В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть
— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки
найдется натуральное
такое, что
. Тогда
многочлен.
Доказательство
Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть
и
замкнутые подмножества прямой, причем
и
. Тогда в
найдется точка, которая содержится в одном из
вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка
, натуральное
и
такие, что
.
Действительно (от противного), выберем точку и окружим ее окрестностью
, где
. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит
. Выберем в
точку
. Окружим
интервалом
таким, что концы этого интервала — точки
и
лежат в
, а
. По предположению
. Это позволяет выбрать в
некоторую точку
Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов
Ясно, что
, (1)
(2)
Так как каждый промежуток , то
, а из (1) и (2) следует, что
для каждого
. Таким образом мы нашли точку
, но не лежащую ни в одном из множеств
.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция |
---|
2. Если каждая точка отрезка
правильная, то сужение
на
— многочлен.
Действительно, для каждой точки найдется интервал такой, что сужение
на этот интервал — многочлен. Т.е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное
, что
равна нулю на этом интервале.
Из компактности отрезка следует, что найдется такое натуральное
, что
всюду на
, следовательно
— многочлен.
3. Если каждая точка полуинтервала
правильная, то
сужениена
— многочлен.
Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность такую, что
сходится к
. По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков
сужение
— многочлен. Пусть
— многочлен, совпадающий с
на отрезке
. Ясно, что
для всех
Поэтому
совпадает с
на
, значит и в точке
. (Напомним, что
и
непрерывны всюду на
).
Аналогично предыдущему легко доказать, что:
4. Если каждая точка полуинтервала
или интервала
— правильная, то
— многочлен на
.
Приступим к исследованию неправильных точек, т.е. точек множества .
5. Множество
не содержит изолированных точек.
Действительно. Пусть — изолированная точка. Тогда для некоторого
и
состоят из правильных точек. Значит, сужение
на
и на
многочлены. Ясно, что при достаточно большом
(
должно быть больше степеней каждого из этих многочленов)
будет равна нулю всюду на
. Т.е.
является правильной точкой.
6. Пусть множество
неправильных точек не пусто. Положим
. Ясно, что
и каждое
замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал
такой, что
и
лежит в одном из
.
Рассмотрим функцию . Эта функция равна нулю в каждой точке
. Так как каждая неправильная точка является предельной для множества
, то
для всех целых
и всех
.
Докажем, что равна
всюду на
. Пусть не так. Тогда найдется
такая, что
. Так как множество
не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку
, ближайшую к
. Для определенности положим
. Функция
бесконечно много раз дифференцируема на
и все производные
. Так как
, то по теореме о конечных приращениях Лагранжа
не может быть равна нулю всюду на
ни для одного натурального
.

разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы
Автор: Осипов Роман Алексеевич