Содержание
Трюкачество с заменой переменных
Приветствую всех! В прошлой части мы с вами получили уравнения движения системы из двух материальных точек, а также некоторую мотивацию на использование этой модели. Теперь же попробуем выжать как можно больше информации из них. Вот они:
begin{equation*}
begin{cases}
m_{1}ddot{vec{r}}_{1} = vec{F}_{12}, (1)
\
m_{2}ddot{vec{r}}_{2} = -vec{F}_{12},
end{cases}
end{equation*}
где
Система выглядит простой, особенно если закрыть глаза и не смотреть на выражение для 
. Даже, на мгновение, начинает казаться что уравнения линейные и решить её — тривиальное дело. Но куб всю малину портит, и если развернуть всё это дело и записать в фазовых координатах, то у нас задача нелинейная и вообще в 12-мерном пространстве (не поленился, набрал):
begin{equation*}
begin{cases}
dot{x}_{1} = v_{1x}
\
dot{y}_{1} = v_{1y}
\
dot{z}_{1} = v_{1z}
\
dot{v}_{1x} = dfrac{G m_{2}left( x_{2} — x_{1} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
\
dot{v}_{1y} = dfrac{G m_{2}left( y_{2} — y_{1} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
\
dot{v}_{1z} = dfrac{G m_{2}left( z_{2} — z_{1} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
\
dot{x}_{2} = v_{2x}
\
dot{y}_{2} = v_{2y}
\
dot{z}_{2} = v_{2z}
\
dot{v}_{2x} = dfrac{G m_{1}left( x_{1} — x_{2} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
\
dot{v}_{2y} = dfrac{G m_{1}left( y_{1} — y_{2} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
\
dot{v}_{2z} = dfrac{G m_{1}left( z_{1} — z_{2} right)}{left( sqrt{(x_{2} — x_{1})^{2} + (y_{2} — y_{1})^{2} + (z_{2} — z_{1})^{2}} right)^{3} }
end{cases}
end{equation*}
Если бы мы так сначала записали, то за этими деревьями леса не увидели, но Слава Богу, Он поднял нас на Свою гору Сион и с неё прекрасно видно весь лес целиком (кстати, если сейчас на Сибирь из космоса посмотреть, увидим что лес горит). И интуиция нам подскажет что делать с уравнениями 1. Эм, сложим и справа будет ноль:
Ничего не напоминает? А так:
Центр масс системы:
Центр масс двух тел. Отношения расстояний 
и 
равно отношению масс. Но в таком порядке, чтобы центр масс был ближе к более тяжелому телу.
а значит из 2 следует, что ускорение центра масс системы равно нулю:
но это то же, что и первый закон Ньютона. Оказывается центр масс всегда и всюду будет двигаться прямолинейно с постоянной скоростью, либо оставаться на месте. Проинтегрируем 3 пару раз (здесь как бы система диффуров, но каждая координата интегрируется независимо от остальных):
где 
— векторные константы, которые являются (анализированием размерностей) начальной скоростью и начальным положением центра масс соответственно. Ну так и перепишем:
начальные условия пересчитать несложно:
а 
— чтобы небыло недосказанности. Забыл в начале сказать, все эти начальные условия вместе с уравнениями 1 образуют задачу Коши, которая, как известно из раздела матана с диффурами, имеет чётко одно решение для каждого начального условия. А это хорошо, потому что бывают задачки посложнее, например, — краевые. Когда часть фазовых координат задается в одной точке, часть в другой точке. Бывает положение известно в начале, а скорость должна быть такой то в конце. А начальной скорости нет. И я чувствую, что такие задачки придется решать нам тоже, в будущем ;)
Можно даже проверить как центр масс движется, численно решив задачку. Старенький ноут, на котором я работаю, позволит это смоделировать:
Анимация движения тел и центра масс. Численное решение
Ну хорошо. Разобрались как двигается центр масс, но этого мало! Хочется узнать как тела двигаются. Еще разок взглянем на систему:
begin{equation*}
begin{cases}
m_{1}ddot{vec{r}}_{1} = Gdfrac{m_{1}m_{2}}{|vec{r}_{2} — vec{r}_{1}|^{3}}left( vec{r}_{2} — vec{r}_{1}right),
\
m_{2}ddot{vec{r}}_{2} = -Gdfrac{m_{1}m_{2}}{|vec{r}_{2} — vec{r}_{1}|^{3}}left( vec{r}_{2} — vec{r}_{1}right),
end{cases}
end{equation*}
или
begin{equation*}
begin{cases}
ddot{vec{r}}_{1} = Gdfrac{m_{2}}{|vec{r}_{2} — vec{r}_{1}|^{3}}left( vec{r}_{2} — vec{r}_{1}right),
\
ddot{vec{r}}_{2} = -Gdfrac{m_{1}}{|vec{r}_{2} — vec{r}_{1}|^{3}}left( vec{r}_{2} — vec{r}_{1}right),
end{cases}
end{equation*}
И там, и там справа разность 
so let's do it quick:
ранее мы обозначили разность как 
но теперь переобозначим 
так как придется (скажу наперед) еще работать с этой штукой не раз. Ну всё, запомнили, и тогда последнее равенство примет вид:
либо так:
где 
а 
— относительное расстояние между телами. Начало вектора 
в материальной точке номер 1, а конец в точке 2.
