то пентаграмма — совокупность линий (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 0), (4, 1). Гексаграмма (0, 1, 2, 3, 4, 5), соответственно, является совокупностью линий (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 0), (5, 1). Нули в качестве начальной точки взяты не случайно и не как дань програмистскому , удобство этого обозначения я опишу ниже. Линии, образующие полиграмму, я буду называть ребрами. Вершинами полиграммы я буду называть вершины исходного полигона, а не все точки пересечения ребер.
Определение можно обобщить, введя понятие «порядок полиграммы» как некоторое целое число k, имеющее диапазон значений между 1 и n / 2, где n — количество углов исходного полигона. Верхняя граница k (равная целой части n / 2) определят количество разных обобщенных полиграмм. Сам же порядок обозначает, какая по счету вершина от исходной должна быть соединена диагональю, входящей в полиграмму. Что это значит? Если рассматривать номера вершин полиграммы, начиная с нуля, то они образуют аддитивную группу вычетов по модулю n. Пусть m — это номер вершины полиграммы. Тогда отрезок, соединяющий вершину m и m + k (где k — порядок полиграммы) в данной группе, будет являться частью полиграммы порядка k. В этом обобщении полиграмма порядка 1 совпадет с исходным многоугольником.
В случае пентагона согласно формуле существует две обобщенные пентаграммы — сам пентагон и пентаграмма в классическом смысле.
В случае гексагона есть три обобщенные гексаграммы: сам гексагон, классическая гексаграмма и диагонали, соединяющие противоположенные вершины (вырожденный случай).
Для лучше иллюстрации разберу полиграмм для септагона и октагона. По формуле количество септаграмм будет равно трем, количество октаграмм четырем.
В качестве побочного эффекта можно увидеть, что полиграммы естественным образом делятся на связные и несвязные. Связные полиграммы — это полиграммы, между любой парой вершин которых существует путь по ребрам (перескакивать с ребра на ребро можно только в вершинах многоугольника). Воспользовавшись теорией чисел, можно заметить, что полиграммы связны тогда и только тогда, когда количество углов исходного полигона и порядок полиграммы — взаимно простые числа.
На картинке ниже приведены примеры несвязных полиграмм, их отдельные части выделены разными цветами. Нонаграмма (n = 9, k = 3) распадается на три треугольника, декаграмма (n = 10, k = 4) — на две пентаграммы:
Теперь полиграммы с тем же количеством углов (n = 9, k = 2 и n = 10, k = 3), но уже связные:
Кроме того, в случае четных n и максимальных для такого случая k (k = n / 2) полиграммы вырождаются в набор диагоналей, соединяющих противоположные вершины.
Довольно неожиданным для меня результатом оказалось то, что сумма углов при вершинах полиграмм (в случае выпуклых полигонов) является довольно просто вычислимая величина: π(n — 2k). В случае полиграмм первого порядка (которые совпадают с исходным полигоном) формула сводится к известной формуле вычисления углов многоугольника, в случае же вырожденной полиграммы сумма углов оказывается равной нулю (что естественно). Доказательство этого факта заключается в следующем: каждое ребро полиграммы (при 1 < k < n / 2 — отброшен случай вырожденной полиграммы и совпадающей с исходным полигоном) делит многоугольник на два: один c k + 1 углом, другой с n — k + 1. просуммировав суммы углов всех меньших по количеству углов частей (которые с k + 1 углом), получится результат π(k — 1)n (на каждую вершину полигона по одному (k + 1)-угольнику). Каждый целый угол исходного полигона присутствует k — 1 раз. Плюс к этому по одному разу присутствуют смежные с углами полиграммы углы, Если из первой суммы вычесть присутствующую в ней сумму целых углов полиграммы (которая равна π(n — 2)(k — 1), так как каждый целый угол встречается k — 1 раз), получится сумма смежных с углами полиграммы углов π(k — 1)n — π(n — 2)(k — 1). Если теперь из суммы углов исходного полигона вычесть эту сумму углов, получится сумма углов полиграммы:
π(n — 2) — (π(k — 1)n — π(n — 2)(k — 1)) = π(n — 2) — π(k — 1)n + π(n — 2)(k — 1) = π(n — 2)k — π(k — 1)n = π(n — 2k)
Все иллюстрации и рассуждения выше относились к любым полиграммам, построенным на выпуклых многоугольниках. На рисунках я изобразил случаи правильных полиграмм исключительно из собственной лени — так было проще написать рисующую программу. Далее речь пойдет только о правильных полиграммах.
