Это будет очень большая статья, в рамках которой я бы хотел обсудить одну проблему, которая подавляющему большинству людей кажется абсолютно незначительной и уже давно решенной, однако на самом деле это проблема не решена и она не просто не незначительна, но имеет огромное фундаментальное значение в контексте развития современного естествознания. Речь идет об апориях Зенона. Если ранее вы о них ничего не слышали или слышали только мельком, то приготовьтесь, сейчас вам откроется целый удивительный мир, в котором сходятся в одно целое математика, философия и естествознание. Если об апориях вы хорошо осведомлены и считаете, что я решил вновь попереливать из пустого в порожнее давно решенные в математическом анализе древние загадки, то будьте готовы расстаться с прежними шаблонами и взглянуть на мир совершенно под другим, весьма неожиданным углом. Статья будет сложной, но я хочу, чтобы она оказалась понятной и новичкам и людям опытным в разных науках, поэтому она будет объемной, так как придется многие моменты подробно разъяснять. Моя цель - показать, что мир совсем не такой, каким кажется. Показать, что древние логические парадоксы - это нечто гораздо большее, чем просто веселые задачки для ума. Показать, что философия - это не просто словоблудие, а истинный способ заглянуть за ширму мироздания, но только при условии, что философ готов опираться на математику и физику, а физики и математики готовы мыслить по-настоящему философски (как эти делали, кстати, абсолютно все величайшие ученые в истории человечества).
Глава 1. Исторический контекст
Зенон Элейский - это древнегреческий философ, живший в V веке до н.э. и принадлежавший к философской школе элеатов, получившей свое название от греческой колонии Элеи в Италии, где эта школа и развивалась. Зенон был учеником Парменида - основателя школы элеатов, и составил свои знаменитые апории для защиты идей своего учителя от критических нападок. Кто же и почему нападал на идеи Парменида?
Философия Античной Греции очень богата и разнообразна. Тот период в развитии философии, когда жили Парменид и Зенон очень условно и с большой натяжкой принято называть "досократической философией" (почему условно и с большой натяжкой, можно прочитать подробнее в этой статье советского и российского философа и филолога А.В. Лебедева). Главной целью философов данного периода был поиск архэ - то есть первоосновы всего Мироздания. И всё многообразие философов со всеми их вариантами ответов на вопрос о том, что есть архэ можно условно объединить в две большие группы:
1) "Ионийцы" - это философы, жившие и творившие в греческих колониях на полуострове Малая Азия (сейчас это Турция). Для них был характерен эмпиризм, натурализм и, как следствие, более материалистические взгляды на мир, и даже эволюционизм. Они стремились познать архэ через наблюдение за природой посредством ее эмпирического изучения. Природу же они считали развивающейся, эволюционирующей системой. И ответы на вопрос о том, что есть архэ тоже брали из природы. Яркими представителями данного направления являлись отец философии Фалес Милетский, считавший, что архэ есть вода, его ученик Анаксимандр, создавший концепцию архэ как апейрона - бесконечного и бескачественного начала мира, Анаксимен, считавший, что архэ - это воздух, и Гераклит, назвавший архэ Логосом, а сущностью Логоса - огонь. Также с небольшими оговорками к этому направлению можно отнести Анаксагора и его ученика Архелая, развивавших концепцию гомеомерий, то есть элементарных единиц всех качеств, которые присутствуют в мире, и Диогена Аполлонийского, который стал одним из последних "досократиков" и попытался как бы подвести общий итог развития досократической философии в целом и ионийской философии в частности.
2) "Италийцы" - это философы, жившие и творившие в греческих колониях в Италии. Для них были характерны рационализм и логицизм, как следствие, более идеалистические взгляды на мир и, в противоположность ионийцам, антиэволюционизм. То есть они считали, что настоящая истина познается только при помощи разума через логику, а чувственное познание обманчиво. Также, для италийцев были характерны взгляды на мир, как фундаментально завершенную систему, которая никуда не развивается и не изменяется, а все наблюдаемые изменения - это иллюзия. Яркими представителями данного направления являлись Пифагор с его концепцией математической Вселенной, в рамках которой архэ есть число, как единство конечного и бесконечного, Ксенофан, который провозгласил, что Бог един и это и есть сама Вселенная, и, наконец сам Парменид и его последователи в лице Зенона и Мелисса. Условно по географическому принципу сюда примыкает Эмпедокл, хотя его идеи о множественном характере архэ и развитии мира через противоречия больше напоминают ионийскую парадигму.
Так вот, учитель Зенона Парменид, заявил, что архэ есть само бытие. Бытие - это не просто всё, что есть, но сама "естьность" всего, вся Вселенная как единый организм. Парменид заявил, что "бытие есть, а небытия нет", а значит:
-
Бытие едино, а множественность вещей иллюзорна, так как если бы бытие не было единым, оно должно было бы чем-то разделяться внутри себя на части и этот "разделитель" должен был бы отличаться от бытия, то есть быть, небытием, но небытия нет.
-
Бытие неподвижно и неизменно, иначе, если бы оно двигалось или изменялось, то оно должно было бы переходить из одного место в другое, из одного состояния в другое, но это невозможно, так как другое место и состояние, в которые должно было бы переходить бытие, должны были бы быть небытием, но небытия нет.
-
Быти вечно, оно ничем и никем не порождено, так как если бы оно когда-то возникло, значит оно должно было бы возникнуть из небытия, но небытия нет. Более того, иллюзорно, таким образом, не только движение в пространстве, но и движение во времени, так как прошлого уже нет, а будущего еще нет, значит они - в небытии, а его нет. Есть только чистое настоящее, которое не имеет длительности (иначе бы время шло из небытия в бытие), а значит и движение во времени - это иллюзия.
