Геометрия данных 2. Ди- и би-координаты точек и векторов

Статья является продолжением серии о системах координат на точечном базисе. Базис представляет собой вершины симплекса или графа с известными значениями двух взаимных метрических тензоров — дистанционного (ДМТ) и лапласовского (ЛМТ). В первой статье описаны свойства данных тензоров. Здесь покажем, что представляют собой координаты точек.

Дистанционные координаты

Для лапласовского метрического тензора (ЛМТ) координатами, описывающими точку в пространстве, являются дистанционные координаты. Данные координаты представляют собой объединение скалярной единицы и значений отрицательных полудистанций от точки до реперов — вершин базисного симплекса или графа. Для краткости будем именовать их ди-координатами.

Количество компонент ди-координат на единицу больше количества базовых вершин n и на две единицы больше мерности пространства l, задаваемого базисом (вершинами симплекса). Примером ди-координат может служить строка (колонка) дистанционного метрического тензора (ДМТ).

Ди-координаты — это не просто набор чисел, но структура, включающая в себя скалярную часть (единицу) и векторную (полудистанции до вершин). По структуре ди-координаты похожи на однородные координаты, которые в простейшем случае представляют собой расширение декартовых координат единичной компонентой. Кроме того, с координатами подобной структуры имеют дело физики при описании 4-мерного пространства-времени. Все эти совпадения неслучайны.

В матричной форме дистанционные координаты точки будем обозначать как . Структура ди-координат точки — .
Приведем примеры значений дистанционных координат. Допустим, рядом с нашим базовым треугольником есть еще три точки с известными дистанциями до вершин треугольника — P, Q и R (см. рисунок). Для расчета дистанций используем декартовы координаты точек на плоскости (XY), которые приводим для контроля и сверки:

Вектор дистанций от точки P до точек A, B, С здесь такой: . Соответственно, ди-координаты точки будут: . Первая единица — это скалярная компонента. У всех точек пространства значение скалярной компоненты ди-координат одно и то же (в рамках данной серии статей).

Ди-координаты точек Q и R:

Точки и векторы

Ди-координаты точек пространства можно вычитать и получать их разность — вектор. У ди-координат вектора разности скалярная компонента равна нулю — по этому признаку ди-координаты вектора можно отличить от координат точек .

Геометрия, в которой описание координат точек и векторов отличается, называется аффинной. В такой геометрии координаты вектора (разности) можно прибавить к координатам какой-либо точки и получить координаты новой точки пространства. Для векторов определены операции сложения и вычитания (значение скалярной компоненты при этом остается нулевым). Но нет смысла, например, складывать между собой координаты точек.

Дистанция между точками

Проверим, работает ли наш тензор. Для определения квадрата расстояния (дистанции) между точками P и Q надо найти вектор разности координат точек и рассчитать его норму. Норма вектора определяется стандартно — через билинейную форму — умножение вектора слева и справа и на метрический тензор. Для дистанционных координат это записывается так:

где — вектор разности, — метрический тензор. Здесь и далее не злоупотребляем штрихами для обозначения векторов (штрихи еще понадобятся), поэтому помним, что в билинейной форме слева от матрицы — вектор-строка, а справа — вектор-столбец.

Проверяем. Координаты искомого вектора: . Данные координаты умножаем с двух сторон на лапласовский метрический тензор (ЛМТ) и получаем ответ: . Можно свериться с расчетом расстояния через дистанции в декартовых координатах: . Ответы совпали, ЛМТ работает.

Точка и ее проекция на базовое пространство

Напомним, что симплекс из n вершин определяет l=n-1-мерное пространство . Базисный треугольник определяет базовую плоскость . Количество дистанционных компонент в ди-координатах точки на единицу больше мерности пространства. Это означает, что ди-координаты позволяют задавать точки, выходящие за пределы базового пространства и принадлежащие . В нашем примере точки могут лежать не только в плоскости треугольника, но и на (под) ним.

Координаты точки не позволяют определить, с какой стороны базового пространства находится точка (если она ему не принадлежит). В примере с треугольником точки, расположенные над и под плоскостью треугольника, будут иметь одни и те же координаты.

