Сегодня мы поговорим об основах. Теоретические основы задают пределы возможного и показывают пути достижения целей, а потому глубина понимания в таких вопросах никогда не будет лишней.
Все основы мы осветить не сможем, поэтому пока направим свой просветительский луч на занимательные задачки, называемые парадоксами. По ходу освещения темы мы постепенно углубимся в недра подхода, называемого логикой, а затем обратим внимание на связи логики и математики, после чего наши читатели смогут легко разобраться не только в причинах полезности логики при выводе аксиоматических теорий, но и зачем вообще аксиоматические теории нужны, а так же поймут как не надо подходить к строительству непротиворечивых теорий.
Начнём со списка занимательных задачек. Эти задачки называют парадоксами, поскольку как бы мы не отвечали на вопрос, который ставится в задаче, автор парадокса всегда легко докажет, что мы неправы. То есть говоря другими словами — задачки не предполагают наличия решения, но скорее занимательным образом показывают нетривиальность логических рассуждений.
Парадокс брадобрея
В некой деревне некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам. Вопрос — кто бреет брадобрея?
Если вы ответили, что брадобрея бреет сам брадобрей, то сторонники парадоксов вам быстро объяснят, что брадобрей по условиям задачи бреет тех, кто не бреется сам, а значит он не может брить себя, иначе получилось бы, что он бреется сам и тем самым бреет того, кто бреется сам.
Если же вы ответили, что брадобрея бреет кто-то другой, то сторонники парадоксов опять напомнят условия задачи — в них указано, что если человек не бреется сам, то его обязан брить именно брадобрей, ведь он же сказал — бреет всех, кто не бреется сам. Значит если его бреет кто-то другой, тогда он не бреется сам и по условию должен быть брит брадобреем.
Пока не стоит глубоко погружаться в логические противоречия данной задачи, она лишь вводит вас в мир парадоксов и за ней последуют ещё несколько противоречивых задачек. Хотя если вы нашли неожиданное решение — не спешите, далее вы увидите, как сторонники парадоксов обойдут любые неожиданные решения.
Парадоксы множеств
Аналогично парадоксу брадобрея сто с лишним лет назад был открыт парадокс, серьёзно повлиявший на основы математики, при чём на столько серьёзно, что этот период был назван кризисом основ математики. Правда сильно беспокоиться за математику всё же не стоит, ведь и кризис этот был не первый, и на содержательные разделы математики он повлиял слабо. Но тем не менее, кризис наглядно показал слабость наших познаний в той области, которая всегда считалась строгой и чуть ли не всеобъемлющей.
Сначала покажем основу одного из парадоксов на упрощённом примере. Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей? Если там уже есть все элементы, вспомним, что они могут быть отсортированы по возрастанию и тогда станет очевидным, что наибольший элемент равен количеству элементов в нашем множестве. Но если прибавить к количеству единицу, то мы получим элемент, которого в множестве нет, значит вроде бы представить такой список нельзя, ведь каждый раз будет всплывать вопрос о новом элементе. Но с другой стороны — мы же можем сформулировать фразу «множество всех положительных целых чисел». Так чего же мы реально можем и чего не можем?
Пока вы раздумываете над ответом на предыдущий вопрос мы зададим вам следующий. А если представить множество всех множеств, да такое, что бы ни одно множество не включало бы само себя в качестве элемента? Возможно ли такое? Например множество чисел { 1, 2, 3 } не включает себя в качестве элемента. Так может и все остальные множества можно так же представить?
Если вы скажете, что такое возможно, то тогда сторонники парадоксов зададут вопрос — а включает ли представленное множество само себя?
Если вы скажете «да», то сторонники парадоксов ответят, что по условию задачи множество не должно включать таких множеств, которые включают сами себя, но раз вы сказали «да», то включили представленное множество само в себя и тем запретили его включение, ведь оно стало множеством, включающим себя, что противоречит условию задачи.
Если же вы скажете «нет», то сторонники парадоксов ответят, что по условиям задачи представленное множество должно включать все множества, не включающие себя, а значит и само представленное множество (которого нет в самом себе) тоже должно быть в нашем множестве.
