МЭМС акселерометры, магнитометры и углы ориентации

При разработке устройств, в которых необходимо оценивать углы ориентации, может встать вопрос — какой МЭМС датчик выбрать. Производители датчиков приводят множество параметров, из которых нам требуется получить полезную информацию о качестве датчика.

Чтобы понять, на какие точности углов мы можем рассчитывать, нужно приложить некоторое количество усилий.

TL;DR: Описан небольшой скрипт для Octave/MATLAB, позволяющий оценить ошибки расчёта углов ориентации по измерениям МЭМС акселерометров и магнитометров. На входе скрипта — параметры датчиков из даташитов (и/или погрешности калибровки). Статья может быть полезна тем, кто начинает использовать инерциальные датчики в своих устройствах. Небольшой ликбез по датчикам прилагается. Ссылка на гитхаб тоже.

Сходу примем такие условия:

• Мы хотим оценить углы ориентации неподвижного устройства.
  Почему?

  Ориентацию подвижного устройства просто по формулам не посчитать, нужно использовать хитрые алгоритмы.
• Для оценки углов мы будем использовать измерения МЭМС акселерометров и магнитометров.

1. Краткий ликбез

Углы ориентации

Будем понимать под углами ориентации объекта углы Эйлера — крен (roll), тангаж (pitch), рыскание (yaw), связывающие собственную систему координат XYZ объекта и локальную систему координат восток-север-верх (ENU — East North Up). Углы roll, pitch, yaw обозначают поворот, который нужно совершить осям XYZ чтобы перейти в оси ENU. Соответственно, нулевые углы означают, что ось X объекта смотрит на восток, ось Y объекта смотрит на север, ось Z — вверх.

Порядок поворота осей — начиная с последнего угла: сначала на yaw (вокруг оси Z), потом на pitch (вокруг оси Y), потом на roll (вокруг оси X).

Акселерометр

Это датчик, измеряющий проекцию кажущегося ускорения на ось чувствительности. Кажущегося — потому что измеряет и силу тяжести тоже, даже в то время как акселерометр неподвижен. Проще всего представить акселерометр как грузик на пружинке, его выдаваемые измерения пропорциональны степени растяжения пружины. Если акселерометр покоится — пружина растянута лишь силой тяжести. Если ускоряется — то будет сумма сил: инерции грузика $inline$left (F=moverrightarrow{a}right )$inline$ и силы тяжести $inline$left (F_{g}=moverrightarrow{g}right )$inline$

Примем следующую модель измерений триады ортогональных (взаимно перпендикулярных) акселерометров:

$$display$$a_{XYZ}= m_{a} cdot A_{XYZ}+b_{a}+n_{a},$$display$$

где $inline$a_{XYZ}$inline$ – измеряемое ускорение в ССК (собственной системе координат) XYZ, $inline$m_{a}$inline$ – матрица перекоса осей и масштабных коэффициентов акселерометра, $inline$A_{XYZ}$inline$ – вектор истинного ускорения в ССК XYZ, $inline$b_{a}$inline$ – вектор смещения нуля акселерометра, $inline$n_{a}$inline$ – шум измерений.

Матрица перекоса осей и масштабных коэффициентов выглядит следующим образом:

$$display$$m_{a}=begin{bmatrix}1+m_{a,1,1} & m_{a,1,2} & m_{a,1,3}\ m_{a,2,1}& 1+m_{a,2,2} & m_{a,2,3}\ m_{a,3,1} & m_{a,3,2} & 1+m_{a,3,3} end{bmatrix},$$display$$

где элементы, расположенные по главной диагонали ($inline$ 1+m_{a,1,1}, 1+m_{a,2,2}, 1+m_{a,3,3}$inline$) — это масштабные коэффициенты и их погрешности по трём осям акселерометра, а остальные элементы матрицы — перекосы осей акселерометра.