Если точка не принадлежит базовому пространству, то следует различать положение самой точки P и ее проекции на пространство P' (вот где штрих понадобился). Формула определения дистанции между точками (2.1) работает только в базовом пространстве, то есть дает дистанцию между проекциями точек (а не между самими точками). Отсюда следует, что более точное написание формулы будет таким:

В декартовых (и подобных им) координатах всегда работаем с пространством базиса (просто потому, что нет способа задания координат точек, выходящих за него). Поэтому в декартовой системе таких нюансов нет. Координаты на точечном базисе обладают большими возможностями, но и требуют более аккуратного обращения.

Норма точки и дистанция до базового пространства

Раскрывая скобки в формуле (2.1), получаем «теорему косинусов на точках». По форме она похожа на обычную теорему косинусов, только здесь у нас координаты точек (а не векторов). Поэтому нет ни углов, ни косинусов. Зато получаем полезные определения норм точек:

Скаляр будем называть нормой точки P, а скаляр — взаимной нормой (сверткой) точек P и Q. Свертка точек представляет собой скалярное произведение их координат.

Рассчитаем норму точки P, которая изображена на рисунке. Умножая дважды ди-координаты точки на метрический тензор ЛМТ, получим, что она равна нулю: . Что это значит?

Норма точки характеризует положение точки относительно базового пространства,- она равна дистанции от точки до пространства с обратным знаком. То есть фактически представляет собой норму вектора разности координат точки P и ее проекции P' на базовое пространство:

.

Значение нормы позволяет определить, принадлежит точка пространству базиса или нет, и если нет, то насколько она от него удалена.

Дистанция между точками вне базисного пространства

Естественным является вопрос, можно ли определить дистанцию между точками, которые не принадлежат базовому пространству? Неожиданный ответ — да. Для этого достаточно знать ди-координаты точек, их положение относительно базового пространства, ну и метрический тензор базиса, конечно. «Магическая» формула выглядит так:

Значение скаляра равно 1, если точки расположены с одной стороны и -1, если с разных. Во многих прикладных задачах расположение точек всегда одностороннее, поэтому формула (2.6) может быть использована для определения дистанции между объектами (находящимися, например, в воздухе) если известны их ди-координаты относительно реперов (радаров на земле).

Непросто представить, что, например, у 3-мерного пространства тоже есть сторона, но математика говорит, что есть. В декартовых координатах сторона, которой принадлежит точка, определяется знаком значения n-ой компоненты, которая не входит в базовые. Если тетраэдр задан в декартовых координатах x, y, z, и при этом еще существует одна компонента (например, t — время), то можно считать, что плоскость t=0 делит базовое пространство на две стороны. Точки, у которых компонента t > 0, лежат с одной стороны базового пространства, а у которых t < 0 — с другой.

Взаимная норма (свертка) точек

Геометрический смысл взаимной нормы точек вытекает из формулы (2.2), см. также рисунок проекций. Перегруппировав слагаемые, получим с учетом (2.5):

То есть взаимная норма представляет собой сумму полудистанций от точек до базового пространства и полудистанции между проекциями точек в базовом пространстве.
Если точки принадлежат пространству базиса, то из (2.7) следует, что дистанция между точками пространства определяется их взаимной нормой:

Отсюда также следует, что дистанционный метрический тензор (ДМТ) представляет собой значения взаимных норм (скалярных произведений координат) точек базового набора. Что вполне себе совпадает по духу с традиционным определением метрического тензора как набора скалярных произведений базовых векторов.

Нормаль к пространству

В набор ДМТ помимо ди-координат вершин входит особый вектор c ди-координатами [0, 1, 1,...]. О том, что это вектор разности координат точек, говорит значение нуля в скалярной компоненте. Следовательно, можно прибавлять координаты данного вектора к координатам точек. Геометрически такая операция эквивалентна сдвигу точки в направлении, перпендикулярном базовому пространству. Отсюда ясно, что вектор [0, 1, 1,...] — это единичный вектор нормали к базовому пространству.

Зная координаты точки P и ее норму , всегда можно определить координаты проекции точки P'. Для этого единичный вектор нормали умножаем на норму точки и прибавляем полученный вектор к ди-координатам исходной точки.

Обратимся к взаимной системе координат.

Би-координаты

Как указано в первой статье, взаимным по отношению к лапласовскому тензору является дистанционный метрический тензор — ДМТ. Координаты точки в системе с данным тензором будем называть би-координатами и обозначать . Термин связан с тем, что векторная компонента в би-координатах представляет собой барицентрические координаты точек.