Так же как и, возможно, вы сейчас, математики всего мира были слегка задеты явным отсутствием здравого смысла в предложенном парадоксе. Ведь мало того, что здравый смысл куда-то убежал, но незадолго перед этим математики успели предложить использовать теорию множеств (а мы как раз говорим о её представителе — множестве всех множеств, не включающих самих себя) для построения на её основе всей математики. И в результате случился кризис — в основе математики, как оказалось, отсутствует здравый смысл. Как вам такая математика? На эту тему хорошо выразился Винни-Пух — она хорошая, но почему-то хромает (с).
Но это ещё не всё. Далее для полноты картины приведём парочку парадоксов несколько иного плана.
Парадокс самоприменимости
Есть слова, смысл которых можно применить к этим словам. Например — слово «трёхсложно» состоит из трёх слогов и его смысл нам тоже говорит о трёх слогах, поэтому такое слово можно назвать самоприменимым. Аналогично слово «русское» написано по русски и выражает смысл принадлежности к русскому, то есть опять самоприменимо. А вот слово «сиреневенький» обычно пишется совсем не сиреневым цветом и на сирени не растёт, значит оно несамоприменимо. Но есть ещё слово (и мы его только что видели) «несамоприменимо». Применимо ли такое слово к самому себе?
Если борьба со здравым смыслов внутри вас успешно закончилась и вы сказали, что слово самоприменимо, то сторонники парадоксов скажут — как же оно может быть самоприменимо, если в нём написано — несамоприменимо?
Если же вы скажете, что слово несамоприменимо, то сторонники парадоксов ответят, что смысл слова совпадает с определением, которое вы ему дали (несамоприменимо), а значит вы сами же и показали способ самоприменимости, и значит вы опять неправы!
Но радость сторонников парадоксов будет неполной, если мы не покажем ещё одну задачку.
Парадокс ложного высказывания
Задачка очень простая — вы должны ответить «да» или «нет» на вопрос — является ли следующее высказывание ложным — «это высказывание ложное».
Если вы ответите «нет», то сторонники парадоксов скажут, что в высказывании же написано — оно ложное, значит вы говорите что-то не то.
Если вы ответите «да», то сторонники парадоксов скажут, что раз вы утверждаете, что высказывание ложное (ответив «да»), и само высказывание утверждает, что оно ложное, то где же здесь ложь? Значит вы опять ответили неправильно! Далее сторонники парадоксов опять радуются.
Немного демистификации
Мы не станем унывать, наблюдая веселье в стане сторонников парадоксов, но попробуем вскрыть то зло, которое, так сказать, усиленно пудрило нам во всех приведённых парадоксах. Да что нам — куча математиков до сих пор не уверена в непротивречивости основ своей науки!
Сначала про брадобрея. Посмотрим внимательнее на состав участников парадокса. Мы заметим пару сущностей, это брадобрей и некие «все», которых брадобрей бреет. Так же мы увидим некое отношение, в которое вступает брадобрей с теми, кого он бреет. Назовём это отношение по простому — «бреет». На языке математики мы бы могли написать — х бреет у, то есть некий икс находится в отношениях с неким игреком, а называется отношение — бреет. Далее в парадоксе мы видим алгоритм отбора в состав сущности «все». Суть алгоритма — проверка на условие «не бреется сам». Так же мы видим обязательство брадобрея брить всех, кто входит в упомянутую сущность «все».
Теперь, записав для нашей задачки часть «дано», мы переходим к части «решение».
Предположим, что некая комиссия отбирает людей из деревни, и всех, кто ответит «не бреюсь сам», включает в состав множества из условия задачи (множество «все»). После завершения работы комиссии мы имеем группу лиц, которых нашему брадобрею необходимо соответствующим образом обработать. Далее можно легко представить, что в момент опроса брадобрей сказал, что он бреется сам, а потому его в группу подлежащих обработке лиц не включили. В итоге получаем вполне благостную картину — все, кто не бреется сам, будут спокойно побриты нашим брадобреем. А разве не будут? Как минимум, никаких препятствий со стороны здравого смысла мы здесь не увидим, а потому легко представим все подходящие по условию бритые лица и весьма довольного брадобрея. Но вот сторонники парадоксов в такой ситуации окажутся не у дел, ведь парадокса-то, получается, совсем нет!
Но на самом деле парадокс есть. Ведь не зря же математики всего мира озаботились кризисом!
