Главная

5 наиболее красивых задач с экзамена в Школу Анализа Данных от Яндекса

2024-12-16 в 16:05, admin, рубрики: задачи, линал, матан, математика, поступление, теор вер, ШАД

Школа Анализа Данных бесплатный проект дополнительного образования в области Data Science и Big Data, можно сказать в РФ остается лидером по качеству курсов и преподавателей. Такой же уровень ШАД требует и от студентов: абитуриентам нужно пройти 3 этапа вступительных испытаний, где спрашивают математику и алгоритмы. Сам же я занимаюсь подготовкой к ШАД ни один год, поэтому в этой статье хотел бы поделиться своими любимыми задачами со вступительных испытаний разных лет, которые мне кажутся наиболее красивыми.

Задача 1

Найти $f^{(319)}(0)$ , если $f(x)=frac{x^2+17}{x^4-5x^2+4}$ .

Пояснение: то есть просят найти производную 319-го порядка в нуле.

Прежде, чем открывать решение обязательно подумайте самостоятельно!

Решение

Как вариант можно пойти «в лоб»: разложить дробь в сумму «простейших» дробей, а затем угадать общую формулу при взятии производной. Но эта задача здесь бы не оказалось, если бы у нее не было бы изящного решения..

Заметим, что функция — чётная. То есть . А мы знаем, что все производные нечетных порядков в точке 0 у четных функций равны нулю. Можете убедиться в этом сами на частных примерах ! Доказать же такое можно по‑разному, как будто наиболее изящный способ: вспомнить, что все аналитические функции раскладываются в ряд Тейлора (в точке 0).

Из определения видно, чтобы сохраняла четность, все коэффициенты перед нечетными степенями должны равняться 0. А эти коэффициенты как раз есть производные в нуле: $f^{(n)}(0)$ .

Таким образом ответ на задачу 0. Вот так вот на первый взгляд чисто вычислительную задачу удалось решить с помощью простой идеи!

Задача 2

Показать, что у целочисленной матрицы не бывает рациональных нецелых собственных числе.

Подсказка

Вспомните, как ищутся собственные числа матрицы : из уравнения .

Решение

Предположим, что у такой матрицы есть рациональное целое собственное значение в виде несократимой дроби $frac{p}{m}$ , где- целое, - натурально, причем (наибольший общий делитель). Подставим его в характеристическое уравнение на собственные значения матрицы:

$(frac{p}{m})^n+a_{n-1}(frac{p}{m})^{n-1}+ldots+a_0=0$

Домножим все члены этого уравнения на $m^{n-1}$ .

$frac{p^n}{m}+a_{n-1}p^{n-1}+ldots+a_0m^{n-1}=0$

Заметим, что в этом уравнении только одно нецелое слагаемое $frac{p^n}{m}$ (так как и взаимно просты, не имеют общих делителей по предположению), чего не может быть, ибо все прочие слагаемые целые числа. Причем их можно перенести в правую часть и тогда получится явное противоречие: нецелое число равно целому.

$frac{p^n}{m}=-( a_{n-1}p^{n-1}+ldots+a_0m^{n-1})$

Задача 3

Алиса и Боб подбрасывают правильную монетку (вероятность выпадения орла 0.5). Алиса подбрасывает ее раз, а Боб - . Найдите вероятность того, что у Боба будет больше орлов, чем у Алисы.

Решение

Пусть Алиса и Боб кинули монетку по раз. Обозначим вероятности возможных событий следующим образом:

У Алисы выпало больше орлов, чем у Боба - .
У Боба выпало больше орлов, чем у Алисы - (вероятности равны из-за симметрии, монетка честная).
У Алисы и Боба одинаковое количество орлов - (сумма вероятностей (1), (2), (3) должна равняться 1).

Есть только два возможных случая, в которых у Боба, после того как он подбросил монетку в - й раз, орлов будет больше, чем у Алисы:
1. У Боба было больше орлов, чем у Алисы, и после - го броска соотношение не поменялось, вероятность - .
2. У Боба и Алисы было одинаковое количество орлов и в - й бросок выпал орел, вероятность - $frac{1}{2}(1-2p)$ . Поскольку два последних события несовместны, искомая вероятность равна
  
  $p+frac{1}{2}(1-2p)=frac{1}{2}$ .

На самом деле мы здесь просто воспользовались формулой полной вероятности:

где - несовместные события, выше мы их обозначили как (1), (2), (3).

Задача 4

Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием и дисперсией , принимающие положительные значения. Пусть также . Найдите математическое ожидание отношения:

$frac{X_1+ldots+X_m}{X_1+ldots+X_n}$ .

Решение

Обозначим $overline{X}=X_1+ldots+X_n$ и заметим, что:

$1=Efrac{overline{X}}{X}=Esum_{i=1}^{n}frac{X_i}{overline{X}}=sum_{i=1}^{n}Efrac{X_i}{overline{X}}=nEfrac{X_1}{overline{X}}$

(так как и одинаково распределены и независимы, то $frac{X_i}{overline{X}}$ и $frac{X_j}{overline{X}}$ тоже одинаково распределены, а значит у них равны мат ожидания)
Отсюда получим:

$Efrac{X_1}{overline{X}}=frac{1}{n}$

Окончательно:

$Efrac{X_1+ldots+X_m}{X_1+ldots+X_n}=Esum_{i=1}^{m}frac{X_1}{overline{X}}=sum_{i=1}^{m}Efrac{X_1}{overline{X}}=frac{m}{n}$

Задача 5

Решите уравнение:

$lim_{nto infty}{cos(nx)}=1$

Решение:

Если $lim_{nto infty}{cos(nx)}=1$ ,то $lim_{nto infty}{sin(nx)}$ = 0 . Это очевидно, если вспомнить основное тригонометрическое тождество и в нем перейти к пределу.