-
Бытие неподвержено гибели, так как гибель бытия означала бы переход бытия в небытие, но небытия нет.
-
Бытие и (сознание) - одно и то же, так как нельзя мыслить "ничего" (небытие). А значит, что или сознание и "внешнее" бытие - это два разных бытия, или одно и то же. Но двух бытий быть не может, так как они должны были бы разделяться небытием, а следовательно, сознание и бытие тождественны.
Таким образом, Парменид считал, в общем и целом, что мир един и неизменен, любое движение (хоть во времени, хоть в пространстве)- это иллюзия восприятия, истинное архэ - это бытие, познаваемое только разумом, но ненаблюдаемое эмпирически.
Вот против таких весьма контринтуитивных тезисов Парменида и выступили его оппоненты, пытаясь оспорить данное учение. Парменид записал свое учение в стихотворной форме в трактате "О природе", который до нас дошел в обрывках. Судя по всему, спорить с аргументами, описанными в стихах, было не сложно, поэтому ученик Парменида Зенон поднял аргументацию на качественно новый уровень - он сформулировал логические парадоксы, из которых нельзя выбраться иначе, кроме как признав правоту Парменида. Эти парадоксы и вошли в историю как апории Зенона.
Важно отметить абсолютную гениальность Парменида, ведь из одной довольно прозрачной и простой фразы ("бытие есть, а небытия нет"), он выстроил целую систему, логически безупречную. Более того, в этой фразе в неявном виде уже содержатся и все три закона формальной логики, сформулированные через два века Аристотелем (закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего). И более того! Сама эта фраза абсолютно математична! Она как бы жестко утверждает: 1 - есть, 0 - нет. Или одно, или другое. Третьего не дано. И никакой лирики и словоблудия.
Так вот ученик Парменида Зенон оказался не менее гениальным, подняв аргументацию на такой уровень, что апории Зенона не дают покоя лучшим умам человечества уже 2500 лет!
Давайте вместе прежде всего внимательно изучим апории Зенона о движении.
Глава 2. Апории Зенона о движении
Так в чем же заключались апории Зенона, при помощи которых он доказывал правоту своего учителя?
Согласно Википедии, Зенон составил 45 апорий, из которых до нас дошли только 9. Особый интерес представляют 4 апории о движении, которые носят как бы парный характер (далее объясню, почему).
"Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия"
Самая известная апория Зенона - это "Ахиллес и черепаха". Ахиллес - великий герой, самый сильный и быстрый бегун. Черепаха - символ медлительности.
Зенон говорит, что если между Ахиллесом и черепахой тысяча шагов, и Ахиллес бежит быстрее черепахи в 10 раз, он её всё равно никогда не догонит, потому что когда Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползет 100, когда Ахиллес пробежит 100, за это же время черепаха пройдет 10, когда Ахиллес пробежит 10, черепаха будет впереди на 1 шаг, но когда Ахиллес сделает один шаг, черепаха будет впереди на 0,1 шага, потом на 0,01 шага, потом на 0,001 шага и так будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Ниже мы с вами разберем абсолютно все варианты решения данной апории, включая математический анализ, и мы увидим, что вопреки распространенному мнению, абсолютно все варианты решения неудовлетворительны. Но сейчас, чтобы мы могли совершить плавный логический переход к другим апориям, я скажу лишь следующее. Часто современные люди и древние оппоненты Зенона утверждали и утверждают, что Ахиллес пройдет бесконечное количество отрезков за конечное время и поэтому он догонит черепаху и никакого парадокса тут нет. Предположим, Ахиллесу на это понадобится 11 минут (можно подставить любую другую цифру, сейчас это неважно). Но тут хитрый Зенон нас уже поджидает со своей второй апорией, которая называется "Дихотомия".
Согласно "Дихотомии", Ахиллес не догонит черепаху ни за какое конечное время, потому что если Ахиллесу нужно 11 минут, чтоб догнать черепаху, как в нашем примере (можете подставить любое другое число), и допустим, что Ахиллес уже пробежал 10 минут, то для того, чтобы наступила 11-ая минута, нужно, чтобы прошло сначала полминуты, а до этого четверть минуты, а до этого 1/8, а до этого 1/16 и так далее до бесконечности. Последняя минута никогда не настанет, Ахиллес снова не догнал черепаху.
Более того, согласно апории "Дихотомия", Ахиллес не сможет догнать даже неподвижную черепаху, потому что если между Ахиллесом и неподвижной черепахой 1000 шагов, то для того, чтобы догнать неподвижную черепаху, Ахиллесу нужно пробежать сначала половину этого расстояния (500 шагов), а до этого четверть, 1/8 и так далее до бесконечности. Ахиллес не может догнать даже неподвижную черепаху.
Аргумент о том, что возможно пройти бесконечное количество отрезков пространства за конечное время, тем не менее, жив до сих пор. Удивительно, что если почитать первоисточники, обратиться к "Фрагментам досократиков", то мы увидим, что современным ученым-математикам, которые порой утверждают возможность прохождения бесконечного расстояния за конечное время (а таковых на просторах Интернета весьма немало), уже заранее отвечал сам Зенон, предвидя эти аргументы. Согласно сохранившимся сведениям, Зенон говорил, что невозможно пройти бесконечное расстояние за конечное время, так как это означало бы, что бесконечность пройдена из конца в конец, что противоречит самому понятию бесконечности.
