Привет! В этой статье я приведу простой алгоритм, позволяющий группе из N человек секретно сгенерировать каждому из участников группы номер другого участника — одариваемого — для обмена подарками на Новый год в мероприятии Тайный Санта (Secret Santa).
Прежде всего, что такое Тайный Санта? Статья в Википедии рассказывает это лучше меня, я лишь кратко скажу, что это церемония, пришедшая к нам с Запада, в которой группа людей сговаривается подарить на Новый год друг другу подарки таким образом, что каждый из участников дарит и получает по одному подарку, при этом каждому не известен его даритель, но известен одариваемый (отсюда "тайный Санта"). Стоимость подарков обычно оговаривается заранее, чтобы все подарки были примерно равноценны. При желании можно условиться, что после того, как обмен подарками совершится, дарители раскроются.
Свой "Тайный Санта" есть и на Хабрахабре под названием "Клуб Анонимных Дедов Морозов".
К сожалению, для организации Тайного Санты просто сгенерировать список пар даритель-одариваемый недостаточно. Дарение должно происходить анонимно, и каждый участник должен знать только номер одариваемого и ни битом информации больше о других участниках, поэтому, например, нельзя просто поручить одному из участников сгенерировать список и сообщить каждому оставшемуся участнику его одариваемого — тот, кто сгенерировал список, будет знать всё обо всех, в том числе и своего дарителя.
Как правило, участники выходят из положения, прибегая к помощи "третьей стороны" — незаинтересованного человека, не участвующего в церемонии, которого просят сгенерировать номера одариваемых и тайно сообщить каждому участнику единственный номер. Такой "третьей стороной" может быть не только человек, но и специализированный сайт, к числу которых относится и уже упомянутый "Клуб АДМ" Хабрахабра.
Если же поставить условие децентрализованности (отсутствия "третьей стороны"),
то "Тайный Санта" превращается в интересную с точки зрения криптографии задачу, достаточно хорошо изученную и неоднократно решённую: вот пример математической модели Тайного Санты, а вот конкретный алгоритм решения, где участники для обеспечения скрытия данных используют асимметричное шифрование.
В данной статье я опишу ещё один такой алгоритм. Его небольшое преимущество перед прочими методами из области хардкорной криптографии в том, что он очень прост в исполнении: всё, что надо делать участникам, — это записывать наборы натуральных чисел, а также вычёркивать из них отдельные элементы и вписывать новые.
Как и остальные децентрализованные алгоритмы для Тайного Санты, этот алгоритм не требует "третьей стороны" — участникам достаточно только общаться между собой. Всё, что требуется каждому участнику, — это дважды получить от участника с предыдущим номером набор натуральных чисел, изменить его определённым образом и передать следующему. После того, как обмен наборами завершится, каждый участник определённым образом формирует из имеющихся у него наборов единственное натуральное число — номер одариваемого.
Сразу скажу, у такого подхода не очень много преимуществ по сравнению с тем, чтобы просто привлечь "третью сторону", но пара плюсов всё-таки есть:
- Это просто весело — поиграть на НГ в "Тайного Санту" с криптографией. Хорошо подойдёт компании гиков.
- Не требуется искать человека со стороны, организовывать его общение с каждым из участников.
- Не требуется регистрироваться ни на каком сайте, нужны только сами участники и минимум технических средств общения обычным текстом. При физической встрече участников не нужно ничего, кроме ручки и бумаги. Для общения на расстоянии подойдёт что угодно — электронная почта, SMS, IRC...
Описание алгоритма
Для начала, небольшое соглашение о том, как представлять конкретный набор, сопоставляющий дарителей и одариваемых, с математической точки зрения.
Назначение одариваемых в Тайном Санте — не что иное, как назначение каждому из участников группы из N человек номера от 1 до N, означающего номер одариваемого (если считать, что все участники пронумерованы от 1 до N). При этом:
- Никому не должен достаться свой собственный номер (тк нельзя дарить себе самому);
- Не должно быть номеров, никому не доставшихся (тк все должны быть одарены);
- Номер каждого участника достаётся ровно одному дарителю (тк каждый должен получить ровно 1 подарок).
- Двум участникам может выпасть дарить подарки друг другу — в принципе это совершенно нормально, но иногда участники могут условиться перебрасывать жребий в этом случае.
- На номера могут накладываться другие дополнительные ограничения в зависимости от ситуации (например, если в "Санте" участвуют несколько семей, они могут условиться перебрасывать жребий, если кому-то из участников выпало делать подарок члену своей семьи).
Отсюда видно, что любой список пар даритель-одариваемый для Secret Santa можно представить в виде последовательности из N чисел (на i-ом месте записывается номер того, кому дарит подарок i-ый участник), представляющей собой перестановку порядка N без неподвижных точек.
