Обклеенный десятками датчиков «объект исследований» при натурных динамических испытаниях (например, при исследовании виброактивности транспортного средства) легко обеспечивает нас большим объемом полученных данных, но вот что с ними делать, зачастую не очень-то ясно. То же самое — при симуляционом моделировании динамических процессов систем с большим количеством степеней свободы.
Это может быть не совсем понятно тем, кто не сталкивается с проблемой регулярно, но — отсматривать соответствующую анимацию процесса, стохастического во времени и пространстве, как правило, почти бессмысленно. Где сломается или почему так трясет — обычно «не видно». Что придумывали кроме анимации, ниже расскажу, а порекомендую вот что.
Путем элементарнешей процедуры можно получить и сами пространственные «формы» колебаний, причем именно реально проявляющиеся в данных условиях нагружения, и интенсивности их проявления (дисперсии; при желании — и сами процессы).
| Исходный многоканальный процесс
|
Разложение  
|
Рис.1 Разложение многоканального отклика по псевдоформам. «Струна в вязкой среде»(см.рис.2)
Кроме анимации, известны «попарные» исследования (взаимные спектры и т.д), которые общей картины, естественно, не дают.
Довольно очевидны такие способы — «вырезанием» очень узких полос спектра, соответствующих резонансным пикам на спектрограммах, спектрограммным (опять же «попарным») путем получают почти-формы почти-гармонических (высококоррелированных) колебаний.
Кроме очевидной технической сложности, недостаток таких способов в том, что обычно надо «удачно» выбрать «опорный» канал, что не всегда возможно. Как следствие, возникают очень большие ошибки во взаимных фазах процессов. Кроме того, выделенная пространственная форма колебаний и без таких ошибок в силу свойств линейной системы может оказаться «комплексной» (несинфазной), что ее ценность для последующего субъективного анализа обычно (не всегда) ощутимо снижает.
Известно 4-канальное исследование крутильных колебаний (несущей системы среднего автобуса), выделяемых в один процесс фактически с помощью пространственной формы колебаний, определенной по наитию исследователя — показания двух датчиков, расположенных диагонально по углам кузова, складывались (брались с «+»), из них вычитались (брались с «-») показания двух других, расположенных осесимметрично.
Даже при малом количестве датчиков такой подход может быть не совсем хорош. Например, рама грузового автомобиля обычно существенно более податлива в подмоторной (передней) части, соответственно, крутильную форму, возможно, следовало предполагать в более сложном виде (наверное, с какими-то «повышающими» коэффициентами для передних датчиков — и одновременно обостряется вопрос обоснования принятой модели). При большем числе каналов наблюдения все это совсем уж сложно и плохо обосновано.
Явное выделение (в отдельные процессы) нескольких форм колебаний (мод), заранее определенных из иного эксперимента или моделирования, когда-то мною (наверное, не только мною) предлагалось и было непосредственным моим шефом обозвано тогда «методом модальной декомпозиции». Предполагалось так анализировать результаты полигонных испытаний, а вектора собственных форм определять стендовыми испытаниями (либо конечноэлементным моделированием).
Собственно, примерно это и делали, но одновременно выяснилось вот что.
Понятно, что «стендовым экспериментаторам», в отличие от «полигонных», доступен для синхронного наблюдения истинный возмущающий процесс. Это давало им большое преимущество — можно было определить истинные передаточные функции и использовать имевшиеся аппаратно-программные средства для экспериментального определения собственных форм и частот колебаний конструкции (на основании курвфиттинга, с «вырезанием» «на глаз» частотных диапазонов и указанием системе, сколько там форм найти; тоже скорее искусство, чем наука, но все-таки).
Однако. Объект типа автомобиля в сборе они явно избегали исследовать, предпочитая отдельные рамы, несущие кузова и т.п. — объекты с очень малым демпфированием. Речь именно о модальных стендовых испытаниях — определении собственных частот и форм. Не о симуляционных. Правдоподобные собственные формы колебаний на чуть более сильно задемпфированных объектах эспериментально получить в принципе можно, но ощутимо сложнее.
Весьма ценная информация оказалась, об этих «предпочтениях». Если очень-очень коротко — только выводы, к которым удалось впоследствии постепенно прийти: стремиться разложить отклик именно на истинные собственные формы конструкции вряд ли стОит, несмотря на «красивость» идеи.
Если «на пальцах», то причина, по видимому, с высокой вероятностью, такая — в зависимости от внешнего возмущения, «собственные формы колебаний» (точнее, стационарные «модальные» процессы, соответствующие собственным формам колебаний), скорее всего, будут так или иначе коррелированы между собой, фактически образуя какие-то иные пространственные формы колебаний, в той или иной степени отличные от собственных, и проявляется это, естественно, в сильной зависимости от задемпфированности конструкции.
Как краткое пояснение «от противного» — две разных «незатухающих» гармоники некоррелированы, само собой, всегда никак. (Пояснение. Упомянутый эффект «смешивания собственных форм» наблюдается и в отсутсвии «существенных нелинейностей», и вне случаев «комплексных форм» при «непропорциональном» демпфировании в линейных системах.)