Таким образом, апория "Ахиллес и черепаха" показывает, что, начавшись, движение не может закончиться (Ахиллес никогда не догонит черепаху), а апория "Дихотомия" показывает, что движение не может даже начаться (Ахиллес не может сделать даже первый шаг, так как сначала нужно сделать полшага, а до этого половину половины и так до бесконечности). Обе апории показывают весьма странную противоречивость движения, что, по мнению Зенона, и доказывает, что движение иллюзорно.
Однако обе апории исходят из бесконечной делимости непрерывного (континуального) пространства и времени. Поэтому единственный реальный способ решить эти две апории - это допустить, что пространство и время квантуются, то есть имеют дискретную, неделимую далее величину. Но и здесь хитрый Зенон всё предвидел уже 2500 лет назад и заготовил для нас вторую пару апорий, пару, которая показывает, что движение противоречиво, даже в случае дискретности пространства и времени: это апории "Стрела" и "Стадий" (то есть стадион). Вот почему я сказал, что апории о движении носят парный характер: первая пара апорий показывает противоречивость движения при континуальности и бесконечной делимости пространства и времени и эти апории решаются только через допущение дискретности, но вторая пара апорий показывает противоречивость движения при дискретности пространства и времени, а потому решается только через допущение континуальности, и мы вновь возвращаемся к тому, с чего начали и Зенона снова переиграл и уничтожил всех своих оппонентов даже 2500 лет спустя.
"Стрела" и "Стадий"
Итак, в чем же заключается апория "Стрела"? Данная апория гласит, что если пространство и время дискретны, значит летящая стрела в каждый дискретный момент времени находится в дискретной точке пространства (или в дискретном отрезке, неважно). Но раз так, то это значит, что летящая стрела в каждый момент времени неподвижна. Летящая стрела буквально всегда неподвижна. Следовательно, движения нет.
И действительно, если пространство и время квантованы (дискретны), значит летящая стрела перемещается из одной дискреты пространства в другую словно какими-то квантовыми скачами, исчезая в одном месте и появляясь каждый раз в следующем, оставаясь всегда неподвижной. Решить это противоречие можно только, как уже было сказано выше, допустив всё-таки континуальность пространства и времени.
Апория "Стадий" носит тот же смысл. Её можно сформулировать следующим образом:
"Если две колесницы движутся навстречу друг другу со скоростью, равной минимальной единице пространства за минимальную единицу времени, мимо третьей, неподвижной колесницы, то они пройдут расстояние, равное минимальной единице пространства за минимальную единицу времени относительно неподвижной колесницы и за половину минимальной единицы времени относительно друг друга. Таким образом, получится, что минимальная, то есть неделимая, единица времени делима, что абсурдно (равным образом, делимой окажется и минимальная, то есть неделимая единица пространства)".
Это самая сложная апория Зенона. Для лучшего понимания и для наглядности её можно переформулировать следующим образом.
Представим себе три параллельных ряда, состоящие из дискретных элементов как на рисунке 1. Можно сказать, что это как бы три поезда, каждый из которых имеет по три вагона, но только эти вагоны дискретны. То есть при движении эти поезда не могут проходить расстояние, меньшее, чем один вагон (например, полвагона). Движение здесь всегда осуществляется на дискретные шаги размером с вагон (или два вагона, но никак не пол и не полтора).
Теперь представим, что поезд А неподвижен. Поезда В и Г начинают движение в противоположные стороны, как это показано на рисунке 1 ("начальное положение").
Спустя один дискретный шаг все три поезда встали в "конечное положение", как это показано всë на первом же рисунке (голова поезда В (В1) оказалась напротив хвоста поезда Г (Г3) и наоборот).
Вроде бы всë верно, логично и весьма просто. Но тогда получается, что в ходе такого движения возникло сразу несколько странных, невозможных или как минимум противоречивых ситуаций.
Получается, что поезд Г прошел один дискретный шаг и его голова (Г1) сравнялась с головой неподвижного поезда А (А1). Но за этот же один шаг поезд Г прошел два дискретных вагона поезда В и голова поезда Г успела сравняться сначала с вагоном В2, а потом с В3. То есть один дискретный шаг оказался равен двум таким же дискретным шагам.
Вы скажете, что это нормально, ведь поезд В тоже двигался, причем как бы на встречу поезду Г. Это значит, что в какой-то момент времени Г1 и В2 должны были сравняться (как на рисунке 2 ниже), а потом сравнялись Г1 и В3 и мы получили "конечное положение" (как на рисунке 1). Но у нас был всего один дискретный шаг. Где же тогда находилась голова поезда А (А1) в тот момент, когда сравнялись Г1 и В2?
Г1 и В2 должны были сравняться где-то между А1 и А2, но это невозможно!
Итак, либо Г1 и В2 сравнялись где-то в промежутках вагонов А1 и А2, но тогда получается, что неделимый шаг делим.
Либо такого момента, когда они сравнялись, вообще не было и мы сразу получили скачком "конечное положение" (рисунок 1), но тогда получается, что один дискретный шаг равен двум.
Или есть третий вариант: Г1 и В2 сравнялись в какой-то другой реальности, там где вагоны поезда А не имеют никакого положения, но в своем "измерении" или, иначе говоря, при наблюдении за этими поездами, мы получили только "начальное" и "конечное положение", а "промежуточное" нам просто недоступно. И вот тут и начинается самое интересное.
Очевидно, что поезда В и Г всë-таки должны были последовательно встретиться своими вагонами (Г1 и В2 и потом Г1 и В3), чтобы прийти в "конечное положение". И если развивать озвученный выше третий вариант, то получается, что мы, как наблюдатели, не можем одновременно установить, где в промежуточном моменте находился поезд А. Мы можем измерить либо только промежуточное положение поездов В и Г, либо только замерить неподвижность поезда А, убедившись в его неподвижности, но не имея, при этом, никакой возможности узнать, где же находятся сейчас движущиеся поезда В и Г.
