Два математика утверждают, что нашли дыру в самом сердце доказательства, вот уже шесть лет сотрясающего математическое сообщество
В отчёте, опубликованном в сентябре 2018 в интернете, Петер Шольце из Боннского университета и Якоб Стикс из Университета имени Гёте во Франкфурте описали то, что Стикс называет «серьёзным, и невосполнимым разрывом» в огромной серии объёмных работ Синъити Мотидзуки, знаменитого гениального математика из Киотского университета. Опубликованные в интернете в 2012 году работы Мотидзуки якобы доказывают abc-гипотезу, одну из наиболее далеко идущих задач в теории чисел.
Несмотря на множество конференций, пытавшихся объяснить доказательство Мотидзуки, специалисты по теории чисел с трудом справлялись с лежащими в его основе идеями. Его серия работ общим объёмом более 500 страниц написаны малопонятным стилем, и ссылаются на его предыдущую работу из порядка 500 страниц, что приводит к появлению «чувства бесконечного регресса», как выразился математик Брайан Конрад из Стэнфордского университета.
Из изучавших доказательство математиков верят в его правильность от 12 до 18 человек, как написал мне Иван Фесенко из Ноттингемского университета по электронной почте. Но, как прокомментировал ситуацию в обсуждении доказательства в блоге в прошлом декабре Конрад, за верность доказательства поручились лишь математики из «ближайшего окружения Мотидзуки». «Нет больше ни одного желающего заявить, пусть даже неофициально, об уверенности в полноте доказательства».
Тем не менее, как писал в своём блоге Фрэнк Калегари из Чикагского университета в декабре, «математики неохотно заявляют о проблемах с доказательством Мотидзуки, поскольку не могут указать на конкретную ошибку».
Теперь всё поменялось. В своём отчёте Шольце и Стикс утверждают, что линия рассуждений ближе к концу доказательства «заключения 3.12» в третьей из четырёх работ Мотидзуки фундаментально ошибочна. А это заключение необходимо для предлагаемого им доказательства abc-гипотезы.
«Мне кажется, что вопрос с abc-гипотезой остаётся открытым,- сказал Шольце. – И у любого человека есть шанс доказать его».
Петер Шольце
Заключения Шольце и Стикса основаны не только на собственном изучении работ, но и на недельном визите, нанесённом ими Мотидзуки и его коллеге, Юитиро Хоши в марте в Киотском университете, проведённом с целью обсуждения данного доказательства. Шольце говорит, что этот визит чрезвычайно сильно помог ему и Стиксу добраться до сути их возражений. В результате, пара учёных «пришла к выводу об отсутствии доказательства», пишут они в отчёте.
Однако эта встреча завершилась к неудовлетворению сторон. Мотидзуки не смог убедить Шольце и Стикса в том, что его доказательство верное, а они не смогли убедить его, что оно неверное. Мотидзуки уже выложил отчёт Шольце и Стикса на своём сайте, и присовокупил к ним несколько своих возражений.
В них Мотидзуки относит критику Шольце и Стикса на счёт «определённых фундаментальных неверных толкований» его работы. Их «негативное отношение, — пишет он, — не говорит о наличии каких-либо недостатков» в его теории.
Точно так же, как серьёзная репутация Мотидзуки заставила математиков рассматривать его работу как серьёзную попытку доказательства гипотезы, репутация Шольце и Стикса гарантирует, что математики обратят внимание и на то, что они хотят сказать. Шольце, хотя ему всего 30 лет, быстро поднялся на вершину в своей области. В августе он получил Филдсовскую премию, высочайшую награду в математике. Стикс же является экспертом в области исследований Мотидзуки, анабелевой геометрии.
«Петер и Якоб чрезвычайно осторожные и вдумчивые математики, — сказал Конрад. – Если у них есть какие-то опасения, их реально стоит прояснить».
Камень преткновения
abc-гипотеза, которую Конрад назвал «одной из самых выдающихся гипотез в теории чисел», начинается с одного из самых простых уравнений, которое вообще можно представить: a + b = c. Три числа a, b и c – положительные целые, у которых нет общих простых делителей. То есть, мы можем рассматривать уравнение 8 + 9 = 17 или 5 + 16 = 21, но не 6 + 9 = 15, поскольку числа 6, 9 и 15 делятся на 3.