Магнитометр

Датчик, который измеряет проекцию индукции магнитного поля на ось чувствительности. Магнитометру свойственны искажения hard-iron и soft-iron. Hard-iron искажение — это аддитивный эффект, когда к измеряемому полю добавляется постоянная составляющая. Причиной может быть, например, действие постоянного магнита или собственное смещение нуля датчика. Искажение soft-iron — мультипликативный эффект, отражающий изменение направления и/или ослабление вектора магнитной индукции. Этот эффект может быть вызван наличием металлического предмета в непосредственной близости от магнитометра или же собственными искажениями датчика — погрешностью масштабного коэффициента или перекосом его оси чувствительности.
Примем модель измерений триады магнитометров:

$$display$$m_{XYZ}=S_{m}cdot M_{XYZ}+b_{m}+n_{m},$$display$$

где $inline$m_{XYZ}$inline$ – измерения магнитометра в ССК XYZ, $inline$S_{m}$inline$ – диагональная матрица перекоса осей и масштабных коэффициентов (которая описывает эффект soft–iron), $inline$M_{XYZ}$inline$ – вектор истинной магнитной индукции в ССК, $inline$b_{m}$inline$ – смещение нулей магнитометра (описывает эффект hard–iron), $inline$n_{m}$inline$ – шум измерений.
Матрица перекоса осей и масштабных коэффициентов магнитометра:

$$display$$S_{m}=begin{bmatrix}1+S_{m,1,1} & S_{m,1,2} &S_{m,1,3}\ S_{m,2,1}& 1+S_{m,2,2} & S_{m,2,3}\ S_{m,3,1} & S_{m,3,2}&1+ S_{m,3,3} end{bmatrix},$$display$$

элементы, расположенные на главной диагонали ($inline$S_{m,1,1}, S_{m,2,2}, S_{m,3,3}$inline$) — масштабные коэффициенты и их погрешности по трём осям магнитометра, остальные элементы матрицы — перекосы осей магнитометра. Все элементы матрицы также учитывают эффект soft-iron.

Расчет углов ориентации

Благодаря наличию на Земле силы тяжести, акселерометры «чувствуют» направление вниз. Их измерения используются для расчета углов крена и тангажа. Формулы для расчёта можно найти тут. Третий — угол рыскания (а в данном случае — магнитного азимута), может быть определен благодаря наличию у Земли магнитного поля. Вектор индукции магнитного поля измеряется магнитометрами и их измерения участвуют в расчете угла рыскания. Нужно отметить, что в расчёте магнитного азимута используются измерения магнитометра, пересчитанные в плоскость. Здесь можно найти формулу для расчёта магнитного азимута.

$$display$$roll=atanleft ( frac{a_{Y}}{a_{Z}} right ),$$display$$

$$display$$pitch=atanleft ( frac{-a_{X}}{sqrt{a_{Y}^{2}+a_{Z}^{2}}} right ),$$display$$

$$display$$yaw=atan2left ( frac{m_{E}}{m_{N}} right ),$$display$$

где $inline$atan2$inline$ — функция полного арктангенса, $inline$a_{X}$inline$, $inline$a_{Y}$inline$, $inline$a_{Z}$inline$ — измерения акселерометра по трём осям в ССК, $inline$m_{E}$inline$, $inline$m_{N}$inline$ — измерения магнитометра по осям X', Y' (измерения магнитометров пересчитаны в плоскость).

2. Ошибки оценивания углов ориентации

Описание алгоритма

• Сформируем массивы случайных углов Эйлера roll, pitch, yaw. Они будут задавать наборы вариантов истинной ориентации объекта в модели.
  Зачем много углов?

  Потому что ошибки зависят от значения углов ориентации, и если мы хотим получить представление об их величине во всем диапазоне изменения — то это самый простой способ.
• Из случайных углов roll, pitch, yaw формируется матрица преобразования из ССК XYZ в ЛСК ENU:

  $$display$$C_{XYZ}^{ENU}=begin{vmatrix} cycdot cp &-crcdot sy+srcdot cycdot sp &srcdot sy+crcdot cycdot sp \ sycdot cp &crcdot cy+srcdot sycdot sp & -srcdot cy+crcdot sycdot sp \ -sp &srcdot cp &crcdot cp end{vmatrix},$$display$$

  где $inline$cr=cos (roll)$inline$, $inline$sr=sin(roll)$inline$, $inline$cp=cos(pitch)$inline$, $inline$sp=sin(pitch)$inline$, $inline$cy=cos(yaw)$inline$, $inline$sy=sin(yaw)$inline$.

