Школа Анализа Данных бесплатный проект дополнительного образования в области Data Science и Big Data, можно сказать в РФ остается лидером по качеству курсов и преподавателей. Такой же уровень ШАД требует и от студентов: абитуриентам нужно пройти 3 этапа вступительных испытаний, где спрашивают математику и алгоритмы. Сам же я занимаюсь подготовкой к ШАД ни один год, поэтому в этой статье хотел бы поделиться своими любимыми задачами со вступительных испытаний разных лет, которые мне кажутся наиболее красивыми.
Задача 1
Найти , если
.
Пояснение: то есть просят найти производную 319-го порядка в нуле.
Прежде, чем открывать решение обязательно подумайте самостоятельно!
Решение
Как вариант можно пойти «в лоб»: разложить дробь в сумму «простейших» дробей, а затем угадать общую формулу при взятии производной. Но эта задача здесь бы не оказалось, если бы у нее не было бы изящного решения..
Заметим, что функция — чётная. То есть
. А мы знаем, что все производные нечетных порядков в точке 0 у четных функций равны нулю. Можете убедиться в этом сами на частных примерах
! Доказать же такое можно по‑разному, как будто наиболее изящный способ: вспомнить, что все аналитические функции раскладываются в ряд Тейлора (в точке 0).

Из определения видно, чтобы сохраняла четность, все коэффициенты перед нечетными степенями должны равняться 0. А эти коэффициенты как раз есть производные в нуле:
.
Таким образом ответ на задачу 0. Вот так вот на первый взгляд чисто вычислительную задачу удалось решить с помощью простой идеи!
Задача 2
Показать, что у целочисленной матрицы не бывает рациональных нецелых собственных числе.
Подсказка
Вспомните, как ищутся собственные числа матрицы
: из уравнения
.
Решение
Предположим, что у такой матрицы есть рациональное целое собственное значение в виде несократимой дроби , где
- целое,
- натурально, причем
(наибольший общий делитель). Подставим его в характеристическое уравнение на собственные значения матрицы:
Домножим все члены этого уравнения на .
Заметим, что в этом уравнении только одно нецелое слагаемое (так как
и
взаимно просты, не имеют общих делителей по предположению), чего не может быть, ибо все прочие слагаемые целые числа. Причем их можно перенести в правую часть и тогда получится явное противоречие: нецелое число равно целому.
Задача 3
Алиса и Боб подбрасывают правильную монетку (вероятность выпадения орла 0.5). Алиса подбрасывает ее раз, а Боб -
. Найдите вероятность того, что у Боба будет больше орлов, чем у Алисы.
Решение
Пусть Алиса и Боб кинули монетку по раз. Обозначим вероятности возможных событий следующим образом:
-
У Алисы выпало больше орлов, чем у Боба -
.
-
У Боба выпало больше орлов, чем у Алисы -
(вероятности равны из-за симметрии, монетка честная).
-
У Алисы и Боба одинаковое количество орлов -
(сумма вероятностей (1), (2), (3) должна равняться 1).
Есть только два возможных случая, в которых у Боба, после того как он подбросил монетку в
- й раз, орлов будет больше, чем у Алисы:
-
У Боба было больше орлов, чем у Алисы, и после
- го броска соотношение не поменялось, вероятность -
.
-
У Боба и Алисы было одинаковое количество орлов и в
- й бросок выпал орел, вероятность -
. Поскольку два последних события несовместны, искомая вероятность равна
.
-
На самом деле мы здесь просто воспользовались формулой полной вероятности:
где - несовместные события, выше мы их обозначили как (1), (2), (3).
Задача 4
Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием
и дисперсией
, принимающие положительные значения. Пусть также
. Найдите математическое ожидание отношения:
.
Решение
Обозначим и заметим, что:
(так как и
одинаково распределены и независимы, то
и
тоже одинаково распределены, а значит у них равны мат ожидания)
Отсюда получим:
Окончательно:
Задача 5
Решите уравнение:
Решение:
Если ,то
= 0 . Это очевидно, если вспомнить основное тригонометрическое тождество
и в нем перейти к пределу.
Тогда .
Также .
Значит, и
,
. Подстановка в исходное уравнение показывает, что число
должно быть чётным
Автор статьи: Владислав, ex-преподаватель ШАД; основатель сообщества "Поступашки — ШАД, Стажировки и Магистратура". Для связи: Телеграм @Postypashka
Автор: postupashki