Для выявления причины возникновения парадокса необходимо включить в уравнение его сторонников. Они скажут, что брадобрей же утверждал, что бреет тех, кто не бреет себя сам, а потому он не имеет права брить себя, ведь тогда он будет брить того, кто бреет себя сам и тем нарушит условие задачи. Тогда в терминах логики мы можем сказать, что утверждение «брадобрей бреет брадобрея» ложное по условиям задачи. Но в результате брадобрей должен быть включен в состав множества лиц, которые подлежат бритью брадобреем. И брить их всех должен именно брадобрей, ведь иначе тут же появятся сторонники парадоксов и напомнят нам про условия задачи.
Для большей наглядности сократим описание ситуации. Обозначим брадобрея буквой Б, отношение «бреет» пусть останется без изменений, оно и так короткое. Множество «все» так же можно не сокращать. Тогда в краткой записи получим:
1) ложно(Б бреет Б) значит Б принадлежит к «все»
2) Х бреет Б и Х=Б
Такая запись означает, что (первая строка) из того, что брадобрей не бреет брадобрея следует, что брадобрей принадлежит ко множеству «все». Вторая строчка говорит нам, что некий икс должен брить брадобрея и этот икс должен быть сам брадобрей.
Теперь выполним минимальные преобразования со второй строчкой — заменим в ней икс на Б, ведь по условию они равны, а так же обозначим истинность получившегося утверждения. Получим:
истинно(Б бреет Б)
Но из строки (1) имеем:
ложно(Б бреет Б)
И эти два условия (по требованию сторонников парадоксов) должны выполняться одновременно.
Так в чём же здесь зло? Как мы видели, до вмешательства сторонников парадоксов в деревне царил мир и порядок, все должные лица были бриты и брадобрей был доволен. А вот после вмешательства сторонников парадоксов мы получили требование одновременно истинности и ложности утверждения о том, что брадобрей бреет брадобрея. Говоря по другому — мы получили противоречивые требования. И конечно же, если требование противоречивы, то и решить задачу с такими требованиями невозможно. Как бы мы не выкручивались, как бы не изобретали новые и новые варианты ухода от парадокса, например заявляя, что брадобрей вообще не бреется и носит бороду, либо что брадобрей женщина и не имеет необходимости бриться, но сторонники парадоксов неуклонно возразят — этого в условиях задачи нет, значит всё должно быть именно так, как мы сказали. Но в результате подчинения строгости заявлений сторонников парадоксов мы получаем неразрешимую задачу.
После указания на противоречивость условий мы можем попробовать выделить ряд факторов, которые привели к ситуации, когда по сути глупые требования (а как ещё назвать требование одновременно бриться и не бриться?) были восприняты всерьёз очень и очень многими людьми.
Во первых, стоит указать на неявность противоречивых требований. Аналогичная задача, но с очевидным противоречием в условиях, была бы сразу отвергнута и никаких парадоксов бы никто не знал, но именно скрытый характер противоречивости ограничений привёл к многочисленным попыткам решения безнадёжной задачи. Например, задача найти число, которое одновременно больше нуля и меньше нуля, вряд ли привела бы к возникновению понятия парадокса, ведь в такой задаче всем очевиден противоречивый смысл требований. А вот в задаче про брадобрея неочевидность противоречивости ограничений потянула за собой значительные последствия. Поэтому в любом парадоксе в первую очередь следует искать неявные противоречия в ограничениях, накладываемых на решение задачи.
Во вторых, помимо неочевидности в подобных задачах присутствуют собственно противоречивые ограничения (которых на первый взгляд не видно). Здесь стоит подчеркнуть — именно ограничения на решение, а не что-то другое. То есть не предметная область, к которой относится задача, каким-то образом противоречива, и не язык, на котором излагается задача, но противоречия закладываются вне этих понятий и именно в виде ограничений на возможное решение. Поэтому следует всегда внимательно изучать ограничения на решение, пытаясь выявить в них возможные противоречия.
В третьих, противоречивые задачи обязательно включают искажающий реальность формализм. Жёсткое следование только лишь озвученным условиям, исключающее нахождение решений вне противоречивой области, есть очевидный признак, который следует внимательно искать и в других задачах, которые на первый взгляд и не выглядят парадоксально.