Вектор 
По сути все эти трюки с центом масс и относительным расстоянием — линейное преобразование переменных:
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{1} = alpha_{1}vec{r}_{text{цм}} + beta_{1}vec{r},
\
vec{r}_{2} = alpha_{2}vec{r}_{text{цм}} + beta_{2}vec{r},
end{cases}
end{equation*}
но пока что записано наоборот:
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{text{цм}} = frac{m_{1}vec{r}_{1} + m_{2}vec{r}_{2}}{m_{1} + m_{2}},
\
vec{r} = vec{r}_{2} — vec{r}_{1},
end{cases}
end{equation*}
или
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{text{цм}} = dfrac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})}vec{r}_{1} + dfrac{m_{2}}{(m_{1} + m_{2})}vec{r}_{2},
\
vec{r} = — vec{r}_{1} + vec{r}_{2},
end{cases}
end{equation*}
можно и так:
И теперь домножив на обратную матрицу слева (либо каким другим способом решить эту систему), можно выразить:
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{1} = vec{r}_{text{цм}} — dfrac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}vec{r}, (5)
\
vec{r}_{2} = vec{r}_{text{цм}} + dfrac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}vec{r}.
end{cases}
end{equation*}
Это преобразование позволило нам разбить задачу на две независимые: отдельно найти движение центра масс и отдельно относительное расстояние. А через них уже выразить движение в глобальной системе координат. Так что пол задачи мы уже решили — как движется центр масс мы знаем. Теперь решив 4 задача будет считаться полностью решенной. Но это уже в следующий раз.
Сейчас же, еще следует добавить анализ уравнений 5. В случае, когда одно из тел будет намного массивнее другого (прим. Земля и Человек, или Земля и яблоко Человека). Примем первое тело массивным, второе — не очень: 
или 
что значит 
В этом случае:
— что означает сосредоточение центра масс системы прямо в массивном теле 
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{1} = vec{r}_{text{цм}} — dfrac{1}{m_{1}}dfrac{m_{2}}{1 + dfrac{m_{2}}{m_{1}}}vec{r} = vec{r}_{text{цм}} — dfrac{m_{2}}{m_{1}}dfrac{1}{1 + 0}vec{r},
\
vec{r}_{2} = vec{r}_{text{цм}} + dfrac{1}{m_{1}}dfrac{m_{1}}{1 + dfrac{m_{2}}{m_{1}}}vec{r} = vec{r}_{text{цм}} + dfrac{m_{1}}{m_{1}}dfrac{1}{1 + 0}vec{r}.
end{cases}
end{equation*}
Окончательно:
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{1} = vec{r}_{text{цм}},
\
vec{r}_{2} = vec{r}_{text{цм}} + vec{r}.
end{cases}
end{equation*}
Теперь, если перенести исходную систему координат в центр масс, получим:
begin{equation*}
begin{cases}
vec{r}_{1} = 0,
\
vec{r}_{2} = vec{r}.
end{cases}
end{equation*}
То бишь, мы связали новую координатную систему с Землей. И Земля в своей собственной коорд. системе неподвижна. Вектор 
уже здесь является просто радиус вектором, но в то же время остается и относительным расстоянием между телами.
Так что в следующей статье, решая это уравнение:
можно трактовать 
как положение спутника в системе координат связанной с Землей например.
Хотя решив его, это совершенно необязательно. Решение будет для двух произвольных тел (произвольные массы).
Продолжение следует…
Литература:
Балк М.Б. Элементы динамики космического полета, М.: Наука, Глав.ред.физ.-мат.лит.,1965. — 338с.
Автор: nickname21
