В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.
Отображение
Теорема. Если
отображение компактного метрического пространства в себя, такое что
для любых
, то отображение
— изометрия.
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через будем обозначать количество элементов конечного множества
.
Для и
множество
назовем
-окрестностью точки
(или открытым шаром с центром в точке
и радиусом
).
Конечное множество назовём
-сетью в
(или просто
-сетью), если для любой точки
найдётся точка
такая, что
. Множество
назовём
-разреженным, если
для любых
, таких, что
.
Для любого конечного множества обозначим через
сумму
. Величину
назовём длиной множества
.
1. Пусть последовательности ,
элементов множества
сходятся соответственно
к точкам . Тогда
при
.
Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства
Так как ,
при
, то для
найдется такое натуральное
, что для всех
будет
Из следует, что
для всех
.
2. Для каждого в
существует конечная
-сеть.
Доказательство. Семейство открытых шаров , где
пробегает
, является покрытием
. Т. к.
компактно, выберем конечное семейство шаров
, также покрывающих
. Ясно, что множество
— конечная
-сеть.
3. Пространство ограничено. А именно, существует такое число
, что
для любых
.
Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим , где
,
— элементы
-сети
. Ясно, что
.
4. Если — конечная
-сеть в
, то для любого
-разреженного множества
будет
, т. е.
.
Доказательство. Объединение шаров $inline$underset{i=1}{overset{n}{unicode{222a}}}Q_{a_i,frac{varepsilon }{2}}$inline$ покрывает . Если
, то два различных элемента из
окажутся в одном из шаров
, что противоречит тому, что
—
-разреженное множество.
5. Каждому -разреженному множеству
поставим в соответствие число
— его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому
-разреженному множеству
в соответствие число
, ограничена. Отметим, что функция, которая каждому
-разреженному множеству
ставит в соответствие его длину
, также ограничена.
6. Пусть , где
берется по всем
-разреженным множествам
. Тогда справедлива
Лемма 1. Существует
-разреженное множество
, такое что
,
является
-сетью в
,
также является
-сетью в
и для любых
будет
.
7. Лемма 2. Отображение
непрерывно на
. Более точно: если
для любых
, то
.
Доказательство. Рассмотрим -сеть
из Леммы 1. Если
не принадлежит шару
, то
не принадлежит
. Это значит, что найдётся такое
, что
и
. Аналогично существует такое
, что
и
. Оценим
. Ясно, что
. А так как
, и
,
, то
. Следовательно,
.
Итак, мы доказали, что непрерывно отображает
в
. Из Леммы 1 следует, что для каждого
существует
-сеть в
такая, что
сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек
можно найти последовательности
,
такие, что
. Но
при
. Из непрерывности отображения
следует, что
,
при
. Следовательно,
при
. А т. к. для любого
выполняется равенство
, то
.
Замечание
Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.

разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы
Автор: Осипов Роман Алексеевич