В остальном же в задаче про брадобрея мы видим свойственные именно ей особенности, которые могут и не повториться в других парадоксах. Но тем не менее, будет полезно указать и на них.
Во первых, для задачи про брадобрея характерно безапелляционное требование «брить всех», при этом не допускающее никаких исключений из правила «кто не бреется сам». Если бы в задаче не ставилось такое жёсткое ограничение на «брить всех», то брадобрея можно было бы легко исключить из опасного для задачи списка. Если бы в задаче не было ограничения на исключительно тех, кто не бреется сам, то опять брадобрей обошёлся бы нам лишь лёгким испугом вместо создания кризиса основ математики. Поэтому и в других задачах, где ставится жёсткое требование из разряда «всех таких и только таких элементов», стоит уделить внимание поиску внутренних противоречий в такой постановке.
Во вторых, брадобрей в задаче выступает особенной сущностью, отличающейся от всех остальных своим участием в бритье каждого, кого по условию положено брить. Без брадобрея система сущностей развалилась бы и не составила бы единой и осмысленной задачи. Но не смотря на такой особенный статус в системе сущностей и ограничений, сторонники парадоксов настаивают на едином отношении ко всем участникам процесса, не взирая на дополнительные ограничения, которые накладываются на брадобрея. Но именно особенный статус брадобрея и привёл к возникновению противоречия в требованиях, ведь помимо отношения «как ко всем», требующего, что бы брадобрей был побрит, к брадобрею предъявляются ещё и требования не бриться самому, а другие брадобреи исключаются в условии задачи. Поэтому в других задачах следует выявлять системообразующую функцию элементов, и в случае её наличия — тщательно проверять соотносимость требований «ко всем» и требований к данному элементу. Иначе легко получить очередное противоречие в требованиях.
Проблемы в остальных парадоксах
Пока мы пропустим парадокс множеств, поскольку он нам понадобится позднее в связи с проблемами теории множеств.
А сейчас посмотрим, где же кроется зло в парадоксе самоприменимости. На ряду с указанной ранее особенность в виде неявности противоречия в условиях здесь мы можем добавить ещё и свободу интерпретации смысла самоприменимости. То есть смысл отношения самоприменимости можно трактовать довольно широко, а потому в эти широкие зазоры легко может проскользнуть противоречие. Поэтому в данном случае была бы не лишней строгость определений. Но и завышать строгость до абсолюта тоже нельзя, иначе, как мы видели на примере брадобрея, противоречия станут следствием самой строгости.
Так же, как и в парадоксе брадобрея, в парадоксе самоприменимости мы имеем специальный элемент системы, выделяющийся среди остальных тем, что при его рассмотрении изменяется алгоритм работы системы. Для всех остальных слов нам достаточно понять, как область определения смысла слова соотносится с самим словом (то есть вычислить количество слогов или обратить внимание на язык, на котором написано слово), а вот для слова «несамоприменимо» мы имеем не вполне очевидную область определения, возможно совпадающую с самой системой, в которой производится оценка самоприменимости. То есть для слова «несамоприменимо» сама задача поясняет нам некий возможный смысл применимости, но пояснение это носит неявный и нестрогий характер.
Далее можно выяснить конкретные ограничения, которые противоречат друг другу именно для слова «несамоприменимо». Очевидно, что после получения любого ответа на вопрос о самоприменимости, сторонники парадоксов просто запускают алгоритм оценки ответа, который сравнивает ответ со смыслом слова «несамоприменимо» и выдаёт отрицание как в случае самоприменимости, так и в случае несамоприменимости. Алгоритм состоит в указании на смысл слова в ответ на решение о самоприменимости, и в указании на совпадение смыслов в случае ответа о несамоприменимости. При этом если для других слов можно было получить однозначный алгоритм, например, подсчёта количества слогов, то для слова «несамоприменимо» алгоритм выявления самоприменимости совершенно неочевиден. А в задаче требуется не только дать ответ о применимости, но и неявным образом найти алгоритм самоприменимости, только после применения которого возможен внятный ответ. Каков алгоритм самоприменимости для слова «несамоприменимо»?
