Проектируем космическую ракету с нуля. Часть 4 — Второй закон Кеплера

Содержание

Часть 1 — Задача двух тел
Часть 2 — Полу-решение задачи двух тел
Часть 3 — Ужепочти-решение задачи двух тел

Второй закон Кеплера

Всем привет! В прошлый раз мы остановились на вот этих уравнениях:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}}.
end{cases}
end{equation*}
Задачка теперь плоская, все будет — хорошо. Запустим численное моделирование и отрисуем несколько траекторий движения (для разных начальных условий). Не анимацию, как раньше, а чтобы видно было какие формы имеют линии:

Возможные траектории движения спутника

Те кто знаком с эллипсами сразу скажут: тю, так это похоже эллипсы!

А те кто не слышал о эллипсах скажут: овал. Или сплюснутый кружок.

Но все ли линии тут «эллипсы»? Последние две не дорисованы, но видимо, если их продлить, то они замкнуться и станут очень большими эллипсами? Ну давайте продлим одну их них, ту что посередине.

Не похоже на эллипс

В прямую что-ли превращается… Превращается. Знающие эллипс — знают и гиперболу. И только взглянув на картинку, слово вам даю, — это слово они прокричали во весь голос. А потом к ним пришла мысль: тю, так это коники — конические сечения. Ждать ли нам еще и параболу? И уравнение им ответит: ждите.

Так, те кто не слишком понимает о чём идет речь — не переживайте. Дальше растолкуем. Пока это не принципиально, пока мы просто численно моделировали, чтобы прикинуть: а что всё-таки приблизительно должно получиться.

Ну и на закуску можно еще разок взглянуть как летает в плоскости спутник:

анимация 1: спутник летает по эллипсу

Из этих всех картинок и анимаций видно, что если уж и получается «эллипс», то он как-то расположен сбоку. В смысле центр эллипса не совпадает с началом координат. А всегда смещен вбок. А еще можно заметить, что тело движется неравномерно. Чем ближе к началу координат (или массивному неподвижному телу) — тем быстрее летит. Величина скорости от времени:

Скорость спутника

Ладненько, будем решать систему уравнений. Если сразу не решается, то бишь уравнение не напоминает ничего стандартного, уже решенного. Тогда применяют замену переменных — стандартный приём. Учитывая, что у нас получаются замкнутые овальные фигуры, а иногда даже круги, можно попробовать перейти в полярные координаты. Но это не главный аргумент приводящий к этому решению. Главный же, вот:

Эта штука сидит в правых частях обеих уравнений в знаменателе. Еще и под корнем. А сам корень в третьей степени.

Полярные координаты это вот что такое. Хотя объяснять не буду, просто покажу:

Полярная система координат

Связь между старыми и новыми переменными легко установить, школьная тригонометрия:
begin{equation*}
begin{cases}
x = rhocos(phi),
\
y = rhosin(phi).
end{cases}
end{equation*}
Если возвести в квадрат оба уравнения и сложить, будет:

Ах вот зачем использовать полярные координаты, тогда ведь наши дифференциальные уравнения приобретут вид (для начала хотя бы правые части):
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}} = -mu dfrac{rhocos(phi)}{(rho^{2})^{frac{3}{2}}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{frac{3}{2}}} = -mu dfrac{rhosin(phi)}{(rho^{2})^{frac{3}{2}}},
end{cases}
end{equation*}
и сокращая на числитель и знаменатель:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{x} = -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}},
\
ddot{y} = -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}}.
end{cases}
end{equation*}
Не ну, явно приятней смотреть. А что делать с левыми частями? Очевидно нужно продифференцировать. Не стоит забывать: — функции времени, это наши новые переменные вместо . Задачка двумерная, и переменных должно быть две. Два было — два стало.

Вот в это:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho}cos(phi) — 2dot{rho}dot{phi}sin(phi) — rhoddot{phi}sin(phi) — rhodot{phi}^{2}cos(phi) = -mu dfrac{cos(phi)}{rho^{2}}
\
ddot{rho}sin(phi) + 2dot{rho}dot{phi}cos(phi) + rhoddot{phi}cos(phi) — rhodot{phi}^{2}sin(phi) = -mu dfrac{sin(phi)}{rho^{2}}
end{cases}
end{equation*}
Что это? Это проще? — Минуточку!

и получается совсем неплохо:
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{rho} = -dfrac{mu}{rho^{2}} + rhodot{phi}^{2} \
ddot{phi} = -dfrac{2dot{rho}dot{phi}}{rho}
end{cases}
end{equation*}
Так что не нужно роптать раньше времени, Бог всегда ведет нас правильным путем. Всегда.