Исходя из формулы выше, угол при вершине правильной полиграммы равен π — 2πk / n.
Если взять горизонт (множество внешних точек) правильной полиграммы, то данная фигура будет представлять собой невыпуклый 2n-угольник (n — количество вершин полиграммы. Границы фигур справа иллюстрируют это:
Таким образом появляется еще n «лишних» углов, которые я буду называть внутренними углами полиграммы. Эти углы невыпуклы, из формулы суммы углов многоугольника для правильной полиграммы они равны (π(2n — 2) — π(n — 2k)) / n = π(n + 2k — 2) / n = π + 2π(k — 1) / n. Обратные по отношению к ним углы равны, соответственно π — 2π(k — 1) / n. Этот угол я буду называть углом между лучами.
Данные вычисления могут пригодиться для построения узоров и забавных орнаментов, что будет проиллюстрировано ниже для терпеливых читателей.
Далее идет достаточно бесполезная часть, которая доставила мне в свое время эстетическое удовольствие, но результатом которой может быть лишь потерянное время читателя, что и послужило причиной добавления в хабр «Забавные задачки».
π — 4π / n + 2(π — 2π / n) = 2π
3π — 8π / n = 2π
8π / n = pi;
n = 8
Таким образом, октаграмму при k = 2 можно получить, нарисовав 8 восьмиугольников, соседние из которых имеют общую сторону — внутренние стороны таких многоугольников образуют горизонт такой октаграммы.
Октаграмма (n = 8, k = 2) является несвязной и состоит из двух квадратов (углы во всех вершинах прямые: π — 4 π / 8 = π / 2). На лучах такой октаграммы можно построить квадраты со стороной, равной стороне луча.
Внутренний угол этой октаграммы равен 5π / 4. Вычитая из внутреннего угла сумму углов квадратов, построенных на лучах, получится угол между сторонами соседних квадратов, находящихся внутри октограммы. Этот угол равен π / 4. Итак, внутренние стороны квадратов образуют звездообразную фигуру с углами при восьми вершинах π / 4 и углами между лучами π / 2 (угол при вершине квадрата). Таким образом, внутренние углы этой фигуры будут равны 3π / 2.
Если теперь рассмотреть углы октаграммы (n = 8, k = 3), обнаруживается, что угол при вершине равен π — 2πk / n = π / 4, а внутренние углы π + 2π(k — 1) / n = 3π / 2, что в точности соответсвует фигуре, ограниченной квадратами, описанными выше.
Иллюстрацией этих вычислений может послужить симпатичная картинка:
Если это третий многоугольник, то количество сторон можно вычислить уравнением:
π — 4π / n + 3(π — 2π / n) = 2π
2π — 10π / n = 0
n = 5
Таким образом, вокруг луча пятиконечной звезды можно нарисовать три пятиугольника с общей вершиной в вершине пентаграммы. К сожалению, в данном случае мозаики не получится, разве что узор, подобный описанному выше, где вокруг вершины каждого луча группируется три пятиугольника:
Рассматривая случай с двумя многоугольниками и двумя лучами, можно придти к следующему уравнению:
2(π — 4π / n) + 2(π — 2π / n) = 2π
2π — 12π / n = 0
n = 6
Результатом получается вот такая мозаика:
Автор: Anarchist