Если принять, что такого алгоритма в природе не существует, то сразу становится очевидным, что такое слово несамоприменимо, но тогда потребуются как минимум один новый алгоритм, убеждающий сторонников парадоксов в необходимости игнорировать сходство ответа «несамоприменимо» со смыслом слова «несамоприменимо». И при создании такого нового алгоритма мы уже ступаем на зыбкую почву борьбы с неявно задаваемыми смыслами, которые сторонники парадоксов, несомненно будут трактовать исключительно в свою пользу. То есть потребуется создать алгоритм, строго доказывающий нечто в условиях наличия совершенно нестрогих правил, которые трактуются весьма произвольно. Как минимум, это очень сложная задача, чем и обеспечивается жизнеспособность парадокса — просто никто не хочет убивать время и нервы на достижение чего-то, что, вполне возможно, недостижимо.
Если же принять, что алгоритм самоприменимости существует, то опять же мы столкнёмся с жёсткой позицией сторонников парадоксов, требующих принять их опровержение в виде указания на противоречие смысла слова «несамоприменимо» наличию алгоритма его самоприменимости. И опять мы попадём в условия, когда нужно будет строго доказывать нечто, а ответ сторонников парадоксов по прежнему будет опираться на весьма нестрогие правила.
В целом для случая самоприменимости имеем удачное соответствие слова «несамоприменимо» как положительному, так и отрицательному ответу, позволяющее сторонникам парадоксов в обоих случаях отрицать аргументацию решающих задачу. То есть в руках сторонников парадоксов есть простой алгоритм, обеспечивающий ответ «неправильно» во всех возможных случаях. Альтернатива для пытающихся решить задачу состоит в поиске алгоритма, способного обойти расставленные сторонниками парадоксов препятствия. Поскольку поиск такого алгоритма представляется, как минимум, сложным, у сторонников парадоксов появляется очень серьёзное преимущество перед всеми, кто пытается решить такую задачу.
Для большей наглядности можно привести пример похожей задачи, но с очевидным большим отличием сложности позиции критика и позиции решающего. Вопрос — есть ли жизнь около звезды на противоположном конце вселенной? Очевидно, что строгое доказательство в данном случае несколько затруднено, в то время как позиция критика предполагает лишь простейшие сомнения в ответ на любое решение. При выдаче решения в виде «жизнь есть» критик заявит «докажи!», что очевидно непросто. При выдаче решения в виде «жизни нет» критик заявит «а вдруг есть?».
Очень похожая ситуация имеет место и для парадокса ложного высказывания. Здесь прямой смысл фразы противопоставляется любому ответу. Но в одном случае указывается на несовпадение смыслов, что принимается за доказательство ошибочности решения, а в другом случае указывается на совпадение смыслов, что опять принимается за доказательство ошибочности решения. То есть как и в парадоксе самоприменимости, выбрана удачная фраза, позволяющая строить простой алгоритм отрицания любого из двух возможных ответов. При этом алгоритм доказательства правильности решения опять выглядит несопоставимо сложным по сравнению с отсутствующей сложностью на стороне сторонников парадоксов.
Можно свести к минимуму предыдущий парадокс, задав вопрос — истинна ли ложь? Для такой постановки по прежнему нет проблем со стороны сторонников парадоксов, и по прежнему непонятно как аргументировать расплывчатое понимание бессмысленной по своей сути фразы. Бессмысленность не даёт возможности возражать сторонникам парадоксов аргументированно, но их самих такая бессмысленность вполне устраивает, ибо она ими трактуется формально, как некие условия задачи, которая совершенно не обязана иметь хоть какой-то смысл. Но именно такой отстранённый от реальности подход, как мы видим, легко приводит к противоречиям типа отрицательного ответа в любом случае. А неявность противоречий позволяет сторонникам парадоксов настаивать на своём. Если мы можем доказать, что чисел одновременно больших и меньших нуля не бывает, то в случаях с удачно составленными фразами не имеющими смысла, доказательство противоречивости нетривиально (ведь если нет смысла, то что доказывать?), а потому в таких случаях сложно выявить противоречия в ограничениях на решение, что в свою очередь ведёт к наличию почвы для прорастания очередных парадоксов. Именно поэтому ещё раз стоит подчеркнуть возможность ухода формальных рассуждений в сторону бессмысленного, а потому чреватого парадоксами, что опять может поколебать в том числе такие строгие науки, как математика.
