Представьте карандаш на столе. Задача: повернуть его так, чтобы он указал в каждом возможном направлении ровно один раз, минимально соприкасаясь со столом. Можно вращать карандаш круговым движением вокруг середины, но существуют более эффективные способы.
По словам Джонатана Хикмана из Эдинбургского университета, эта проблема, хоть и кажется простой задачей о пересечении прямых, содержит удивительное богатство связей с другими математическими задачами.
Математики полвека искали оптимальное решение для трехмерной версии этой задачи: как направить карандаш во все стороны в пространстве, минимизируя объем, через который он проходит. Эта проблема не поддавалась решению даже выдающимся математикам и связана со многими нерешенными вопросами.
Недавно Хонг Ван из Института Куранта и Джошуа Зал из Университета Британской Колумбии опубликовали доказательство трехмерной гипотезы Какеи, установив абсолютный минимум для объема такого движения.
Как отметил математик Нетс Кац из Университета Райса, "это открытие настолько значительно, что его даже не нужно специально рекламировать — такие результаты появляются примерно раз в столетие".
Задача Соити Какея
В 1917 году Соити Какея сформулировал задачу, но с бесконечно тонким карандашом. Он нашёл способ скольжения карандаша, при котором он покрывал меньшую площадь, чем при инстинктивном круговом движении.
Какея изначально интересовался вопросом о минимальной площади, которую может занять карандаш при вращении. Через два года русский математик Абрам Безикович предложил неожиданное решение: он разработал сложную систему узких поворотов, которая, вопреки интуиции, не занимает никакого пространства.
Проблема оставалась в основном нерешенной до 1971 года, когда Чарльз Фефферман обнаружил связь с совершенно другой областью математики — преобразованием Фурье, которое позволяет представить любую функцию как комбинацию волн. В ходе своих исследований Фефферман столкнулся с модифицированной версией задачи Какеи, где рассматривался карандаш с толщиной, вращающийся в трехмерном пространстве. Вопрос теперь стал более сложным: как толщина карандаша влияет на объем пространства, которое он охватывает при вращении?
Математики предпочитают иначе визуализировать эту задачу, хотя суть остается той же. Вместо перемещения одного карандаша представьте все его возможные положения одновременно — это создает структуру из перекрывающихся "призрачных" трубок, направленных во все стороны. Эта конфигурация называется "набором Какеи". Можно менять положение этих трубок в пространстве, но нельзя изменять их направление. Цель — найти такое расположение, при котором трубки максимально перекрываются, минимизируя общий объем.
Фефферман обнаружил, что даже оптимально перекрывающийся набор Какея должен занимать определенный объем в пространстве. Этот минимальный объем напрямую связан с толщиной трубок. Для количественной оценки соотношения между толщиной трубок и объемом набора математики используют специальную величину — размерность Минковского. Чем ниже размерность Минковского, тем сильнее можно уменьшить объем набора при небольшом уменьшении толщины трубок.
Трехмерная гипотеза Какея утверждает, что размерность Минковского такого набора в трехмерном пространстве должна быть равна трем. Хотя это кажется довольно скромным утверждением (например, уменьшение толщины трубок вдвое уменьшит общий объем не более чем на четверть), доказать даже это ограничение оказалось чрезвычайно сложной задачей для математиков.
Шаг вперед
В 2022 году, через пятьдесят лет после формулировки современной гипотезы Какеи, Ван и Зал совершили существенный прорыв. Опираясь на программу, разработанную Кацем и Теренсом Тао еще в 2014 году, они сосредоточились на изучении сложного класса множеств Какеи.
Их доказательство установило, что каждое множество из этого специфического класса имеет размерность равную трем. Это утверждение справедливо как для размерности Минковского, так и для близко связанной с ней размерности Хаусдорфа.
Устранив эту проблемную группу множеств, исследователям теперь предстояло доказать, что размерность равна трем и для всех остальных наборов Какеи, чтобы полностью подтвердить гипотезу.
В своем подходе Ван и Зал применили пошаговую стратегию. Они начали с рассмотрения узких интервалов размерностей Минковского — например, от 2,5 до 2,6 — и пытались доказать, что в этом диапазоне не может существовать множество Какея. Если бы им удалось доказать это для каждого интервала вплоть до 3, они бы подтвердили гипотезу Какея.
К их преимуществу, некоторая работа уже была проделана ранее. В 1995 году Том Вольф доказал, что ни одно трехмерное множество Какея не может иметь размерность Хаусдорфа или Минковского меньше 2,5. Теперь Вангу и Залу требовалось доказать, что размерность между 2,5 и, например, 2,500001 также невозможна. После этого они могли бы повторить аргументацию для следующего крошечного интервала 2,500002 и так далее, постепенно исключая возможность существования множеств Какея во всех интервалах до 3.