Проблема в том, что в зависимости от того, какую точку отсчета мы берем (смотрим поезд А или поезда В и Г), мы видим, что положение других поездов не недоступно нам, а его просто нет. Поезд А не находится нигде, когда мы измеряем В и Г, потому что он должен был бы находиться где-то между встречающихся вагонов В и Г, а это невозможно, так как вагоны дискретны.
Когда мы измеряем поезд А, то движущиеся поезда В и Г не находятся нигде, так как они должны были бы находиться между вагонами поезда А, что также невозможно.
Теперь замените поезда и вагоны на квантово-механическую терминологию (частицы, волны, кванты) и испытайте мощнейший инсайт. Не означает ли мнимая единица в уравнении Шрёдингера то самое невиданное пространство, куда исчезают то одни вагоны, то другие, в зависимости от точки наблюдения? Не над объяснением ли подобных странностей бьются различные интерпретации Квантовой механики? Если еще немножко подумать и поразмышлять, то можно чуть ли не всю современную Квантовую физику со всеми её удивительными постулатами, парадоксами и интерпретациями логически вывести из апории Зенона "Стадий".
Более того, Зенон по сути говорит, что за один квант времени можно пройти только неделимый квант пространства. Ведь меньше пройти нельзя, да и больше тоже: если пройти два кванта пространства, то каждый квант пространства окажется пройденным за 1/2 кванта времени - это ли не логическое обоснование единства пространства и времени и намек также и на Теорию относительности и её тонкую связь с Квантовой механикой?!
Из апорий "Стрела" и "Стадий" действительно чисто логически можно вывести ряд явлений современной Квантовой физики, парадоксы которой точно также как в этой апории связаны с квантованием Мироздания. И это одновременно и крайне удивительно, но и вполне понятно. Это удивительно, что до парадоксов Квантовой физики чисто логически дошел уже древнегреческий философ, живший 2500 лет назад. Но это и вполне понятно, ведь и парадоксы Квантовой физики и данная апория исходят из единого логического источника - представлений о дискретности ("квантуемости") Мироздания, а так как мир един и устроен по единым логическим законам, то и нет ничего удивительного в том, что к схожим выводам могут приходить совершенно разные люди, жившие в разные исторические эпохи и разными путями. А сейчас давайте подведем промежуточные итоги.
Итак, если мы допускаем дискретность пространства и времени, то точно также сталкиваемся с рядом противоречий. Эти противоречия решаются только через допущение континуальности (непрерывности и как следствие бесконечной делимости) пространства и времени. Но тогда мы возвращаемся к первой паре апорий ("Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия") и Зенон снова победил.
А что говорит современная наука? Какие есть современные варианты решения апорий? Рассмотрим далее.
Глава 3. Современные варианты решений апорий Зенона
Обычно все современные оппоненты Зенона (как и в общем-то все последние 200-300 лет с момента изобретения математического анализа) не идут дальше попыток объяснить первую же апорию. Как правило гордые "разоблачители" древнего "умника" удовлетворяются самыми поверхностными способами натянуть сову на глобус и на этом всё заканчивается. К сожалению я такое видел уже слишком много раз в дискуссиях и в Интернете и в реальной жизни. Поэтому мы очень пристально рассмотрим все аргументы, начиная от самых примитивных, против апории "Ахиллес и черепаха".
Парадокс как софизм
Самый примитивный аргумент заключается в объявлении данного парадокса софизмом, то есть не истинным парадоксом, а ложным, в котором сознательно заложена какая-то ошибка или уловка.
На самом деле уже лет 200 как эти апории не считает софизмами никто из серьезных ученых: ни Д. Гильберт, ни Б. Рассел, ни Г. Вейль и мн. др. В частности совершенно справедливо на Википедии приводится цитата одного из величайших математиков всех времен и народов Д. Гильберта:
"Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться".
Об этом же говорит и современный профессор философии, доктор наук, специалист по логике Д.А. Гусев. Софизм здесь видят только люди, которые еще не успели достаточно глубоко погрузиться в тему. Но нет. Ошибки здесь нет. Апории Зенона логически безупречны и это уже давно общепризнанный факт.
Самый частый аргумент разоблачителей софизма заключается в том, что в апории нет точки встречи Ахиллеса и черепахи, то есть апория составлена так, что Зенон всегда позади и никогда не догоняет черепаху. Но это не ошибка Зенона. В этом и состоит вопрос! А вы, друзья мои, как-то по-другому можете догнать движущийся объект, не побывав в том месте, где объект был ранее, если вы движетесь за ним по прямой? Вы умеете как-то телепортироваться в нужную точку? Дело в том, что даже в математическом анализе результат сходящегося ряда, которым и является погоня Ахиллеса за черепахой, не является частью ряда! То есть точка встречи не принадлежит к самому процессу погони. Нам дан процесс погони, и мы должны найти точку встречи! Но противники Зенона требуют, чтобы мы сразу дали и точку встречи, словно Ахиллес умеет телепортироваться или никакой погони и вовсе нет, а всё движение вместе с точкой встречи уже дано сразу.
Требование включить в задачу точку встречи равносильно требованию включить результат сходящегося ряда в сам ряд, то есть это как раз противоречит математике, а не условию изначальной задачи! Более того, требование включить в задачу точку встречи равносильно показать, как, где и когда бесконечная погоня закончится, то есть бесконечность окажется конечной. Но в этом и состоит вопрос Зенона! Как же так получается, что бесконечность оказывается конечной?