Первый этап алгоритма
Итак, каждому участнику назначается номер от 1 до N, например в алфавитном порядке имён. Эта информация является открытой и сообщается всем участникам.
Затем первый участник случайным образом создаёт большой набор (нужно не менее 2N) натуральных чисел так, что никакие 2 из них не совпадают. Этот набор изначально не сообщается никому. Первый участник записывает эти числа для удобства в порядке возрастания, выбирает себе любое одно из них случайным образом, удаляет выбранное число из набора и передаёт оставшийся набор второму участнику. В итоге у первого участника оказываются записанными 2 вещи: стартовый набор чисел и выбранное им число.
Приведём пример с 5 участниками.
Первый участник генерирует начальный набор: 3, 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 783, 5003, 5765, 7003
Выбрано: 783
Передаётся второму участнику: 3, 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Второй участник точно так же выбирает себе из набора произвольное число, удаляет его из набора и передаёт оставшийся набор следующему участнику. Так же поступают 3-ий, 4-ый и 5-ый участник. Пятый, последний, участник выбирает себе число, но никому ничего пока не передаёт.
Продолжим пример:
Второй участник получает (повторим ещё раз): 3, 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Второй участник выбирает: 3
Третий участник получает: 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Третий участник выбирает: 94
Четвёртый участник получает: 46, 50, 89, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Четвёртый участник выбирает: 5765
Пятый участник получает: 46, 50, 89, 95, 101, 500, 5003, 7003
Пятый участник выбирает: 101
Остаток набора: 46, 50, 89, 95, 500, 5003, 7003
На этом первый этап алгоритма окончен. Комментарий: в итоге у каждого из участников имеется число, не известное всем остальным (точнее, каждому участнику известен большой набор чисел, про который он знает, что последующие участники выбирали своё число из него — но это не даёт никакой информации, позволяющей точно узнать чужие числа). Если мы теперь найдём способ как-то сообщить весь набор выбранных чисел каждому из участников, то задача назначения дарителей будет решена: каждому участнику достаточно взять за конечный результат порядковый номер выбранного им числа в этом наборе выбранных номеров.
Предположим, что мы уже нашли способ сообщить каждому набор выбранных номеров (вообще мы это сделаем на 2-ом этапе алгоритма) и участники узнали номера своих одариваемых. Проблема в том, что одному или более участникам могут выпасть их собственные номера, что делает весь итоговый результат некорректным. Это большой минус алгоритма, так как вероятность попасть в эту ситуацию довольно высока, хотя она и падает с ростом N. Выходов как минимум 2:
-
Участник, получивший свой собственный номер, запрашивает у всех перебрасывание жребия с начала. Эту процедуру нужно повторять, пока все не подтвердят, что им достался корректный номер.
- Участник, получивший свой собственный номер, запрашивает у всех применение к итоговым результатам случайной перестановки без неподвижных точек. Эта перестановка генерируется открыто и сообщается всем участникам. Каждый участник должен применить эту перестановку к номеру своего одариваемого. Эту процедуру нужно повторять, пока все не подтвердят, что им достался корректный номер. Этот способ подходит только при физической встрече, так как при удалённом общении невозможно гарантировать случайность перестановки (тот, кому задано сгенерировать перестановку, к примеру, может беспрепятственно сгенерировать перестановку, переводящую его номер одариваемого в любой другой номер одариваемого по его желанию).
В примере с 5 участниками вот как будут выглядеть выбранные номера:
1-ый участник выбрал (повторим ещё раз): 783
2-ой участник выбрал (повторим ещё раз): 3
3-ий участник выбрал (повторим ещё раз): 94
4-ый участник выбрал (повторим ещё раз): 5765
5-ый участник выбрал (повторим ещё раз): 101
Список выбранных номеров в порядке возрастания (повторюсь — предположим, что мы знаем, как секретно сообщить его всем участникам): 3 94 101 783 5765
Итого, номера одариваемых:
1-ый участник: выбрал 783, набор 3 94 101 783 5765 — номер одариваемого 4
2-ой участник: выбрал 3, набор 3 94 101 783 5765 — номер одариваемого 1
3-ий участник: выбрал 94, набор 3 94 101 783 5765 — номер одариваемого 2
4-ый участник: выбрал 5765, набор 3 94 101 783 5765 — номер одариваемого 5
5-ый участник: выбрал 101, набор 3 94 101 783 5765 — номер одариваемого 3
Переброса не требуется.
Второй этап алгоритма
Итак, как же сообщить всем набор "выделенных" номеров? Это задача второго этапа. Узнать этот набор может первый участник, если последний участник сообщит ему оставшийся в конце набор (в примере это 46, 50, 89, 95, 500, 5003, 7003). Первому участнику тогда достаточно исключить этот набор из стартового, и результат исключения будет искомым набором выбранных участниками чисел. Заметим, что первый участник при таком действии всё ещё не знает никакой информации, позволяющей ему раскрыть номера, доставшиеся остальным участникам.
