На днях вышла статья, посвящённая разнице между квадратом со скруглёнными краями и «квадрокругом» — промежуточной фигурой между окружностью и квадратом, полученной из формулы cуперэллипса. Мнения читателей разделились — не все увидели разницу, а кто увидели — не все отдали предпочтение «правильному» варианту. И я подозреваю, почему: эти ваши квадрокруги — ненастоящие!

Альтернативное решение
А ещё ему хотелось иметь формулу не параметрически заданную, а в полярных координатах.
В общем, он предложил мне подумать над альтернативным решением.
Моё решение (в полярных координатах) получилось таким:
в которой параметр от 0 до 1 задаёт степень «оквадрачивания», причём линейно — определяя точку пересечения (k,k) фигуры с диагональю. Это значит, что можно однозначно определить наш квадрокруг через 3 точки. И да, при
мы имеем самый настоящий квадрат, с прямыми сторонами и острыми углами. Ну а круг, соответственно, получается при
(косинус 45°). Варианты получаемых фигур отражены на КДПВ.
Вы также можете обратить внимание, что в этой формуле нет таких хитростей, как функции остатка от деления, взятия/отбрасывания знака и прочего — как это требуется для суперэллипса. Всё честно, только стандартные математические функции, с которыми не возникнет сложности при дифференцировании или интегрировании. Кстати про интегрирование — при желании, можно найти и площадь этих фигур (через эллиптические интегралы):
Развитие
Можно добавить больше вариативности полученным фигурам. Например, так:
Здесь у нас появился ещё один параметр z, позволяющий искажать фигуру не нарушая идеологию построения. С её помощью можно приблизить нашу фигуру к суперэллипсу (на графиках отображён жёлтым цветом). Например, при n=4 (k=0.266, z=0.1) совпадение почти идеальное:

при более высоких n разница уже более ощутима (n=5, k=0.6, z=0.48):

n=10, k=0.942, z=1.02:

И да, можно же пойти совсем радикальным способом! Такой дизайн иконок уж точно ни с чем не перепутаешь:

Ну и с анимацией тоже можно слегка пофантазировать:

Заключение
Если некий дизайнер некоторой фирмы с (необязательно) фруктовым логотипом хочет получить уникальный дизайн, пусть и не отличающийся принципиально от уже существующих решений — возможно, стоит попробовать поискать и запатентовать действительно новую формулу, а не привлекать давно известное решение, навешивая на него тонны маркетингового булшита. Особенно если это может сделать just for fun простой человек из глубинки без специального образования.
P.S. Исходники статьи здесь.
Автор: Refridgerator