А ведь действительно, если мы включаем точку встречи в процесс погони заранее, это означает, что движения и не было, и весь процесс был дан изначально как нечто завершенное, подобно кадрам кинопленки. Но тогда мы автоматически признаем правоту элеатов: всё, что могло произойти, уже произошло, а воспринимаемое нами, таким образом, движение в пространстве и времени есть не более чем иллюзия.
Сторонники этого подхода, говорят, что мы действительно можем указать бесконечное количество отрезков до момента встречи и якобы в этом всё и дело, что мы бесконечно делим движение именно до момента встречи, но это движение же ограничено моментом встречи. Но если рассуждать так, то мы, поучается, имеем дело с движением как чем-то завершенным априори. То есть движение завершено изначально и потому ограничено моментом встречи, и потому его и можно делить бесконечно. То есть мы как бы имеем дело не с потенциальной, а с актуальной бесконечностью, о чем еще будет сказано ниже.
Точка встречи - это и был бы переход бесконечного в конечное, так что такой точки в принципе не знает ни математика, ни физика. Это не Зенон её "выколол", она выколота из всей науки - в том-то и проблема. У нас есть просто данность в матанализе того, что бесконечное сойдется к конечному (об этом подробнее будет ниже), но как именно - неизвестно. Может мир и математика дискретны, может реально есть последнее число, может бесконечность переходит в ноль, а ноль в один - неизвестно. В том-то и проблема. Об этом и говорит Зенон. Не точка встречи выколота, в сам переход от бесконечного к конечному не ясен. Вот о чем спрашивает нас Зенон: каким образом бесконечное переходит в конечное и обратно? Где начало и конец любого движения?
В любом случае получается, что Зенон прав: бесконечная делимость движения возможна только, если оно уже завершено, и точка встречи уже есть изначально, то есть никакого движения нет как процесса, ведь процесс - это потенциальная бесконечность. Но если движение есть именно как процесс, как потенциальная бесконечность, то момент встречи не задан изначально и в итоге недостижим (потому что потенциальная бесконечность никогда не заканчивается) и Зенон снова прав. Тут, простите меня, как говорится, надо либо крестик снять, либо трусы надеть.
Еще сторонники того, что апории - это софизмы, часто говорят, что мы не учитываем кучу параметров, типа размеры тела Ахиллеса и черепахи, энергетические затраты и прочее. Это совсем уже низкий уровень дискуссии. Почему? Да потому что логический парадокс по правилам формальной логики решается только изнутри самого себя. Решение через огромное количество не логических (а например, физических) допущений не является решением парадокса! Если вам не нравится Ахиллес и черепаха, у которых есть тела и они затрачивают энергию при беге, то замените их на формализованные точки и суть не изменится. Но даже если мы признаем, что Ахиллес и черепаха - это конкретные физические тела, которые рано или поздно сталкиваются, мы, во-первых, опять же подразумеваем дискретность (Ахиллес и черепаха дискретны) и отправляемся ко второй паре апорий. Однако даже и на эти аргументы Зенон дал ответ 2500 лет назад даже без отсылки ко второй паре апорий. Зенон говорил, что какими бы физическими параметрами не обладал бы Ахиллес, его нога, даже когда до черепахи останется полметра (один шаг) должна преодолеть бесконечное количество точек внутри этого бесконечно делимого шага, что невозможно логически. Поэтому конкретные физические параметры Ахиллеса и черепахи на самом деле не имеют совершенно никакого значения.
Еще иногда говорят, что Зенон хитрит в том смысле, что заставляет время и скорость Ахиллеса замедляться, или, якобы Ахиллес сам словно уменьшается в размерах. Это ошибка. В апории ничего не замедляется и не уменьшается. Время и шаги в апории про Ахиллеса не замедляются, а, как и пространство, просто бесконечно делятся и это следствие континуальности пространства и времени, из чего и исходит данная апория. Поэтому выйти из этой ситуации можно только через допущение отсутствия бесконечной делимости в реальном мире, но тогда нас ждет вторая пара апорий, о чем уже было сказано выше.
Апории как бессмысленные абстракции
Следующий, всё еще довольно низкий уровень аргументации заключается в том, что апория "Ахиллес и черепаха" - это абстракция, не имеющая отношения к реальному миру. Люди часто используют слово "абстракция" как что-то неважное, несущественное, не имеющее отношения к реальности. Таким людям, я хочу напомнить, что вся математика, на которой стоит наша цивилизация со всеми ее научными и техническими достижениями - это буквально и есть одна большая абстракция. Так почему в апориях Зенона мы видим такое радикальное несоответствие логического и эмпирического?
В 1960 г. квантовый физик Юджин Вигнер написал статью "Необъяснимая эффективность математики в естественных науках". Этой статью Вигнер вновь оживил многовековой спор о том, в чем заключается сущность математики, открываем ли мы её или изобретаем? Математика не существует физически, а только как абстракция, но эта абстракция описывает наш мир так точно, что сегодня уже на полном серьезе выдающимися учеными развиваются концепции о том, что вся наша Вселенная - это математический объект (например, в этом направлении работают М. Тегмарк и С. Вольфрам).
