Одна из самых труднорешаемых задач в системах автоматизированного проектирования – скругления при моделировании объектов сложных форм. За построение скруглений, как и за всю геометрию в САПР, отвечает геометрическое ядро.
С точки зрения разработчика ядра охватить все варианты скруглений невозможно ввиду их бесконечного разнообразия. Наши математики постоянно добавляют в ядро C3D новые частные случаи, а недавно сделали скругление трех граней (или полное скругление).
В чем его сложность и как работает алгоритм, рассказывает Анна Ладилова, математик-программист C3D Labs.
Что такое «полное скругление»
Допустим, у нас есть тело с тремя цепочками граней – центральной (верхней) и боковыми (правой и левой). Требуется заменить центральную грань поверхностью скругления, которая бы гладко стыковалась с соседними боковыми гранями. Эта новая поверхность и будет полным скруглением. В общем случае она имеет переменный радиус, определяемый автоматически.
Во многих известных CAD-системах операция полного скругления (full-round fillet) реализована, но ее математика не раскрывается.
Операция Full round fillet в Solidworks
Поэтому мы разработали собственный алгоритм. И он отличается от алгоритмов других разработчиков.
Операции, хотя и называются одинаково, но приводят к немного разным результатам. Это говорит о том, что в SolidWorks скруглению трех граней дается другое определение.
Справа — исходная модель, в центре полное скругление в SolidWorks, слева — в C3D.
Алгоритм построения полного скругления
Задача построения любого вида скруглений включает в себя несколько этапов:
- Разбить заданную цепочку на элементарные составляющие (для скругления трех граней это ровно три грани: левая, правая и центральная).
- Последовательно упорядочить элементарные составляющие.
- Построить поверхность скругления для каждой элементарной составляющей.
- «Сшить» ребрами соседние поверхности скругления.
- Обработать торцевые участки цепочки скруглений, т. е. корректно соединить их с модифицируемым телом.
Ключевым моментом в этой процедуре является третий шаг: построить поверхность скругления для трех заданных граней.
Для построения искомой поверхности первоначально необходимо определить кривые, по которым скругление касается каждой из трех граней. В общем случае эти кривые можно построить только как сплайны, проходящие через известные точки, которые рассчитаны заранее.
Рассмотрим, как можно вычислить тройку точек – по одной на каждом сплайне.
Обработка элементарной составляющей. Скругление касается каждой из трех граней по кривым l0; l1; l2. Синей линией изображено поперечное сечение
В каждом поперечном сечении 
:
– рассчитывается автоматически
ортогональны касательным плоскостям поверхностей в соответствующих точках
0 – точка привязки, лежит в плоскости 
.
Определим исходные поверхности центральной, левой и правой граней радиус-векторами в некоторой области определения. Пусть боковые поверхности задаются радиус-векторами 
1
и 
2
, а центральная – 
0
. Введем положительный числовой параметр 
.
Обозначим через 
0
, 
1
, 
2
единичные нормали к соответствующим поверхностям, направленные «внутрь».
Поперечное «сечение» при построении скругления
Потребуем, чтобы концы этих нормалей, растянутых в 
раз, попали в одну точку – точку 
.
В терминах дифференциальной геометрии наши требования можно сформулировать системой из семи уравнений с семью параметрами:
0
= 
1
,
0
= 
2
,
(
0
— 
0, 
1
— 
0, 
2
— 
0 = 
,
где
— переменный радиус
0 — точка привязки
— переменные из области определения параметров.
Используя алгоритмы численных методов (например, метод Ньютона), мы находим решение этой системы: 
0, 
0, 
0, 
0, 
0, 
0, 
0.
Решение определяет точки касания с поверхностями:
0(
0, 
0), 
1(
0, 
0),
2(
0, 
0),
а также радиус 
0.
Пробегая некоторый набор точек 
0, мы получаем наборы троек точек касания с поверхностями, по которым можно восстановить «кривые касания» 
0, 
1, 
2 как сплайны Эрмита, проходящие через рассчитанные точки.
Область определения [
min, 
max] у всех кривых одна и та же, причем параметру 
i соответствуют точки 
0i, 
1i, 
2i. Далее по этим кривым производится расчет нужного сечения скругления.
Зафиксируем некоторый параметр 
и вычислим для него точки:
0
1
2
.
Построим сплайновую кривую, проходящую через эти точки и ортогональную в них векторам нормали 
0
, 
1
, 
2
соответственно.
Если слегка изменить постановку задачи и искать кривую по заданным точкам и касательным векторам в этих точках, то методы, которыми можно реализовать такой сплайн, можно найти, например, в книге Николая Голованова «Геометрическое моделирование».
В книге подробно описаны методы скругления ребра тела, в частности, показано, что поперечное сечение скругления может быть реализовано как NURBS-кривая, определенная тремя точками. В случае скругления трех граней аналогичная кривая будет определяться пятью точками.
Итак, для каждого параметра 
мы можем определить набор точек для построения NURBS, а следовательно, определить каждую точку поперечного сечения поверхности скругления. Таким образом, задача построения поверхности полностью решена.
В описании этой части алгоритма остался небольшой вопрос — как «правильно» выбрать набор точек 
0, соответствующих поперечному сечению, по которым можно будет легко восстановить «кривые касания» 
0, 
1, 
2?
Представляется разумным брать их с некоторой заранее выбранной кривой. В детали построения этой кривой мы вдаваться не будем, отметим только, что она должна быть гладкой, без самопересечений и «усреднять» цепочки ребер, ограничивающих слева и справа центральную грань.
Слева поперечные сечения, зависящие от точки 
0.
Справа фигуры могут быть достаточно сложными, поэтому правильно выбрать «вспомогательную» кривую — это отдельная задача.
Теперь, когда мы умеем строить поверхности скругления для простейших элементарных случаев, можно перейти к более сложной задаче: построить поверхность для цепочки граней.
Здесь основная проблема — «сшить» соседние поверхности гладким образом. Это четвертый шаг алгоритма.
Трудность заключается именно в гладкости сшивки, поскольку поверхности построены при разных начальных данных. Чтобы обеспечить гладкость, приходится прибегать к различным ухищрениям: менять направление и длину векторов производных в продольном направлении на некотором расстоянии от границы, менять значения производных весовых функций на границах и т.д. Результаты видны на рисунке: более гладкие линии «зебры» соответствуют более гладкой поверхности.
Вверху модель без алгоритма сглаживания. Внизу — после применения алгоритма.
Итог
В результате наших изысканий геометрическое ядро C3D умеет строить поперечное сечение скругления, опорные кривые, скругление трех граней; умеет сглаживать поверхность за счет выбора параметризации; частично умеет гладко стыковать соседние поверхности скругления.
Автор — Анна Ладилова, к.ф.-м.н., математик-программист C3D Labs
Автор: C3D Labs