Переход от ди-координат к би-координатам (и обратно) выполняется умножением на метрический тензор, которому принадлежит текущая координата:

Рассчитаем би-координаты точки P относительно вершин нашего треугольника. Выполняя умножение ЛМТ на ди-координаты точки, получаем:

Би-координаты также имеют структуру — состоят из скалярной и векторной компонент. Векторная составляющая би-координат совпадает, как уже отмечено выше, с барицентрическими координатами. Особенность данных координат в том, что сумма их компонент равна 1 (в нашем примере 11/12 + 1/3 — 1/4 = 1). Каждая барицентрическая компонента — это вклад (вес) вершины базиса в координату точки. Чем больше значение компоненты — тем ближе находится точка к базовой вершине.

Барицентрические координаты хорошо изучены и широко используются, поэтому на них подробно не останавливаемся, а перейдем к скалярной компоненте. Что она отражает?

Степень точки

Значение скалярной компоненты би-координат определяет положение точки относительно описанной сферы базового симплекса. В геометрии есть понятие степени точки — это положение точки относительно сферы. Задается как разность между дистанцией от точки до центра сферы и квадратом радиуса сферы :

На рисунке квадрат длины катета треугольника POT |PT| (от точки до касания сферы) и есть значение степени точки P. Точки M и N на рисунке демонстрируют полезное свойство степени, а именно, что ее значение равно произведению длин отрезков |PM| и |MN|.

Скалярная компонента би-координат равна отрицательной полустепени точки:

.

Тогда структуру би-координат точки можно записать как: .
Здесь — векторная компонента, барицентрические координаты точки.

Если скалярная компонента би-координат точки больше нуля — точка лежит внутри сферы, если меньше — снаружи. Барицентрический вектор характеризует положение проекции точки на пространство базового симплекса, а скалярная компонента — задает пространственное положение относительно сферы. Опять же совокупность скалярной и векторной части позволяет определять би-координаты точек вне базового пространства.

Скалярная компонента би-координат вершин базиса равна нулю (поскольку базисные точки принадлежат сфере). А сами би-координаты вершин представляют собой единичные координаты (с 1-ей в своей базисной компоненте и 0-м в остальных — обычно обозначаются через ). Например, би-координаты точки A треугольника будут равны [0; 1, 0, 0]. Набор всех би-координат базиса образует единичную матрицу .

Если точка не принадлежит пространству базиса, то ее дистанция до центра сферы равна сумме дистанций от точки до до ее проекции и дистанции от проекции до центра . Первая равна норме точки с обратным знаком. Тогда можно выразить степень точки через степень ее проекции и норму :

В свою очередь степень проекции точки можно определить через би-линейную форму барицентрических координат точки и полудистанционной матрицы базиса:

Напомним, что полудистанционная матрица — это подматрица (главный минор) ДМТ.

Би-координаты точек и векторов

Как и в случае ди-координат следует отличать би-координаты точки от би-координат вектора разности точек (аффинная геометрия). Однако критерий отличия двух типов координат в данной системе иной. В би-координатах точки сумма барицентрических компонент равна 1, а в би-координатах вектора сумма компонент будет равна 0 (поскольку разность) — балансовые векторы. (Балансовые векторы используются в проводках бухгалтерского учета). Остальное аналогично. Би-векторы можно складывать и вычитать — при этом результат остается в пространстве векторов. К би-координатам точки можно прибавлять би-координаты вектора и получать новую точку.

Скалярная компонента би-координат вектора равна разности дистанций от точек до центра сферы: . То есть не зависит от величины радиуса сферы, в отличие от скалярной компоненты би-координат точки.

Вспоминая, что сумма компонент лапласиана равна нулю, можно заключить, что строки (колонки) лапласиана — это векторы разности барицентрических координат. Исключение — вектор окаймления. Он представляет собой барицентрические координаты центра сферы. Интересна взаимность метрических тензоров. В ДМТ векторное окаймление — это вектор разности, а основная матрица — координаты точек. В ЛМТ — наоборот.

Дистанция и нормы в би-координатах

Скалярная компонента добавляет метрику к барицентрическим координатам. При наличии известного метрического тензора (ДМТ) можно вычислять дистанции между точками, принадлежащими базовому пространству. Все стандартно — через билинейную форму умножения разности координат на метрический тензор. Формулы аналогичны выражениям в ди-координатах с заменой метрического тензора на и ди-координат на би-координаты . Обозначив вектор разности би-координат точек P и Q как , получаем:

Дистанция между проекциями:

Норма точки:

Взаимная норма:

Знание би-координат точек и их положения относительно базового пространства также позволяет вычислять дистанцию между точками вне базового пространства по формуле (2.6). И это круто. Обычно считается, что барицентрические координаты задают лишь относительное положение точек. Оказывается, что если добавить к ним скалярную компоненту в виде степени точки, то можно определять пространственное положение не только самой точки, но и дистанции между точками вне базового пространства.