• Используя данную матрицу можно получить выражение для истинных ускорений в ССК:

  $$display$$A_{XYZ}=left ( C_{XYZ}^{ENU} right )^{T}cdot begin{vmatrix} 0\ 0\ -1\ end{vmatrix},$$display$$

  $inline$begin{vmatrix} 0\ 0\ -1\ end{vmatrix}$inline$ — вектор, определяющий направление гравитационного ускорения, выраженный в единицах g, $inline${(C_{XYZ}^{ENU} )}^{T}$inline$ — матрица преобразования координат из ЛСК в ССК (обратная матрице преобразования из ССК в ЛСК).

• Применяем модель измерения акселерометра:

  $$display$$a_{XYZ}=left ( I+m_{a} right )cdot A_{XYZ}+b_{a}+n_{a},$$display$$

• По измерениям акселерометра рассчитываются новые углы крена и тангажа (оценки) по формулам:

  $$display$$roll'=atan left ( frac{a_{Y}}{a_{Z}} right ),$$display$$

  $$display$$pitch'=atanleft ( frac{-a_{X}}{sqrt{a_{Y}^{2}+a_{Z}^{2}}} right ).$$display$$

• Также необходимо сформировать матрицу пересчета в «горизонт» из этих углов, для этого воспользуемся функцией rpy2mat:

  $$display$$C_{XYZ}^{XYZ'}=rpy2matleft ( begin{bmatrix} roll'\ pitch'\ 0 end{bmatrix}^{T} right ),$$display$$

  где углы roll' и pitch' — это углы, рассчитанные по измерениям акселерометра, а третий угол — нулевой.

• Возьмем вектор истинных магнитных плотностей в ЛСК ENU и пересчитаем его в ССК XYZ:

  $$display$$M_{XYZ}= {(C_{XYZ}^{ENU} )}^{T}cdot M_{ENU}.$$display$$

• Применяем модель измерений магнитометра:

  $$display$$m_{XYZ}=S_{m}cdot M_{XYZ}+b_{m}+n_{m}.$$display$$

• Осталось пересчитать измерения магнитометра из ССК в «горизонт»:

  $$display$$m_{XYZ'}=C_{XYZ}^{XYZ'}cdot m_{XYZ}.$$display$$

• По «горизонтированным» измерениям магнитометра расcчитывается угол магнитного азимута:

  $$display$$yaw'=atan2left ( frac{m_{Y'}}{m_{X'}} right ).$$display$$

• Ошибки оценивания углов ориентации рассчитываются как разность между истинными углами roll, pitch, yaw и рассчитанными по измерениям датчиков — roll', pitch', yaw'.

3. Результаты — расчет погрешностей оценки углов

Для двух датчиков, которые мы взяли для примера — ADIS16488A и MPU-9250, получены предельные ошибки оценивания углов ориентации при совместном влиянии погрешностей акселерометра и магнитометра.

В таблице ниже — максимальные значения полученных ошибок:

Совместное влияние погрешностей акселерометра и магнитометра на ошибки оценивания углов ориентации:

• Вот так выглядят ошибки оценивания крена в зависимости от значений крена и тангажа:

  

• Ошибки оценивания тангажа в зависимости от значений крена и тангажа:

  

• Ошибки оценивания магнитного азимута от углов крена и тангажа:

  

• Ошибки оценивания магнитного азимута от углов крена и магнитного азимута:

  

• Ошибки оценивания магнитного азимута от углов тангажа и магнитного азимута:

  

Итог

• Разработана модель, позволяющая оценивать погрешности расчёта углов ориентации. Углы ориентации рассчитаны по измерениям акселерометров и магнитометров. В расчете погрешности углов учитываются модели погрешностей этих датчиков.
• Ошибки оценивания углов ориентации являются функциями одновременно всех углов ориентации. При этом максимальные значения ошибок наблюдаются на границах диапазонов измерений углов.

Литература

• Tilt Sensing Using a Three-Axis Accelerometer, Rev. 6 — Freescale Semiconductor, Inc.
• Implementing a Tilt-Compensated eCompass using Accelerometer and Magnetometer Sensors — Freescale Semiconductor
  Application Note.
• MPU-9250 Product Specification Revision 1.1 — InvenSense Inc.
• ADIS16488A Data Sheet — Analog Devices, Inc.
• Перов А. И., Харисов В. Н. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования М.: Радиотехника, 2010. – 800 с.

Автор: Дарья Малафеева

Источник