К сожалению, просто взять и сообщить вычисленный набор дальше по цепочке нельзя — хотя бы потому, что предпоследний участник по этой информации мгновенно вычислит номер, выбранный последним участником, а значит и узнает его одариваемого.
Решение у этой проблемы следующее. Как уже сказано, последний участник передаёт первому самый последний оставшийся набор. У первого участника оказываются следующие данные:
Стартовый набор: 3, 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 783, 5003, 5765, 7003
Выбрано число: 783
Последний остаток набора: 46, 50, 89, 95, 500, 5003, 7003
Первый участник вычисляет, как уже сказано выше, набор выбранных всеми участниками чисел: 3, 94, 101, 783, 5765 и узнаёт выпавший ему номер одариваемого — 4.
Теперь, начиная с этого момента, каждый участник, начиная с первого, будет сообщать следущему участнику набор из N чисел. Каждый, получивший такой набор, должен считать его набором выбранных всеми участниками номеров и соответственно вычислить номер своего одариваемого. Но на каждом шаге передаваться дальше будет не оригинальный набор выбранных номеров, а изменённый, но дающий тот же результат вычисления номера одариваемого, что и оригинальный. При этом изменённый набор исключит всякую возможность узнать выбранные другими числа.
Для составления такого изменённого набора участник должен взять полученный им от предыдущего участника набор (в случае первого участника — набор, вычисленный как сказано выше) и подменить в нём своё число (выбранное на 1ом этапе) на любое другое число из доставшегося ему на 1-ом этапе набора, со следующими ограничениями:
- Заменённое число не должно входить в только что полученный от предыдущего участника набор;
- Заменённое число должно иметь тот же порядковый номер в изменённом наборе, что и заменяемое число в оригинальном наборе.
В примере первый участник подменяет в наборе 3, 94, 101, 783, 5765 выбранное им число — 783. Числа, которые ему разрешено подставить вместо 783, — это 500 и 5003. Предположим, он выбрал подмену 783 на 5003 и передаёт второму участнику набор 3, 94, 101, 5003, 5765.
Остальные участники делают то же самое. Доведём пример до конца.
Второй участник:
Набор на 1ом этапе — 3, 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Выбранное число — 3
Набор на 2ом этапе — 3, 94, 101, 5003, 5765
Можно подставить вместо 3 — 46, 50, 89
Выбираем подставить 50, передаём дальше набор 50, 94, 101, 5003, 5765
Третий участник:
Набор на 1ом этапе — 46, 50, 89, 94, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Выбранное число — 94
Набор на 2ом этапе — 50, 94, 101, 5003, 5765
Можно подставить вместо 94 — 89, 95
Выбираем подставить 89, передаём дальше набор 50, 89, 101, 5003, 5765
Четвёртый участник:
Набор на 1ом этапе — 46, 50, 89, 95, 101, 500, 5003, 5765, 7003
Выбранное число — 5765
Набор на 2ом этапе — 50, 89, 101, 5003, 5765
Можно подставить вместо 5765 — 7003
Выбираем подставить 7003 (альтернатив особо нет), передаём дальше набор 50, 89, 101, 5003, 7003
Пятый участник:
Набор на 1ом этапе — 46, 50, 89, 95, 101, 500, 5003, 7003
Выбранное число — 101
Набор на 2ом этапе — 50, 89, 101, 5003, 7003
Обмен наборами закончен, участники могут заняться вычислением номера одариваемого.
Можно удостовериться, что никто из участников при таком подходе не может узнать ничего о чужих номерах.
Всё, алгоритм завершён. Навскидку я вижу в нём ещё 2 недостатка, помимо упомянутых выше частых перебросов из-за шанса выпадения участнику своего собственного номера:
-
Случайность выбора участником числа из набора никак не гарантируется. Никто не мешает первому участнику, например, выбрать последнее число в наборе и тем самым практически обеспечить себе номер одариваемого, равный N. Эта проблема устраняется, если, как уже сказано, участники договорятся в самом конце алгоритма дополнительно применить к результатам известную всем случайную перестановку без неподвижных точек, но её случайность тоже нужно как-то гарантировать.
- Алгоритм не умеет создавать никакие дополнительные ограничения на номера одариваемых (например, запрет любым 2 участникам или определённым 2 участникам взаимно делать подарок друг другу).
Всем спасибо, кто дочитал до конца, и с наступающим Новым годом :) Печеньку тому, кто найдёт ещё проблемы в алгоритме или решит существующие!
Автор: Cheater
