Отчего "гнётся и рвётся" пропеллер на фото и видео вы, наверняка, знаете. А какую именно форму принимают лопасти винта? Как зависит их видимая форма от скорости вращения? И причём здесь гиперболы?
Мой сын очень уважает самолёты. Особенно, турбовинтовые: здорово же, когда видно как работает двигатель и как вертится пропеллер! А какую интересную форму принимают винты при съёмке на телефон или цифровую камеру! Класс!
Красота!!
Я полностью разделяю энтузиазм сына, И сегодня хочу подробнее рассмотреть математическую составляющую причудливого поведения пропеллеров, которое можно наблюдать на фото и видео.
Уверен, что для большинства читателей, в принципе, ничего особенно сложного в объяснении этого визуального эффекта нет. Развёртка светочувствительной матрицы цифровой камеры работает подобно щелевому затвору и круговое движение винтов "рисуется" на матрице с постоянным дрейфом, как показано на анимациях. По мере увеличения скорости вращения винта, видимое искривление увеличивается, появляются разрывы и дополнительные линии.
Об этом эффекте есть и многочисленные заметки в сети и ролики в Youtube, в общем, на качественном уровне всё понятно. Меня же заинтересовало не то, что лопасти "изгибаются" и даже "рвутся", а то, что в искривлённых формах легко угадываются кое-какие образы, хорошо знакомые тем, кто занимался дифференциальными уравнениями и теорией динамических систем. Приглашаю заглянуть в эту задачу поглубже.
Для начала, выведем уравнение для видимых точек двухлопастного пропеллера, математической моделью которого может быть вращающаяся прямая, описываемая параметрическим уравнением:
Роль щелевого затвора может играть вертикальная прямая, двигающаяся горизонтально со скоростью 
и представляемая уравнением 
. Точки пересечения этих двух прямых образуют кривую, с параметрическим уравнением:
На этом этапе пора навести в уравнениях порядок. Введём масштаб времени 
и длины 
и приведём уравнения к безразмерному виду:
Перейдя от параметрического представления кривой к явному виду, получим чрезвычайно простое уравнение для кривой, в которую превращаются лопасти на фотографиях:
Если лопастей 
штук, то кривые для них будут отличаться фазой под тангенсом:
Вот, например, как будет выглядеть пропеллер с пятью лопастями и переменной фазой (это чтобы "лопасти" закрутились):
Здорово! Работает! Но это ещё не всё. Обратите внимание, при обезразмеривании задачи исчезли оба параметра: частота вращения ω и скорость затвора v. Это говорит о том, что решение задачи автомодельно, то есть, изменению любой из этих скоростей соответствует изменение масштаба длины, но форма кривых останется точно такой же.
, что соответствует уменьшению масштаба нашего автомодельного решения. Оно, как бы, сжимается, оставаясь в пределах диска, заметаемого пропеллером.Глядя на то, как меняется видимая форма лопастей можно обратить внимание на то, что кроме неподвижной точки в центре пропеллера, есть ещё одна особая точка с координатами 
. Присмотритесь, проходя через неё, кривые терпят разрыв и становятся похожими на гиперболы. Человек, искушённый в дифференциальных уравнениях, узнает в ней гиперболическую особую точку или седло. Откуда она тут и о чём говорит её существование?
Давайте перейдём от кривых, в которые превращаются лопасти, к полю скоростей, по которому двигаются траектории точек лопасти. Для этого продифференцируем параметрические уравнения траектории:
А теперь выразим 
и 
через 
и 
: 
и подставим в систему дифференциальных уравнений, превратив её в автономную систему (не зависящую от времени явно):
Наконец, можно привести её к более удобному для анализа, виду, праада, изменив динамику, то есть, скорости точек вдоль траекторий, но оставив без изменений сами траектории:
Стандартный анализ особых точек этой системы, в которых обе производные обращаются в ноль, даёт нам два стационарных решения: вырожденный отталкивающий узел (звезду) 
, и гиперболическую (седловую) точку 
Вот как выглядит поле направления скоростей для этой системы со стационарными точками:
Из-за того, что система имеет седловую стационарную точку, и появляются гиперболические формы и характерные разрывы у "кривых" лопастей на снимках! Поглядите сами на то, как видимые точки пропеллера следуют полю скоростей. В тот момент, когда пропеллер проходит через седловую точку, линия и винта совпадают, и единственная точка пересечения превращается в полный отрезок прямой. В этом случае мы получим снимок всей лопасти пропеллера без искажений.
Сын-восьмиклассник, конечно, не всё понял из того, что я ему рассказал, но картинки ему понравились, и в Desmos он смог построить кривые 
и анимировав параметр 
, сам увидел во что превращаются лопасти. А осознав существование седловой точки, развидеть он её уже не может и отыскивает на фотографиях и видео.
Автор: Сергей Самойленко