Проблемы теории множеств
Чем парадоксы опасны для математики? Очень просто — если некая формальная теория позволяет вывести противоречивые результаты, то это означает, что такая теория позволяет вывести абсолютно всё. Другими словами — такая теория даст нам возможность вывести любую глупость. Поэтому стоит тщательно следить за отсутствием противоречий в используемых теориях. Но как избежать противоречий в теориях?
Сначала была, так называемая, наивная теория множеств. В этой теории рассуждения о множествах оформлялись в виде предложений на естественном языке (изначально на немецком), но как мы видели немного выше, рассуждениям на естественном языке свойственен уход иногда в противоречивую сторону, а иногда и просто в бессмысленную. Но неочевидность такого поворота мешает даже весьма продвинутым умам вовремя рассмотреть опасность. Поэтому создатель теории множеств Георг Кантор пропустил ряд подобных моментов, когда потребности его теории подсказали ему вроде бы простой, но не до конца обдуманный способ их удовлетворения. Так само наличие возможности представить всё что угодно позволяет нам представить бесконечное множество чисел, но как мы видели немного выше, за таким представлением могут последовать парадоксы. Другая потребность — в конструировании множеств математическим путём — так же привела к аналогу парадокса множеств, но уже записанному в математических терминах.
Вспомним парадокс множеств — можно ли включить во множество всех множеств, не включающих самих себя, само это множество? Здесь, как было показано на примере парадокса брадобрея, имеем системообразующий объект (множество множеств) и ограничение по использованию такого объекта «на общих основаниях» не отменяющее дополнительных ограничений, налагаемых на объект из-за его системообразующей роли. В результате, теперь нам это очевидно, после небольших преобразований системы ограничений мы получим требование одновременно принадлежности множества самому себе и запрета на принадлежность самому себе. Такое противоречие в ограничениях, естественно, ведёт к парадоксу, то есть к неразрешимости поставленной задачи в рамках заданных ограничений. Но сама постановка подобной задачи при создании теории множеств оказалась совершенно вне поля зрения создателя теории.
Кантор (создатель теории множеств) не смог преодолеть этот барьер, но поскольку тогда в математике была очень актуальна тема её обоснования, теория Кантора пришлась кстати именно для такой роли, а потому её всё же попытались развивать, но немного по другому.
Математики увидели причину возникновения парадоксов в недостаточно строгом определении теории, что позволяло некоторые вольности, которые, как мы видели, могут привести к полной бессмысленности некоторых определений. Но поскольку одной строгости отнюдь не достаточно для устранения парадоксов (именно поэтому выше приведен гораздо более обширный список признаков потенциальных проблем) математики вскоре даже в строгом изложении теории нашли парадокс.
Для формирования множеств математики предложили использовать набор функций, возвращающих истину если элемент принадлежит множеству и ложь, если элемент не принадлежит множеству. То есть был создан математический фильтр, который работал очень просто — все элементы, которые через него прошли, включались в новое множество. Таким образом можно было строгим математическим путём конструировать любые множества. Сама идея очень проста и, естественно, вполне работоспособна, точно так же, как работоспособно бесконечное количество фильтров в технике и, особенно (в чистом виде, очень близком к теории множеств), в информационных технологиях. Но вот её строгая реализация оказалась не такой простой.
Для фильтрации была предложен следующая формула:
Здесь значки 
и 
обозначают «существует такой» и «для всех», что в сочетании с названием переменной (х или у) даёт ограничение на следующую за знаком формулу. На обычном языке это означает, что существует такой у, для которого истинной является формула, в которой для любого х является истинной формула, которая отделена скобками. В скобках же мы видим значок 
, обозначающий принадлежность х ко множеству у, а затем знак эквивалентности, который объявляет принадлежность х множеству у эквивалентным выполнению логической функции Р(х) (её называют высказывательная функция или предикат). В целом формула в скобках утверждает, что если элемент х прошёл фильтрацию в функции Р(х), то он принадлежит множеству у, и наоборот — принадлежащие у элементы удовлетворяют Р(х). Вся формула читается так — существует множество у, для которого при любом х выполняется такое ограничение, что если х отфильтрован функцией Р(х), то он принадлежит множеству у.
Теперь обратим внимание на наличие разницы между изначальной идеей фильтрации и её оформлением в виде формулы. В формуле хоть и ограничен произвол, присутствующий в неформально заданном фильтре, но всё же совершена та же ошибка, которая привела к парадоксу брадобрея.
