Как мы написали курс планиметрии

Школьная мечта

Когда я учился в средней школе, то самым сложным предметом для меня была геометрия. Нет, другие предметы также были сложными, вроде английского или русского языков, но я понимал, что трудность в их освоении может быть решена массовым прочтением художественной литературы. Художественную литературу я особо не любил (исключением были произведения Жюль Верна), а другой литературы просто не было. Интернет в середине 90-х был только у избранных, а найти и свободно скачать книгу можно было только после 2005 года. В общем, гуманитарные предметы меня особо не волновали, и только геометрия была тем предметом, уроки которой наводили на меня тоску и уныние. На уроках геометрии у меня зародилась мечта: найти и поквитаться с автором учебника геометрии, а затем написать свой "понятный" учебник. Как вы можете догадываться, первую часть мечты я выполнить не мог по той причине, что автора учебника уже давно не было в живых, а про вторую часть просто забыл.

От мечты к действию

Я снова вспомнил о своей мечте, когда у нас с женой несколько лет назад родился ребенок. Тогда мы начали искать и подбирать литературу по педагогике, а также изучать современные школьные учебники по всем школьным предметам. Так как у нас уже имелось инженерное и математическое образование за плечами, то исследование мы начали с учебников по естественно-научным дисциплинам.

Сперва анализу подверглись учебники физики, затем прешли к учебникам алгебры, а потом - к геометрии. Работу мы начали с открытия своих старых школьных учебников. Когда ты еще школьник, то тебе некогда особо рассуждать о достоинствах или недостатках учебника. Школьник просто берет то, что ему дают, и "зубрит" то, чего не понимает. У него особо и выбора нет. Над нашими шеями меч в виде "экзамена" уже не висел, поэтому мы могли спокойно и свободно проводить анализ.

Анализ

Прежде чем устанавливать критерии анализа, мы постарались дать ответ на простой вопрос: "для чего изучать геометрию?". В объемных исследованиях, начиная с конца XVIII века, вопрос этот поднимался не один раз, и в большинстве из них ответ звучал примерно так: "геометрия нужна школьнику, чтобы научить его рассуждать". Замечательный ответ, после которого сразу ставится новый вопрос: а как и в каком объеме нужно учить геометрию, чтобы научиться рассуждать? На этот вопрос мы с женой самостоятельно не могли ответить, поэтому обратились к изучению педагогических диссертаций и рецензий на издавашиеся учебники геометрии. Далее выделили наболее значимые, как нам кажется, критерии анализа учебника:

1. Своевременность и целесообразность введения новых оперделений.

2. Отсутствие понятийных "недомолвок".

3. Логическая последовательность.

4. Подробные и доступные для понимания решения задач и объяснения теорем.

5. Доступность определений.

6. Полезность и посильность задач и упражнений для самостоятельного решения.

Раскроем каждый критерий на примерах.

Своевременность и целесообразность введения новых определений

Если на первых страницах учебника мы говорим про дугу окружности и сектор круга, а интересные задачи по этим фигурам появляются только на предпоследних, то нет особой целесообразности в введении этих понятий на первых этапах изучения геометрии. Перегрузка непрорабатываемыми определениями только утомляет мозг ребенка и никакой учебной цели не решает. Особенно отчетливо это проявляется в классификации углов. Часто, после определения прямого угла, в первых же предложениях даются определения острого и тупого углов. Зачем? Как ученику отличить острый угол от тупого без транспортира? Понятно, что на первых страницах учебника ответа на этот вопрос быть и не может, тогда зачем вводить это определение? Мы считаем, что определение острого и тупого углов необходимо вводить тогда, когда мы умеем строить угол, равный заданному, а также умеем строить прямой угол. Только в этом случае мы можем отличить острый угол от тупого. Также при изучении углов мы, обычно, сразу знакомимся с биссектрисой угла. На этом этапе ученик еще не может с помощью циркуля и линейки делить угол пополам. Гораздо разумнее давать определение биссектрисы угла тогда, когда он уже может делить угол пополам без транспортира.

По поводу транспортира особый разговор. Мы заметили, что чем старше учебник, то тем дольше автор оттягивает знакомство с этим прибором. Оно и верно, ведь теорема о том, что величины центральных углов пропорциональны величинам соответствующих им дуг появляется где-то в середине учебника. Логично знакомить с транспортиром только после доказательства этой теоремы, тогда у ребенка не будет возникать ощущения "магичности" этого прибора.

Отсутствие понятийных "недомолвок"

Интересно то, что в учебнике может быть показано как измерить отрезок или измерить угол, но что такое «измерить величину» мало кто из авторов определяет. В старых учебниках это определение приводится.

Вводится понятие «внутренней области угла», но мало кто говорит как ее определить, если эта область явно не задана. Отсюда вытекают затруднения в сравнении углов. Если мы не можем сравнить углы, то как мы можем отличить острый угол от тупого?

Логическая последовательность

Отсутствие логической последовательности замечается на примере внутренних углов треугольников. Во всех учебниках дается теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Это хорошо, но ведь у треугольника три угла. Логично сперва выяснить величину одного угла треугольника (больше, меньше или равно), затем определить величину двух углов треугольника и только затем переходить к сумме трех внутренних углов.