Зенон, апории которого крайне математичны, ставит перед нами жесткий выбор: если математика - это абстракция, не имеющая отношения к реальности, то рушится всё здание науки и нашей цивилизации; если математика всё-таки описывает реальность, значит Зенон прав и движение действительно иллюзорно. Зенон не исходит из какой-то одной конкретной математической теории, которую можно было бы просто безболезненно пересмотреть. Он исходит из самой сути математической логики. Поэтому мы вынуждены или пересмотреть всю математическую логику и достижения науки, или изменить наши взгляды на мир. Причем в основе апорий лежит довольно простая математика, понятная даже детям, и если даже такая простая математика неверна, то пора закрывать абсолютно все научные институты и вообще переставать запускать ракеты в космос и развивать технический прогресс, ведь оказывается, что математика - это "просто абстракция, не имеющая отношения к реальности". Тут снова надо либо крестик снять, либо, ну вы поняли.
Все предыдущие аргументы против Зенона носят крайне поверхностный и даже примитивный характер, но их очень часто озвучивают те или иные люди, поэтому пришлось здесь об этом упомянуть. Перейдем к более весомым аргументам.
Движение и Классическая механика
Опираясь на конкретное физико-инженерное понимание движения, можно сказать, что точка встречи Ахиллеса и черепахи рассчитывается очень просто по следующей формуле:
S/Vах-Vч, где
S - изначальное расстояние между Ахиллесом и черепахой (1000 шагов),
Vах - скорость Ахиллеса (допустим 100 шагов в минуту),
Vч - скорость черепахи (в 10 раз меньше, чем у Ахиллеса, значит 10 шагов в минуту).
Если подставим конкретные цифры, озвученные для примера в скобочках выше, то получится следующее:
1000/100-10 = 1000/90 = 11,(1),
то есть 11 целых и 1 в периоде, то есть 11 целых и бесконечное (!) число единиц после запятой! То есть с точки зрения самой физики Ахиллес догонит черепаху тогда, когда пройдет бесконечное число единиц после запятой, а точнее никогда!
Более того! Если перемножить 11,(1) и 90 обратно, мы не получим 1000! Мы получим 999,(9)! И давно это у нас вообще математика считается точной наукой?))
Да, нас могут обвинить, что мы опять какие-то неправильные цифры взяли и надо брать не такие круглые значения, а что-то более приближенное к реальности. Но как же это так получается, что при одних скоростях Ахиллес догонит черепаху, а при других не догонит, при прочих равных условиях?
11,(1) можно выразить как 11 целых и одна девятая, то есть в виде обыкновенной дроби. Но сути это не поменяет, ведь что такое 11 целых и 1/9 минут? Это 11 минут и еще одна девятая часть от минуты. Но одна девятая от минуты - это сколько секунд? Это всё те же бесконечные единицы после запятой.
Более того! Даже если мы подставим в уравнение какие-то другие более реальные цифры и получим в итоге нормальное целое число, например 15 минут, то мы всё равно далее столкнемся с трудностью, о которой говорит апория "Дихотомия": ни последняя 15-ая минута, ни последний шаг так и не будут никогда достигнуты, потому что для этого нужно, что сначала прошло полминуты и полшага, а до этого половина половины и так далее до бесконечности.
Перейдем к самому сильному аргументы - математическому анализу.
Ахиллес, черепаха и математический анализ
Математический анализ был изобретен в 17-18 веках Ньютоном и Лейбницем, как исчисление бесконечно малых величин - то, что, казалось бы, нам и надо.
Погоня Ахиллеса за черепахой - это довольно стандартный ряд, то есть бесконечная сумма конечных чисел, которая дает конечное же число, то есть, как говорят математики, ряд сходится.
И действительно. Допустим, для удобства, что Ахиллес бежит быстрее черепахи не в 10 раз, а в два раза. Тогда, для того, чтобы её догнать, ему нужно сначала пробежать 1/2 расстояния, потом 1/4, затем 1/8 и так далее.
Получаем ряд: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...1/n = ?
Сходимость ряда, то есть выяснение того, закончится ли он конечным числом или уйдет в бесконечность, определяется по формуле:
A/1-q, где
А - первый член прогрессии,
q - основание прогрессии.
В нашем случае получается, что и A и q - это 1/2 или 0,5. Таким образом:
0,5/1-0,5 = 0,5/0,5 = 1.
Казалось бы, ура! Ряд сходится, Ахиллес догнал черепаху! Но не спешите радоваться. Ведь что мы имеем на самом деле? А имеем мы вот что:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...1/n = 1.
То есть бесконечная сумма конечных слагаемых дала 1. Но тот факт, что бесконечная сумма конечных чисел дает конечный результат - это и есть парадокс сам по себе! Иными словами перед нами чистое чудо, доказанное математически! Бесконечность оказалась "оконеченной"! Но где тот последний шаг, после которого у нас и получится один? Он вообще есть? На этот вопрос нет ответа. Математика в лучших традициях диалектики Гегеля, против которой так рьяно сражаются сами математики, буквально постулировала: бесконечное переходит в конечное. Но где, как, когда? Нет ответа. А ведь в этом и был вопрос Зенона! Где же именно бесконечное движение Ахиллеса закончится? Математика просто постулирует, что движение закончится, но не объясняет, каким же будет последний шаг.
В итоге математический анализ, как казалось бы, сильнейшее орудие против апорий Зенона, просто постулирует чудо перехода бесконечного в конечное, но никак не объясняет это чудо!
Математик А.В. Савватеев в этом замечательном подкасте заявляет, что всё просто и дело лишь в том, что бесконечное количество отрезков пространства будут пройдены за конечное время. Вкратце этот аргумент мы уже рассматривали выше, теперь скажем о нем подробнее. Во-первых, это вообще не просто, а порождает еще больше вопросов: на каком это основании мы пространство ограничиваем временем, ведь время точно также бесконечно делимо, как и пространство в этой апории, и вообще пространство и время составляют единый континуум в Теории относительности. Во-вторых, аргумент А.В. Савватеева был разбит еще в прошлом веке математиком Г. Вейлем, который писал, что если б это было так, и Ахиллес мог бы пробежать бесконечную сумму отрезков за конечное время, то мы могли бы создать машину, которая за минуту совершает бесконечное число операций, и такая машина могла бы за минуту пересчитать, например, весь натуральный ряд, что абсурдно. Так почему же мы считаем, что бесконечное движение Ахиллеса за конечное время - это не точно такой же абсурд?