В формуле все без исключения элементы х трактуются одинаково. Но в выше приведённых парадоксах мы видели, что такая трактовка всех «под одну гребёнку» является причиной возникновения парадоксов. В результате быстро был найден контр-пример, показывающий противоречивость такой формулы. Поскольку в формуле нет ограничений на значения х, то ничто нам не мешает подставить вместо него у, а вместо фильтрующей функции подставить 
. Здесь знак 
обозначает логическое отрицание. Тогда после всех замен получим:
То есть отрицание принадлежности оказалось эквивалентным принадлежности. Правда в строгом виде необходимо вывести две такие формулы, что бы одна была отрицанием другой, но мы оставим это упражнение математикам, ведь для нас смысл понятен и так. Здесь мы видим, что трактовка всех элементов х, как подчиняющихся общим требованиям, привела к противоречию при подстановке вместо х системообразующего элемента у, что уже было ранее показано для других парадоксов.
В результате математикам пришлось исправляться. Но исправили они ситуацию следующим образом (знак 
означает логическое И):
То есть в предыдущую формулу добавлено множество а, которое дополнительно ограничивает допустимые для включения в у элементы. Идея была правильной — если брать для нового множества только те элементы, которые входят во множество допустимых параметров Р(х), тогда мы получаем возможность исключить попадание в набор системообразующего элемента у. Но получилось ли в результате устранить парадоксы?
Как и в прежнем варианте мы имеем полную свободу для переменных а и х, а это, если мы вспомним признаки парадоксов, весьма опасное ослабление ограничений. Такая свобода в показанных выше случаях приводила к возможности в одной фразе или формуле задать два противоречащих друг другу ограничения. Кроме того, системообразующий элемент у в новой формуле опять трактуется наравне со всеми, поскольку всё ещё допустима подстановка у вместо х. Поэтому есть теоретическая возможность задать такую формулу Р(х), которая противоречила бы остальным конструкциям общей формулы, что и может привести к противоречию.
Но мы не будем искать такую подстановку, а просто дадим оценку возможных вариантов любых подстановок в новую формулу. Для этого сначала рассмотрим вариант, когда а равно пустому множеству, тогда 
невыполнимо и для достижения эквивалентности придётся выбрать у, для которого невыполнимо 
. Таким значением у может быть пустое множество. То есть при таких подстановках формула не содержит противоречий. Но поскольку а может быть любым, нам нужно проверить что будет, если а будет непустым множеством. Тогда всё будет зависеть от возможности подобрать такой у, что бы при любом х и любой Р(х) формула оставалась истинной. Здесь стоит заметить, что такая формула в теории множеств принята в качестве аксиомы, а потому её ложность при некоторых подстановках станет несколько неудобным моментом для всей теории.
При заданном непустом множестве а множество у может принимать следующие значения:
1) пустое множество
2) непустое множество:
2.1) не пересекающееся с а
2.2) пересекающееся с а:
2.2.1) включающее дополнительные к пересечению элементы:
2.2.1.1) пересечение меньше а
2.2.1.2) пересечение равно а
2.2.2) не включающее дополнительные к пересечению элементы:
2.2.2.1) пересечение меньше а
2.2.2.2) пересечение равно а
Ниже приведены ограничения на х и значения Р(х), при которых аксиома становится ложной. Здесь 
— логическое и, 
— логическое или.
1) 
2.1) 
2.2.1.1) 
2.2.1.2) 
2.2.2.1) 
2.2.2.2) 
Как мы видим, в случае, если а содержит какие-либо элементы, нет ни одного варианта подстановки у, для которого нельзя указать такие х и/или Р(х), что бы аксиома всегда была истинной.
Какой вывод можно сделать из такого результата? На личный взгляд автора этого текста вывод мог бы быть таким — при переводе здравой идеи о применении фильтра на сухой язык формул была допущена ошибка в виде потери связи с реальностью, или же говоря по другому, не все свойства изначальной системы были выявлены и формализованы подобающим образом. Ну а признавать выводы или отвергать, конечно же, выбирать читателю. Ну а читатель теперь уже точно в курсе, как самостоятельно разобраться в подобных вопросах.
Автор: user_man