Объединяем ди- и би-координаты

Связь параметров базиса с координатами точек

Если в формуле связи ди- и би-координат (2.8) раскрыть структуру умножаемых матриц и векторов, то можно получить полезные тождества для скалярной и векторной компонент координат. Для би-координат имеем (штрихами помечены векторы):

Отсюда вытекает два соотношения:

Выражение (2.11.1) демонстрирует, что результат действия лапласиана на вектор можно интерпретировать как вектор разности точки и центра сферы.
Тождество (2.11.2) (при выводе использовано также (2.9) и (2.10)) показывает, как зная векторную составляющую ди-координат точки, получить ее степень и дистанцию до центра сферы.

Перейдем к структуре ди-координат:

Первая строка показывает, что сумма барицентрических компонент равна 1 (), это и так знали (но тут видно почему — потому что используем единичный вектор в качестве окаймления дистанционной матрицы). Из второй вытекает тождество связи барицентрических координат и дистанционного вектора точки. Общую двойку можно опустить и тогда приходим к следующему:

Формула (2.13) показывает роль степени точки в координатах. Она задает величину смещения ди-координат по направлению к нормали базового пространства (нормаль в ди-координатах — это вектор единиц ).

Нормы — это скалярное произведение координат разных типов

Используя скалярное произведение координат обоих типов (би- и ди-), можно избавиться в формулах от метрических тензоров.

Дистанция между проекциями:

Норма точки:

Взаимная норма:

Обращаем внимание на коммутативность произведения ди- и би-координат в (2.14.3). То есть координаты точек перемножаются как скаляры.

Можно ли избавиться от скалярной составляющей?

Выделим в координатах скалярную и векторную части и раскроем произведения по аналогии с (2.11), (2.12). Тогда выражение для нормы точки (2.14.2) принимает вид:

Данное выражение можно рассматривать как определение скалярного произведения векторных компонент точки:

Важно, что дистанция между проекциями точек (2.14.1) может быть выражена через произведение векторных компонент, скалярные составляющие сокращаются:

Здесь произведение векторных компонент некоммутативно —

Смысл формулы (2.16) в том, что в рамках базового пространства можно организовать метрику без скалярных составляющих координат. Особенности такой метрики тоже интересны, но здесь не будем на них останавливаться.

Тензорная форма

Если перейти к тензорной форме представления тождеств, то все будет выглядеть проще и элегантнее. Напомним, что в тензорной форме записи количество индексов тензора определяет его ранг. Нет индексов — это скаляр, один индекс — вектор, два индекса — матрица и т.д.

Используем следующие обозначения (P и Q — точки пространства):
— дистанция между точками пространства (скаляр),
— норма точки (скаляр),
— взаимная норма точек (скаляр),

— ди-координата точки (вектор),
— вектор разности ди-координат точек (вектор),

— би-координата точки (вектор),
— вектор разности би-координат точек (вектор),

— лапласовский метрический тензор (ЛМТ) (матрица),
— дистанционный метрический тензор (ДМТ) (матрица),

В тензорной терминологии изменение типа координат (от ди- к би- и обратно) эквивалентно переходу от контравариантных компонент вектора к ковариантным. Выполняется опусканием/поднятием индекса:

Норма точки:

Взаимная норма точек:

Дистанция между точками:

И это еще не все. Здесь пока не представлено смешанное положение индексов у тензора — верхние и нижние одновременно.
___

Закругляемся. Надеюсь, что примерное представление о том, что такое системы координат на точечном базисе у читателей сложилось. Данные системы вносят метрику в аффинную геометрию без введения базисных векторов, расширяют понятия однородных и барицентрических координат. Несмотря на то, что интенсивно опираемся на геометрические термины и аналогии, достоинство ди- и би- координат в том, что они могут быть использованы и в других типах пространств (на графах).

Далее планируется рассмотреть понятие скалярного произведения векторов, изменение базиса (замена реперных точек) — без определения такой операции система координат не выглядит законченной. И не забываем про графы — покажем, что требуется для того, чтобы вычислять на графах дистанции между узлами вне базисного пространства.

Автор: dmagin

Источник