Взяв такое уравнение, можно рассмотреть все простые числа, на которые делятся любые из трёх участвующих в уравнении чисел – к примеру, в случае с уравнением 5 + 16 = 21 эти простые числа будут 2, 3, 5 и 7. Их произведение будет равно 210, и оно гораздо больше любого из чисел, участвующих в уравнении. И наоборот, в уравнении 5 + 27 = 32 участвуют простые числа 2, 3 и 5, произведение которых равно 30 – а это меньше числа 32, участвующего в уравнении. Произведение получается таким маленьким, поскольку у чисел 27 и 32 очень маленькие простые делители (3 и 2), которые для получения этих чисел просто повторяются много раз.
Если начать играться с другими тройками abc, можно обнаружить, что этот второй вариант встречается чрезвычайно редко. К примеру, среди 3044 различных троек, у которых члены a и b меньше 100, существует всего семь, где произведение простых делителей меньше c. Гипотеза abc, сформулированная в 1980-х, формализует интуитивное представление о редкости таких троек.
Возвращаясь к примеру 5 + 27 = 32. 32 больше 30, но ненамного. Это меньше, чем 302, или 301.5, или даже 301.02, равное 32,11. abc-гипотеза говорит, что если выбрать любую степень больше 1, то будет существовать лишь конечное количество троек abc, у которых c будет больше произведения простых делителей, возведённого в выбранную степень.
«abc-гипотеза – весьма простое утверждение, касающееся умножения и деления», — сказал Миньюн Ким из Оксфордского университета. Он сказал, что с таким утверждением «появляется ощущение того, что ты раскрываешь какую-то очень фундаментальную структуру численных систем, которую ты раньше не видел».
Простота уравнения a + b = c означает, что широкий спектр других проблем попадает под её влияние. К примеру, великая теорема Ферма связана с уравнениями вида xn + yn = zn, а гипотеза Каталана, утверждающая, что 8 и 9 – единственная последовательная двойка совершенных степеней [чисел, выражающихся целым числом в целой степени / прим. перев.] (поскольку 8 = 23 и 9 = 32), говорит об уравнении вида xm + 1 = yn. abc-гипотеза (в определённом виде) дала бы новые доказательства двум этим теоремам и решила бы целую гору связанных с ней открытых задач.
Якоб Стикс
Эта гипотеза «будто бы всё время находится на границе между познанным и непознанным», — писал Дориан Голдфелд из Колумбийского университета.
Масштаб последствий доказательства гипотезы убедил специалистов по теории чисел в том, что доказать её будет очень сложно. Поэтому, когда в 2012 году распространилась информация о том, что Мотидзуки представил доказательство, многие математики с упоением погрузились в его работу – но только чтобы оказаться в тупике из-за незнакомого языка и необычного представления информации. Определения растягивались на несколько страниц, за ними шли теоремы с такими же длинными утверждениями, а их доказательства описывались фразами типа «сразу вытекает из определения».
«Каждый раз, когда я слышу об анализе работ Мотидзуки, проделанном экспертом (неофициальном), его отзыв оказывается возмутительно знакомым: широкие поля тривиальных вещей, за которыми следуют огромные горы неоправданных выводов», — писал Калегари в своём блоге в декабре.
Шольце был одним из первых читателей работы. Он известен тем, что способен быстро поглощать математику, глубоко в неё вникая, поэтому он продвинулся дальше многих теоретиков, и закончил то, что он назвал «грубым прочтением» четырёх основных работ вскоре после их появления. Шольце смутили длинные теоремы с короткими доказательствами, показавшиеся ему верными, но необоснованными. Позже он писал, что в двух промежуточных работах «мало что происходит».
Затем Шольце добрался до заключения 3.12 в третьей работе. Математики обычно используют слово «заключение» для обозначения теоремы, второстепенной по отношению к предыдущей, более важной. Но в случае заключения 3.12 от Мотидзуки математики соглашаются, что это – основная теорема для доказательства abc-гипотезы. Без неё «нет никакого доказательства, — писал Калегари. – Это критически важный шаг».
Это заключение – единственная теорема в двух промежуточных работах, доказательство которой занимает больше нескольких строчек – оно тянется на девять страниц. Проходя по ним, Шольце дошёл до точки, в которой уже совсем не мог следовать логике.
В то время ему было всего 24, и он считал, что доказательство некорректно. Но он практически не вступал в обсуждение работ, если только его не спрашивали о них напрямую. Ведь, в конце концов, думал он, другие математики наверняка найдут в этих работах значимые идеи, пропущенные им. Или, возможно, они в итоге придут к тому же выводу, что и он. Так или иначе, считал он, математическое сообщество сумеет во всём разобраться.
