Главная

Занимательная математика. Самая экономичная система счисления

2018-10-28 в 1:50, admin, рубрики: занимательная математика, математика, системы счисления, Эпсилон

Все мы знаем из школьного курса что такое системы счисления(СС). Но не все задумываются о том, на сколько затратны СС. Т.е. какой набор цифр нам необходим для представления числа в данной СС. Когда у нас есть ограниченный набор уникальных элементов (разноцветные камушки разных размеров), с помощью которого мы можем представить число, какое максимальное число мы можем представить используя эти элементы? (все красные камушки — это ноль, зелёные — один, синие — два и т.д., маленькие — нулевой разряд, средние — первый, большие — второй и т.д.). Где та грань, при которой основание СС играет большую роль чем разрядность числа?

Возьмём для примера n — количество элементов, равным 60. Разбив элементы на 2 группы (двоичная система счисления) мы получим 30 разрядов. 30 единиц — самое больше 30-ти разрядное число с основанием 2. Если к нему прибавить 1, то получим единицу с 30 нулями, т.е. 2 в 30-ой, так как каждый ноль — это степень двойки, а разряды начинаются с 0, и не забудем вычесть единицу, которую прибавили.

Для других СС аналогично $y=x^{60/x}-1$ , где y — максимальное число, x — основание степени.

Точки построения:

$2^{30}-1=1,073,741,823$ .
$3^{20}-1=3,486,784,400$ .
$4^{15}-1=1,073,741,823$
$5^{12}-1=244,140,624$
$6^{10}-1=60,466,175$
$10^{6}-1=999,999$
$12^{5}-1=248,831$

График функции:

Из графика видно, что с увеличением основания СС, начиная с трёх, затратность её увеличивается и функция имеет верхний экстремум. Приведя её к общему виду можно получить $y=(sqrt[x]x)^{n}-1$ , а максимум функции $sqrt[x]x$ достигается при $x=e$ .

График функции $y=sqrt[x]x$

Т.е. самая экономичная СС — это система, максимально близкая к $e$ или 3.

P.S.: По мимо того СС с основанием 3 — нечётная, а значит не имеет проблемы округления (привести 0.5 к 0 или к 1), а если цифры записывать симметрично (-1,0,1 вместо 0,1,2) то появляется простота представления отрицательных чисел (10-1 это 8, -101 это -8, где минус — это не знак, а часть цифры, которую можно заменить на Z), но это уже совсем другая арифметика)))

Автор: Гагулия Нугзар

Источник