Ну ка, взглянем повнимательней на второе равенство:

Есть возможность немножко проинтегрировать:

Элементарные интегралы, и константу не забываем:

Элементарные школьные преобразования:

Не, не так. Вот так:

Вы скажете: ну почему мы константу в виде логарифма записали — понятно. Но почему у нас константа — ?? Константы всегда — !

А я отвечу народу:

Иегова Бог говорит так: вспомни, Израиль, о моменте импульса, который ты получил в прошлой статье:

Так, но мы ведь уже в новой координатной системе. В ней вектора будут иметь такие компоненты:

Как и договаривались ранее — штрихи не пишем. А вектор перпендикулярен к плоскости вращения, естественно у него будет только одна компонента, причем равна его длине. Вектор наоборот — лежит в этой плоскости и компонент две.

А вот теперь, если еще добавить полярную систему координат, в которой мы теперь работаем, можно интересно поупражняться:

И тогда должно получится нечто явно интересное:

Очевидно:

А нука теперь сравним полученные нами равенства:
begin{equation*}
begin{cases}
h = rho^{2}dot{phi} \
h = rho^{2}dot{phi}
end{cases}
end{equation*}
Вот такое вот совпадение.
Ок, давайте пристально рассмотрим, что же это выражение может значить. Всё таки нам Бог пророчества давал о нём, оно явно важно. А также, не много, ни мало — это один из первых интегралов нашей системы.

Модуль векторного произведения — суть площадь параллелограмма натянутого на вектора в скобках . Площадь…

Постойте-ка, а какая размерность :

Метры в квадрате деленные на секунду. Площадь за единицу времени… Площадь, полярные координаты, время; Боже дай нам понять что это!

А, загуглим ка площадь в полярных координатах, давно это было на первом курсе, начала матана:

Всё ясно ( константа, не забываем):

Тогда площадь:

Ну еще одна константа — это в принципе начальная площадь, или её половина, точнее две. Пускай в нулевой момент времени площади у нас будет 0:

или же скорость изменения площади — постоянна:

Красиво получается — площадь растет линейно. Равномерно. Хотя тело движется, как мы видели — совсем не равномерно. Особенно когда по эллипсу. Ну это логично, потому что площадь у нас (в полярных координатах) выходит «заметанием» радиуса вектора:

За равные промежутки времени получаются равные площади, красивая картинка из Википедии

И поэтому телу нужно лететь тем быстрее, чем ближе к центру вращения, и тем медленнее, чем дальше. Только тогда наши «треугольники» будут иметь равные площади.

И может быть кто-то не поверит, но мы с вами только что, лишь с помощью ручки, бумажки и матана открыли Второй закон Кеплера. Это один из трех законов открытых эмпирически, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Сделал он (Иоганн) это около 1607 года и звучит он так:

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает собой равные площади.

И вы не поверите, может быть, но второй закон был открыт Кеплером раньше первого. Как и у нас. Но он сделал это эмпирически.

Ох, слишком много совпадений… Еще и Ньютон со своими законами, тоже второй его закон немного главнее первого, и оный вытекает из второго.

А вот что Кеплер говорил о астрономии и астрологии:

Конечно, эта астрология глупая дочка; но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочь должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать наверное бы голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала.

Кеплер понимал Бога, понимал единство мира. А Бог евреям тоже говорил за 3000 лет до этого, что астрология — ху*ня. Чревовещание — ху*ня. Всё ху*ня, Миша, занимайтесь наукой. И почему так верунов не любят современные дети. Всё просто — в Библию никто не заглядывает.

Но пойдем дальше. Хотите услышать как звучит первый закон Кепелера?

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Можно сказать, что мы частично открыли и первый: знаем, что тело вращается в неизменной плоскости (а эллипс по определению — плоская кривая), но пока, к сожалению, еще не знаем, что это «эллипс». И что его «фокус» находится как раз в центре координат. Всё будет, но позже, и про конические сечения поговорим, и про эллипсы, и про их фокусы.

Сейчас будем заканчивать, но перед этим я закину крючок, извините вам в рот, за щеку:

А теперь фокус-покус (это первое уравнение из нашей системы):

Вуаля!

Не, ну это уже можно пытаться решить, красиво. В следующем посте продолжим решать…

P.S.: Печально, что на Хабре нет модуля usepackage{cancel}, но может появится, я не буду некоторые формулы пока исправлять. Или это в mathjax нету модуля, я не разбираюсь, тогда претензии к mathjax

Автор: Серый

Источник