Лестница Эшера
Тем временем другие математики с трудом справлялись с непроходимыми работами. Многие возлагали большие надежды на встречу, посвящённую работе Мотидзуки, назначенную на конец 2015 года в Оксфордском университете. Но когда несколько коллег Мотидзуки попытались объяснить ключевые идеи доказательства, на слушателей опустилось «облако тумана», как писал Конрад в отчёте вскоре после встречи. «Людям, понимавшим эту работу, необходимо было более успешно объяснять специалистам по арифметической геометрии, что лежит в её основе», — писал он.
В течение нескольких дней после его поста Конрад получил неожиданные письма от трёх математиков (одним из которых был Шольце), описывающих одно и то же: они смогли прочесть и понять работы до тех пор, пока не дошли до определённой точки. «Каждого из троих остановило доказательство 3.12», — писал позже Конрад.
Ким слышал сходные отзывы по поводу заключения 3.12 и от другого математика, Тэрухисы Кошикавы, работающего в Киотском университете. Стикс также запнулся на этом месте. Постепенно многие специалисты по теории чисел узнали о том, что это заключение стало камнем преткновения, но не было ясно, была ли в его доказательстве дыра, или Мотидзуки нужно было просто лучше объяснить свои рассуждения.
Затем в 2017 году к ужасу многих теоретиков пошли слухи о том, что работы Мотидзуки были приняты к публикации. Сам Мотидзуки при этом был главным редактором этого журнала, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Калегари назвал эту ситуацию "плохо выглядящей" (хотя редактора в таких ситуациях обычно отстраняются от принятия решения). Но больше всего математиков волновало то, что работы по-прежнему оставались нечитаемыми.
Синъити Мотидзуки на видеосвязи на конференции 2015 года, посвящённой его доказательству
«Ни один эксперт, утверждающий, что понимает доказательство, не сумел объяснить его ни одному из множества экспертов, остающихся в замешательстве», — писал Мэтью Эмертон из Чикагского университета.
Калегари написал статью, описывающую эту ситуацию, как "полный провал", и его точку зрения подхватили выдающиеся теоретики. «У нас сложилась смехотворная ситуация, в которой abc считается теоремой в Киото и гипотезой во всех остальных местах», — писал Калегари.
Журнал PRIMS вскоре ответил на запросы прессы заявлением, в котором пояснил, что работы не были приняты к публикации. Однако ещё до этого Шольце решил публично заявить то, что уже давно говорил в частных беседах многим теоретикам. Он решил, что всё это обсуждение доказательства стало «слишком социальным». «Все говорили о том, что это доказательство не кажется таковым, но никто не говорил: „Вот есть такое место, где никто не понял доказательства“.
В комментариях к записи Калегари Шольце писал, что он „вообще не смог следовать логике после рис. 3.8 в доказательстве заключения 3.12“. Он добавил, что математики, „заявляющие, будто понимают доказательство, не хотят признавать, что там нужно что-то добавить“.
Шигефуми Мори, коллега Мотидзуки из Киотского университета, обладатель Филдсовской премии, писал Шольце с предложением организовать ему встречу с Мотидзуки. Шольце, в свою очередь, связался со Стиксом, и в марте эта пара отправилась в Киото, чтобы обсудить камень преткновения в доказательстве с Мотидзуки и Хоши.
Подход Мотидзуки к abc-гипотезе переводит задачу в область эллиптических кривых, особого типа кубических уравнений с двумя переменными, x и y. Этот переход, известный ещё до Мотидзуки, выполняется просто – нужно связать каждое abc-уравнение с эллиптической кривой, чей график пересекает ось x в точках a, b и в начале координат – однако он позволяет математикам пользоваться богатой структурой эллиптических кривых, объединяющих теорию чисел с геометрией, интегральным счислением и другими областями. (Тот же самый переход находится в центре доказательства Великой теоремы Ферма от 1994 года, выполненного Эндрю Уайлсом).
В результате, abc-гипотеза сводится к доказательству неравенства между двумя величинами, связанными с эллиптическими кривыми. Работа Мотидзуки переводит это неравенство в ещё одну форму, которую, как сказал Стикс, можно представить в виде сравнения объёмов двух наборов. В заключении 3.12 предлагает своё доказательство этого неравенства, которое, будучи верным, доказало бы abc-гипотезу.