В защиту матанализа люди часто говорят, что погоня Ахиллеса за черепахой равносильна бесконечному делению квадратного метра. Да, мы можем бесконечно делить квадратный метр (как на рисунке 3), но он-то всё равно остается конечным. Аргумент с квадратом был сформулирован задолго до возникновения математического анализа еще философом XIV века Николаем Оремом. Данный аргумент представляет собой пример геометрической интуиции, примененной к апориям Зенона.
Ну так это же и опять есть постулирование чуда! Меня интересует не сам факт того, что чудо происходит, а как именно оно происходит. Как именно бесконечность оказывается оконеченной и наоборот?
Квадратный метр бесконечно делим, потому что он уже завершен. Значит погоня Ахиллеса за черепахой тоже уже завершена изначально? То есть движения как процесса никогда не было и нет, и элеаты всегда были правы?
А если движение есть, значит бесконечность отрезков в какой-то момент переходит в конечное число? А где тогда, опять же, будет последний шаг? После какого очередного слагаемого у нас получится наконец единица?
Мы в любом случае впадаем в парадокс: если берем готовый квадрат и признаем его бесконечную делимость, то запускаем процесс, который никогда не кончается (процесс бесконечного деления квадрата). Если берем наоборот процесс как нечто законченное, то получается, что Ахиллес догонит черепаху, потому что никакой погони и не было изначально. Ну снимите крестик уже наконец...
Можно сказать иначе. Завершенный квадрат мы можем бесконечно делить, но он остается собой. А если квадрата нет изначально и мы хотим его построить как из кубиков, складывая последовательно всё меньшие площади, как показано на рисунке 3, то когда же мы получим желаемый квадрат, площадь которого равна единице? Ответ: никогда.
То есть перед нами либо актуальная бесконечность, либо потенциальная, либо одно переходит в другое. Но где этот переход актуальной бесконечности в потенциальную? Его никто показать не может. Но все просто удовлетворяются простым ответом: ряд сходится. В этом и заключается сила настоящей философии: видеть то, что не видят другие в силу узости , надменности, а порой и того, и другого.
Зенон показывает невыводимость актуальной бесконечности из потенциальной. В математике мы делим бесконечность на части. А Зенон спрашивает, как из частей собрать целое? Как собрать бесконечность?
Огромный вклад в развитие и утверждение матанализа как рабочей и полезной концепции внес французский математик первой половины 19 века Огюстен Луи Коши. В его работе, как и у чешского математика того же периода Бернарда Больцано, центральную роль играет чисто арифметическое понятие предела, освобожденное от всякой геометрической и временной интуиции. То есть сходимость ряда в самой математике буквально основана на отбрасывании пространства, времени и как следствие, какого-либо движения. В мире математики нет времени.
В 1934 году советский математик и философ, профессор С. А. Богомолов в своей книге "Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор" писал:
«Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела».
Спустя почти 30 лет, в 1962 г. советский математик и философ С.А. Яновская подтверждала, что "воз и ныне там":
"В настоящее время все более и более частыми и убедительными становятся замечания философов и специалистов по основаниям математики, свидетельствующие о том, что трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона Элейского, и в наши дни нельзя считать преодоленными".
С тех пор, как теперь видно, мало что изменилось.
Интересно отметить, напоследок, что апории Зенона нарушают аксиому Архимеда. Но она же нарушается и в нестандартном анализе, который Курт Гёдель считал математикой будущего! А еще точнее, аксиома Архимеда нарушается в инфинитезимальном анализе — одном из наиболее разработанных разделов, составляющих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходящие к глубокой древности (здесь мы видим прямой намек на диалектический синтез древних философских концепций и строго формализованной современной науки, о чем еще будет сказано далее).
Парадокс непредставимости
В ответ на выше обозначенные аргументы иногда возражают так, что всё дело лишь в том, что мы просто не можем себе представить, как завершается бесконечная сумма конечных чисел, то есть мы имеем дело не с реальной проблемой, а "всего-навсего" с парадоксом непредставимости. То есть здесь утверждается, что если мы чего-то не можем себе представить, то это ещё не значит, что это что-то не существует или является невозможным.
Однако с этим аргументом спорю уже даже не я, а Дэвид Чалмерс - один из главных и наиболее известных современных специалистов по проблеме сознания. В своей знаменитой книге "Сознающий ум" Д. Чалмерс подробно разбирает логику непредставимости и приходит к выводу, что непредставимость - это абсолютно правомерный аргумент в пользу несуществования или невозможности чего-то. Тот, кто утверждает обратное, должен еще доказать, что непредставимое возможно. Но таких доказательств на данный момент нет, зато Д. Чалмерсом, как мне кажется, весьма убедительно показано обратное.
Интересно отметить, что в своей книге Д. Чалмерс пишет, что "эпистемология - это онтология наоборот" - тоже своего рода возвращение на новом уровне к тезису Парменида о единстве (или тождестве) бытия и . Очень глубокая мысль на самом деле.
Тех, кого интересуют подробности, отсылаю к разделу "Логическая необходимость, концептуальная истина и представимость" в книге Д. Чалмерса "Сознающий ум".
