Задачи с красивыми решениями

Рассмотрим наклонный конус, основанием которого является некая окружность . Так как конус наклонный, то существует некая не параллельная основанию плоскость, которая высекает из конуса вторую окружность, назовем ее .
Поместим на вершине конуса лампочку. Эта лампочка будет бросать тень каждой прямой, лежащей на плоскости «верхней» окружности , на плоскость «нижней» окружности . Притом тенью любой прямой будет тоже прямая. Заметим, что эта тень настолько хитрая, что несмотря на то, что отображает «верхнюю» окружность в «нижнюю» , тень центра «верхней» окружности не попадает в центр «нижней».

Теперь на минутку представим, что существует такой чудесный алгоритм, который говорит, как при помощи одной линейки найти центр любой окружности. Этот алгоритм должен состоять из последовательности действий типа: проведи произвольную прямую, проведи вторую произвольную прямую, соедини такую-то точку пересечения с такой-то точкой, потом точку пересечения вот этой прямой и окружности соедини с другой какой-то точкой, и так далее… Заметим, что если мы будем применять этот чудо-алгоритм на «верхней» плоскости для нахождения центра окружности , то «тень» этого алгоритма будет выполнять точно такие же команды на «нижней» плоскости. И так как мы предположили, что наш алгоритм (набор команд) находит центр любой окружности, то «тень» алгоритма, выполняющая точно такие же команды, обязана найти центр нижней окружности. Мы немедленно приходим к противоречию, потому что, как мы отмечали ранее, тень найденного центра «верхней» окружности не попадает в центр «нижней».

Решение мне рассказал Худавердян Оганес.

Для нашего доказательства нам понадобится понятие -вздутия над телом. Возьмем произвольное тело в пространстве, ее -вздутием назовем множество точек, которые находятся на теле или на расстоянии меньше чем от него. Скажем, -вздутием точки в пространстве будет шар радиуса , а -вздутием отрезка будет тело, похожее на сосиску.

Теперь возьмем наш параллелепипед (ящик плюс ее внутренняя часть) размерами , и , и объемом, соответственно, . Попытаемся посчитать объем ее -вздутия. В это -вздутие входят:

• сам ящик объемом ;
• наросты над гранями ящика. Если обозначить суммарную площадь поверхности ящика за , то объем этих наростов будет .
• наросты над ребрами ящика. Каждый такой нарост представляет собой четверть цилиндра c радиусом основания . Так как в ящике по четыре ребра длинами , и , то наросты с каждый четверки одинаковых ребер можно объединить в один цельный цилиндр. Суммарный объем получившихся трех цилиндров будет ;
• наросты над вершинами ящика. Каждый такой нарост представляет собой восьмую часть шара радиуса . Поэтому из наростов над всеми восемью вершинами ящика можно собрать один целый шар радиуса , то есть объема .

Мы получаем, что объем -вздутия ящика будет равняться

Пусть теперь в ящике с размерами сторон , и находится второй ящик , и . Ясно, что какое бы число мы не взяли, -вздутие внутреннего ящика будет лежать в -вздутии внешнего ящика, поэтому ее объем будет меньше:

Подставляем в неравенство выражения для объемов, сокращаем одинаковые члены и делим все на :

Заметим, что последнее неравенство обязано выполнятся для любого , как для маленького, так и для большого. Поэтому мы всегда можем перейти к пределу , получим:

Вот мы и доказали, что если один ящик находится во втором, то сумма ее размерностей не может быть больше.

Перед тем как решать задачу, давайте вспомним одно замечательное свойство функции : ее интеграл по любому отрезку, длина которого кратна числу , равен нулю. Действительно

Более того, если интеграл от синуса по какому-то любому отрезку равен нулю, то смело можно считать, что длина этого отрезка кратна числу .

Аналогично показывается, что для «сжатой» по горизонтали функции , интеграл по любому отрезку, длина которого кратна единице (целое число), равен нулю:

Теперь рассмотрим функцию . Эта функция обладает таким замечательным свойством, что ее интеграл по любому кирпичу на стене равен нулю:

Действительно, ведь один из интегралов справа берется по отрезку длиной в целое число, и поэтому равен нулю.

Мы видим, что интеграл от нашей замечательной функции по любому из кирпичей на стене равен нулю, поэтому этот интеграл равен нулю и на всей стене, построенной этими кирпичами, так как попросту является суммой интегралов по каждому из кирпичей:

Значит или , или должен равнятся нулю. Из чего немедленно следует, что или горизонтальная, или вертикальная сторона стены имеет целую длину.

Решение, если я не ошибаюсь, принадлежит Александру Карабегову.

Давайте накроем колодец полусферой, как показано на рисунке, а в колодец установим огромный прожектор, который светит параллельными вертикальными лучами наверх. И рассмотрим очень-очень тонкую доску, шириной , которая лежит на колодце.

Заметим что, чем дальше расстояние доски от центра колодца, тем меньшей становится длина , которую занимает доска непосредственно над колодцем, но вместе с этим тем круче становится угол наклона тени от этой доски на полусфере. Оказывается, что эти два процесса компенсируют друг друга, и площадь тени не зависит от расстояния доски от центра колодца. Действительно, длина доски над колодцем , а тангенс угла наклона тени равен . Получаем площадь тени от доски, которая равна длине тени доски умноженной на ширину:

Мы видим, что, действительно, где бы над колодцем не находилась очень тонкая доска шириной , площадь ее тени на полусфере будет всегда равнятся , то есть будет зависеть только от ширины доски . Это свойство «независимости» выполняется и для досок любой ширины, ведь их можно представить как множество скрепленных между собой тоненьких досок. В итоге мы получаем замечательный результат: если ширина доски над колодцем равна , то площадь ее тени равна .

Пусть теперь множество досок ширинами полностью закрывают наш колодец. Некоторые из досок могут, конечно же, не всей своей шириной располагаться над колодцем. Поэтому площадь тени каждой из досок . Разные доски могут накладываться друг на друга, поэтому площадь общей тени

Но так как доски закрывают колодец без щелей, то их общая тень заполняет всю полусферу, а значит имеет площадь . В итоге получаем, что

Что и требовалось доказать.