Также встречалось и следствие из теоремы Пифагора о том, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из катетов. Это верно, но это следствие из того, что против бОльшего угла треугольника лежит бОльшая сторона, а не из теоремы Пифагора.

Подробные и доступные для понимания решения задач и объяснения теорем

Все задачи, решаемые на страницах учебника, должны быть разобраны максимально подробно. Не должно быть недомолвок. В большинстве учебников задачи разобраны достаточно подробно. Эталонными в этом плане являются дореволюционные учебники геометрии.

Доступность определений

Определения должны быть поданы максимально доступным школьнику языком. При этом, естественно, страдает научность, но школьный учебник, по нашему убеждению, не является научной работой. Максимально «точные и научные» учебники геометрии уже написаны, и они не под силу «среднему» школьнику.

Полезность и посильность задач и упражнений для самостоятельного решения

Задачи должны быть полезными и посильными. Их число не должно быть большим, так как учебник не является задачником. Слишком легкие задачи ничему не учат, и после их решения у ученика возникает чувство напрасно потраченного времени.

Результат анализа

Проведя анализ порядка пяти советских и современных учебников геометрии, а также порядка пяти дореволюционных учебников, мы пришли к выводу, что наиболее близкими к идеальному учебнику геометрии являются "Элементарная геометрия в объеме гимназического курса" А.Ю. Давидова и "Руководство геометрии" А. Малинина и Ф.Егорова. Однако, эти учебники немного устарели и требуют значительной редакторской правки.

Действие

Тогда мы решили самостоятельно сесть за клавиатуру и написать свой "идеальный учебник" геометрии. Звучит слишком громко, поэтому в итоге у нас вышло скорее пособие по школьному курсу планиметрии, а не учебник. Работу по набору текста мы начала в конце 2022 года. Общий план пособия и структура некоторых глав сформировались еще в процессе двухлетнего анализа других учебников и руководств. Естественно, мы не писали курс "с нуля". Некоторые доказательства мы придумывали самостоятельно, некоторые заимствовали из других руководств. Структуру материала продумывали самостоятельно, опираясь на учебник Давидова. Практически все задачи взяты из руководства Малинина и Егорова. На задания из ЕГЭ не ориентировались, потому как считаем, что цель научиться решать геометрические задачи и цель сдать ЕГЭ - это две разные цели.

Инструменты

Набор текста производился в среде TeX Studio. Компилятор - PdfLaTeX. В качестве справочной литературы пользовались пособием Львовского по PdfLaTeX. Чертежи строили в Ipe. Эта программа развивает навык компьютерных геометрических построений.

Результат

В итоге, у нас вышло пособие на 176 страниц. Вот неполный список отличий нашего пособия от принятых сейчас учебников:

• Отказываемся от пространных вступлений и исторических введений. Для этого есть справочная литература, к которой сейчас можно достаточно легко получить доступ.

• Как можно ранее знакомим с окружностью.

• Даем определение геометрического построения.

• Прямой угол устанавливаем как меру других углов. С градусной мерой знакомим только на последних страницах, и там же рассказываем про транспортир.

• Активно используем задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Считаем, что геометрические построения лучше всего развивают навык анализа и синтеза задачи.

• Как можно раньше знакомим с серединным перпендикуляром.

• Первым доказываемым признаком равенства треугольника приведен "третий" признак, как наиболее понятный и очевидный.

• Прежде чем устанавливать то, что сумма внутренних углов равна двум прямым углам, основательно прорабатываем тему соотношений между углами и сторонами треугольника.

• Устанавливаем величину суммы двух углов треугольника, прилежащих к одной его стороне. Этот факт позволяет нам доказать признак параллельности двух прямых.

• Пятый постулат Евклида приводим в такой форме: перпендикуляр и наклонная у одной прямой при достаточном продолжении пересекутся.

• Стараемся не вводить новые термины без крайней необходимости.

• С параллелограммом, квадратом, ромбом, прямоугольником и трапецией знакомим после теоремы Птолемея.

• Если мы ведем речь про масштаб, то говорим как его построить и как им пользоваться. Описанный нивелир можно смастерить в домашних условиях из подручных средств.

• На чертежах обязательно должны быть отмечены точки.

• Мы считаем, что по тригонометрии должен быть отдельный учебник, как это было до середины XX века, а знакомство с векторами лучше проводить на уроках физики и алгебры.

Что дальше?

После передачи макета в типографию началась работа над второй редакцией. Мы решили, что необходимо добавить как можно больше разбираемых задач на построение. Решения этих задач необходимо явно разбить на анализ, синтез, доказательство и исследование. Стоит явно упомянуть про основные методы решения задач на построение. Мелкие чертежи будем увеличивать.

P.S. Один экземпляр передали школьной учительнице. Она сказала, что будет использовать книгу в своей работе. Надеемся, что ни у кого из учеников не родится мечта поквитаться с нами за то, что книжка написана непонятно.