* * *
Иногда говорят, что Зенон своими апориями показал недостаточность формальной логики для описания мира. Возможно. Но это неважно. Важно то, что любое существующее решение его апорий - это иллюзия, видимость решения, связанная с упрощением самой проблематики, поднимаемой Зеноном. Ни одна из апорий Зенона не решена ни одним из существующих способов, как мы это показали только что на примере апории "Ахиллес и черепаха".
В математике попыткой вырваться из плена формальной логики было создание дифференциального и интегрального исчисления. И то и другое предполагает непрерывное изменение некоторой величины в зависимости от непрерывного же изменения другой величины. Столбчатые диаграммы изображают зависимость дискретных явлений и процессов, а графики (линии) - непрерывных процессов и явлений. Однако переход от диаграммы к графику есть некое таинство - что-то вроде святотатства. Ведь все экспериментальные данные (результаты конкретных измерений) дискретны. А исследователь вместо диаграммы берет и рисует график. Что это? Если подходить строго, то дело тут обстоит так: график - это трансформация диаграммы в график, который аппроксимирует эту диаграмму. Строя график в виде сплошной линии, мы совершаем переход из мира дискретных явлений и предметов в мир непрерывный. Это попытка вырваться за пределы формальной логики и тем самым избежать её парадоксы. И эта попытка оказалась хорошо работающей на практике, но ничего не объясняющей по сути, потому что истинная проблема, лежащая в основе апорий, является гораздо более глубокой, чем кажется.
Так что же на самом деле за проблематику такую поднимает Зенон в своих апориях, что здесь оказывается бессильной даже современная наука?
Глава 4. Апории Зенона и Теория всего
На самом деле четыре апории Зенона о движении, рассмотренные нами ранее, связаны с той же проблемой, которая мешает современным физикам создать или открыть так называемую "Теорию всего". Подробнее об этом можно почитать здесь, а далее я лишь кратко изложу самую суть проблемы.
"Теория всего" - это гипотетическая научно-физическая теория, которая должна "примирить" Квантовую физику и Теорию относительности. Дело в том, что обе теории отлично работают каждая на своем уровне (на микро и макроуровне соответственно), но друг с другом они не сочетаются. Возникает парадоксальная ситуация: в нашем мире может существовать и реально работать только одна из этих двух теорий, но они работают обе. Почему же они противоречат друг другу?
Если выражаться научно, то всё дело в том, что гравитация, описываемая Теория относительности, не квантуется. Теория относительности предполагает континуальность пространства (и как следствие, времени), и гравитация здесь, таким образом, есть не сила, а своего рода геометрический эффект искривления континуального пространства. Однако Квантовая физика предполагает, что такие фундаментальные физические взаимодействия, как электромагнитное, сильное и слабое ядерные взаимодействия, а также гравитация должны квантоваться, то есть иметь свои элементарные частицы, осуществляющие как бы перенос взаимодействий. Так, упрощенно говоря, у электромагнитного взаимодействия есть фотоны, у слабого ядерного взаимодействия - различные бозоны, у сильного - глюоны, а у гравитации должны быть гипотетические гравитоны, которые пока так и не удалось обнаружить.
Но что означает на самом деле это "квантование"? По сути конфликт между Теорией относительности и Квантовой физикой - это конфликт между непрерывностью и дискретностью Мироздания, о чем собственно и спорили древние греки. Каким же является наше Мироздание: непрерывным, как в Теории относительности, или дискретным, как того требует Квантовая физика? А может и тем и другим? Но это противоречие. По идее Мироздание не может быть одновременно и континуальным и дискретным, а если и может, то нужна конкретная теория, которая покажет, как это возможно. Ответ на все эти вопросы и должна дать "Теория всего".
И именно та же самая проблема, то есть диалектика дискретного и непрерывного, и лежит в основе апорий Зенона. Апории "Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия" показывают парадоксы, возникающие тогда, когда мы мыслим мир как континуальный, когда мы пытаемся познать, как в континуальном пространстве-времени движутся дискретные Ахиллес и черепаха. Но признавая дискретность мироздания, мы сталкиваемся с парадоксами из апорий "Стрела" и "Стадий".
Вот почему любые попытки решить апории Зенона изначально обречены на провал: апории никогда не могут быть решины в полной мере, до тех пор, пока не будет найдена "Теория всего". И только открытие такой теории, за что очевидно в будущем кто-то получит Нобелевскую премию, позволит по-настоящему решить и апории Зенона.
У этой моей статьи есть еще и пятая глава, посвященная другим апориям Зенона, но там уже идет совсем хардкорная философия, поэтому эту главу я решил вынести отдельно, чтобы не раздувать и без того большой объем статьи. Кто заинтересовался темой и другими апориями Зенона, тот может прочитать главу 5 здесь.
* * *
Какой же вывод можно сделать из всего выше сказанного? Как минимум такой, что мир фундаментально является вовсе не тем, чем кажется, а древние мудрецы с их философией не канули в лету, а продолжают жить в мире идей и их идеи сегодня актуальны как никогда. И чем дальше идет развитие науки, тем больше и сильнее мы видим сближение современной науки с самыми древними философскими концепциями, и это прекрасно и удивительно.
Знание едино и в этом и заключается диалектика развития нашего, человеческого знания о мире: на стадии древнего тезиса были выдвинуты одни идеи, на стадии антитезиса в ходе развития науки идеи прошлого были отвергнуты, но вскоре на стадии синтеза мы вернемся к этим древним идеям, но уже на совершенно новом, более глубоком уровне. Нет ничего более воодушевляющего и удивительного, чем видеть цельность философско-научной проблематики и смотреть на мир и его развитие системно.
Автор: edstar