На практике им не пришлось утомительно доказывать каждое из миллионов таких малых приращений по отдельности. Им нужно было доказать только первое приращение и показать, что одно ограничение автоматически влечет за собой следующее, чуть большее. Затем требовалось продемонстрировать, что их аргумент работает независимо от начальной точки — этого было бы достаточно для доказательства, что ограничение можно увеличить до 3.
Однако в отличие от их работы 2022 года, когда они использовали стратегию, разработанную Кацем и Тао, на этот раз у них не было готовой дорожной карты. Для решения задачи они обратились к особому свойству, известному как зернистость.
Ларри Гут из Массачусетского технологического института сделал важное открытие в 2014 году: он доказал, что любой потенциальный контрпример к гипотезе Какеи должен обладать свойством "зернистости". В зернистом множестве существует много маленьких трехмерных областей ("зерен"), где происходит перекрытие множества трубок. Каждое такое "зерно" имеет толщину примерно одной трубки, немного больше в ширину, но не очень большую длину, и через него проходит значительное количество трубок.
Ван и Зал осознали, что могут значительно упростить задачу, полностью отказавшись от работы с трубками и сосредоточившись на этих более простых "зернах". Они обнаружили, что гораздо легче перечислить и математически вычислить различные способы наложения зерен, чем работать с полными наборами трубок.Это упрощение позволило им применить более эффективные математические методы к проблеме и продвинуться к ее решению.
Ван и Зал обнаружили ключевую закономерность: даже когда все "зерна" объединялись для создания максимального перекрытия, количество зерен, пересекающихся в любой конкретной точке пространства, не могло превышать определенный предел. Начав с уже доказанной Вольфом границы в 2,5, они смогли математически показать, что зерна не могут перекрываться настолько сильно, чтобы размерность была лишь немного выше этой границы.
Затем они применили тот же метод, начиная с этой новой, чуть более высокой границы, и доказали, что те же математические шаги позволяют поднять ограничение еще выше. Повторяя этот процесс, они создали своего рода математический "усилитель", который последовательно поднимал нижнюю границу размерности.
Как образно выразился Тао: "Это похоже на совершенствование вечного двигателя. Это волшебно. На выходе они получают больше, чем на входе." Эта "машина" позволила им в итоге довести доказательство до размерности пространства равной трем, как по Минковскому, так и по Хаусдорфу, тем самым окончательно подтвердив трехмерную гипотезу Какеи.
Башня мечты
Решение задачи Какеи стало революционным прорывом в гармоническом анализе, который изучает свойства преобразования Фурье.
На гипотезе Какеи основывается целая "башня" из трех фундаментальных гипотез в области гармонического анализа. Каждый уровень этой башни должен иметь прочное основание, чтобы вышележащие уровни могли существовать. Если бы гипотеза Какеи оказалась неверной — если бы Ван и Зал нашли контрпример — вся эта теоретическая конструкция рухнула бы.
Теперь, когда они доказали гипотезу, у математиков появилась возможность продвигаться вверх по этой "башне", используя результаты Какеи для построения доказательств все более амбициозных гипотез.
"Все эти задачи, о решении которых математики только мечтали, теперь кажутся достижимыми," — отметил Гут.
Этот процесс уже начался. Недавно Ван в соавторстве с другими учеными опубликовал статью, в которой следующая гипотеза в "башне" сводится к более сильной версии гипотезы Какеи — шаг к объединению двух уровней теории.
Это также значительный прогресс в многомерной математике, которая долгое время оставалась ограниченной двумя измерениями.
"Математики хорошо понимали, что происходит в смежных с Какеей задачах в двух измерениях, но нам не хватало инструментов для изучения более высоких измерений," — сказал Ван. "Поэтому я чувствую, что эта работа была необходима."
Четырехмерная версия гипотезы Какеи все еще остается нерешенной, как и ряд других четырехмерных гипотез. По мнению Гута, хотя в будущем возникнут новые трудности, переход от двух измерений к трем был самым сложным, и доказательство Вана и Зала, вероятно, можно будет адаптировать для решения этих и других гипотез.
"Когда я, будучи молодым математиком, впервые заинтересовался задачей Какеи, она казалась такой простой и геометрической, что я был удивлен, узнав, насколько она сложна," — признался Гут. Много лет спустя Ван, его аспирант, был вдохновлен той же обманчивой простотой задачи.
"В этой задаче есть конкретные вещи, которые можно представить. Она не так пугающа, как другие математические теории," — отметил Ван. "Я просто хотел понять, почему она настолько сложна."
Теперь, благодаря работе Вана и Зала, это понимание стало ближе, чем когда-либо. "Я действительно считаю, что здесь собрана критическая масса идей, способных произвести революцию во всей отрасли," — заключил Хикман. "Это очень, очень захватывающее время."
-
Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»
Автор: andreybrylb