В доказательстве, как это описывают Шольце и Стикс, объёмы двух наборов рассматриваются так, будто они находятся внутри двух разных копий вещественных чисел, представленных в виде части круга из шести разных копий вещественных чисел, а также дана разметка, поясняющая, как каждая копия связана со своим соседом по кругу. Чтобы отслеживать связь объёмов наборов друг с другом, необходимо понять, как измерения объёма в одной копии связаны с измерениями в других копиях, как сказал Стикс.
»Если у вас есть неравенство двух объектов, но при этом измерительная линейка сжимается в некоторое количество раз, неподконтрольное вам, то вы теряете контроль над тем, что вообще означает неравенство", — сказал Стикс.
Шольце и Стикс считают, что именно в этот критический момент доказательства всё рушится. В разметках Мотидзуки измерительные линейки логически совместимы друг с другом. Но при обходе круга, сказал Стикс, у вас оказывается линейка, не похожая на ту, что будет, если идти в другую сторону. Эта ситуация, сказал он, напоминает знаменитую замкнутую лестницу Эшера, по которой можно карабкаться, а потом оказаться в том же самом месте [правильнее сказать, что это лестница Пенроуза, по мотивам которой Эшер сделал известный рисунок / прим. перев.].
Шольце и Стикс сделали вывод, что эта несовместимость измерений объёмов означает, что в итоговом неравенстве сравниваются неправильные величины. А если подправить всё так, чтобы объёмы стали сравнимыми, то неравенство становится бессмысленным, говорят они.
Шольце и Стикс «нашли способ, с которым доказательство не работает», — сказал Киран Кедлая, математик из Калифорнийского университета в Сан-Диего, подробно изучавший работу Мотидзуки. «Так что, если доказательство верно, оно должно работать с чем-то другим, с чем-то менее явным», чем то, что описывают Шольце и Стикс.
Мотидзуки утверждает именно это – присутствие чего-то менее явного. Он пишет, что Шольце и Стикс ошибаются, произвольно приравнивая математические объекты, которые должны считаться различными. Когда он рассказал коллегам о сути возражений Шольце и Стикса, пишет он, его описание «встретили с примечательно всеобщим удивлением и даже недоверием (а после ещё и высмеяли) к тому, что такое невероятное недопонимание вообще могло возникнуть».
Теперь математикам нужно будет переварить аргументы Шольце и Стикса и ответ Мотидзуки. Шольце надеется, что, в отличие от ситуации с первоначальными работами Мотидзуки, этот процесс будет длиться недолго, поскольку природа их со Стиксом возражений не настолько технически сложна. Другие теоретики «должны без проблем суметь следовать линии нашего обсуждения, которое мы провели с Мотидзуки», — сказал он.
Мотидзуки всё видится совершенно не так. С его точки зрения, критика Шольце и Стикса происходит от «недостатка времени на то, чтобы как следует вникнуть в обсуждаемую математику», что, возможно, связано с «чувством глубокого дискомфорта, или незнакомства с новым способом размышлений о знакомых математических объектах».
Математики, и до этого скептически относившиеся к доказательству Мотидзуки, вполне могут решить, что отчёт Шольце и Стикса ставит точку в этой истории, сказал Ким. Другие же захотят самостоятельно изучить отчёты, и это, считает Ким, уже началось. «Не думаю, что мне удастся избежать необходимости самостоятельно всё проверить перед тем, как я что-то решу для себя», — написал он по почте.
За последние несколько лет многие специалисты по теории чисел перестали пытаться понять работы Мотидзуки. Но если Мотидзуки или его последователи смогут предоставить подробное и связное объяснение того, почему картина Шольце и Стикса слишком упрощена (если это так), «это может многое сделать для того, чтобы снять связанное с этим вопросом утомление и вдохновить людей на новые попытки», — сказал Кедлая.
А тем временем, говорит Шольце: «Я думаю, это нельзя считать доказательством, пока Мотидзуки не проведёт серьёзную переделку и не объяснит ключевой шаг гораздо лучше». Он сам, по его словам, «не вижу ключевую идею, которая могла бы подвести нас ближе к доказательству abc-гипотезы».
Вне зависимости от итогового результата обсуждения, чёткое обозначение определённого места доказательства Мотидзуки должно всё очень хорошо прояснить, сказал Ким. «То, что удалось Якобу и Петеру, сослужит очень важную службу сообществу, — сказал он. – Что бы ни случилось, я уверен, что эти отчёты станут определённого рода прогрессом».
Автор: Вячеслав Голованов