Исходя из изложенного, предлагается представить отклик системы как сумму нескольких корреляционно-независимых процессов типа неких форм колебаний (изгибных, крутильных и т.п.). Такой анализ очень прост, как правило, дает очень ценные результаты. Полученные формы могут быть сходны с собственными формами колебаний системы, а могут и нет, но всегда отражают поведение системы именно в условиях реального внешнего воздействия. причем отражают максимально просто и информативно, а их ранжированная по их дисперсиям последовательность представляет собой аппроксимирующий ряд.
Для получения интересующего нас разложения рассматривается (1),
или, то же, компактно, (2),
| Hq = x (2) |
где x — непосредственно полученный в эксперименте n-канальный физический отклик системы длительностью N отсчетов, q — m-канальный действительный «модальный» процесс со взаимно некоррелированными каналами, H — матрица из столбцов, описывающих искомые синфазные («действительные») формы колебаний.
Вообще говоря, впоследствии ожидается m<n (количество форм меньше количества каналов физического отклика), но изначально предполагаем m=n, тогда, если H и q имеют ранг n, (2) в любом случае удовлетворяется без невязки, очевидным образом приходим к
| H·Rqq[0]·HT = Rxx[0] (3) |
или более подробно
То есть поиск искомых таких «псевдособственных» форм колебаний и соответствующих им некоррелированных (при нулевом лаге) процессов q сводится к спектральному разложению (по собственным векторам и числам) симметричной матрицы Rxx[0] (составленной из значений авто- и взаимных корреляций процессов x при лаге Δτ= 0) Ее собственные ортонормированные вектора дают нам искомые формы, а действительные собственные значения — дисперсии соответствующих процессов (помимо значимых, скорее всего, будут дисперсии ~0, поэтому на практике обычно m<n). При желании, можно еще сами процессы построить в форме временных реализаций, найти их спектры и т.д.
| q =HT x (5) |
Для пояснения изложенного рассмотрена модель линейной механической системы с пятью степенями свободы, приближенно имитирующей поведение струны в вязкой среде (рис.2),
Рис.2 Тестовая система.
колеблющейся под воздействием стохастического возмущения f1[i] типа розового шума (рис.3), интервал дискретизации Δt=0,01с, длина реализации 25000 отсчетов.(Здесь и далее оценки СПМ получены методом Уэлча, длина сегмента 1024, применено окно Хэмминга и 60% перекрытие сегментов.)
Рис. 3 Спектр внешнего возмущения.
Фрагмент временной реализации возмущения приведен на рис.4.
Рис.4 Фрагмент временной реализации входящего возмущения
В непрерывном времени модель представляет собой систему диффуравнений (6),
где M=1кг, k= 10кг/с, T=2000Н, l=1м.
Соответствующие (понятно, какие) матрицы численно равны нижеприведенным:
Одна из АЧХ системы изображена на рис.5.
Рис.5. АЧХ тестовой системы
(Пояснение — с количеством резонансных пиков там все в порядке, в качестве пояснения этого АЧХ системы с условно уменьшенным демпфированием (k=1кг/с) приведена на рис.5)
Рис.6 Пояснение насчет пяти резонансов.
Для симуляционного моделирования в дискретном времени использована конечноразностная модель (КР-модели неплохо работают при малых интервалах дискретизации, как было показано). Полученный спектр отклика приведен на рис.7.
Рис.7 Спектр отклика (канал x1)
Далее корелограммным методом были найдены значения авто- и взаимных корреляций каналов отклика.
Результаты применения обсуждаемого метода: найденны дисперсии псевдомодальных процессов Rqq и сами псевдособственные формы H:
Количественно значимыми (по значениям их дисперсий в Rqq), по-видимому, являются три первых процесса в разложении, анимация всего многоканального процесса и соответствующих первых трех форм колебаний по 32 отсчетам (с 6714 по 6746 отсчет, т.е с 67,13с по 67,63с текущего времени) приведена на рис.1 в начале статьи. Как можно заметить, данные псевдоформы имеют определенное сходство с собственными формами колебаний струны.
Накопленный опыт указывает на следующие особенности данного метода.
- Метод чувствителен к посторонним шумам, в т.ч. высокочастотным. Существует опасность получения «случайных» результатов (с большой случайной ошибкой) и кажущейся невоспроизводимости экспериментальных результатов. Необходимо тщательно отфильтровывать нерабочую (количественно незначимую) часть частотного диапазона многоканального сигнала. (В свое время работы в данном направлении даже были остановлены из-за сообщений экспериментаторов об «отсутствии» корреляции между каналами — эффект сильной зашумленности)
- Лучшие результаты получены при количстве каналов наблюдения, существенно большем, чем количество ожидаемых проявляющихся форм колебаний (количество резонансных пиков в исследуемом диапазоне), т.е. при m<<n.
- При высоких добротностях системы псевдоформы, по-видимому, стремятся к истинным собственным формам колебаний системы. Получаемые на таких системах результаты более стабильны в случае зашумленности.
- При совпадении или даже сближении пары собственных значений Rxx[0] пара соответствующих псевдоформ определяется, по-видимому, с точностью до их независимых линейных комбинаций — между собой такие формы при заданных условиях эксперимента разделить не удается.
- По-видимому, сопоставляя истинные формы (найденные иными методами) и рассматриваемые псевдоформы, с некоторой вероятностью можно найти точки приложения внешнего возмущения (особенно при малоканальном возмущении), в случае, если такая задача актуальна.
Автор: crowncork
