Фрактальное самоподобие Вселенной и бесконечная вложенность материи – правда или миф?

«Реальность имеет свои пределы; мир воображения – безграничен» (Жан-Жак Руссо)

«Всякий раз, когда ломаешь кирпич, видишь только его поверхность. А то, что у кирпича есть что-то внутри, – всего лишь теория, которая помогает нам лучше понять природу вещей» (Ричард Фейнман)

«Изучая загадочные свойства чёрных дыр, физики вывели абсолютные пределы того, сколько информации может содержать область пространства или количество материи и энергии. Связанные результаты предполагают, что наша вселенная, которую мы воспринимаем как имеющую три пространственных измерения, вместо этого может быть «написана» на двумерной поверхности, как голограмма. Наше повседневное восприятие мира как трёхмерного тогда было бы либо глубокой иллюзией, либо просто одним из двух альтернативных способов видения реальности» (Яков Бекенштейн)

В наши дни вряд ли найдется человек, который не созерцал залипательные изображения, гифки или видео с фракталами. Они завораживают своей красотой, гармоничными пропорциями и масштабной инвариантностью – сохранением узнаваемой формы при отдалении и приближении. В эзотерической литературе довольно часто можно встретить утверждение, что всё в природе имеет фрактальную структуру, а значит, за этим стоит универсальный принцип всеединства и великого фрактального подобия. Или же существует некий глубинный уровень реальности, а то, что мы видим – лишь отражение мира идей, фрактальная голограмма. Тут же обязательно вспоминают золотое сечение, герметическую формулу «как вверху, так и внизу», мысли античных философов о подобии микрокосма и макрокосма, сходство нейронных связей мозга с паутиной галактических скоплений и т.д. И каждый, кто не поленится сравнить компьютерные модели фракталов с реальными контурами береговых линий или кронами деревьев, невольно начинает верить в сакральную геометрию, высшую гармонию природы и бесконечное самоподобие космоса. Мы же подойдём к вопросу более трезво и выясним, что из этого является правдой, а что – мифами. Голографическую парадигму я уже разбирал в предыдущей статье «Вселенная – голограмма?», а теперь пришла очередь демистифицировать фракталы.

Бесконечная вложенность материи

Когда-то среди философов и учёных была популярна идея бесконечной вложенности миров, которая противопоставлялась атомизму – учению о существовании неделимых частиц материи. Древнегреческий философ Анаксагор ещё в V веке до н.э. утверждал, что в каждой мельчайшей частице нашего мира «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас». На аксиоме о бесконечной делимости пространства строил свои апории Зенон, она была фундаментом онтологии Аристотеля, Декарта и Лейбница. Последний в своей книге «Монадология» писал следующее:

«66. … в наималейшей части материи существует целый мир творений, живых существ, животных, энтелехий, душ.

67. Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд.

68. И хотя земля и воздух, находящиеся между растениями в саду, или вода — между рыбами в пруду не есть растение или рыба, но они все-таки опять заключают в себе рыб и растения, хотя в большинстве случаев последние бывают так малы, что неуловимы для нашего восприятия».

Также можно вспомнить знаменитые строки Уильяма Блэйка:

«Увидеть мир в одной песчинке
И космос весь – в лесной травинке,
Вместить в ладони бесконечность
И в миге мимолётном вечность…»

И не менее известные строки Валерия Брюсова:

«Быть может, эти электроны
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!
Ещё, быть может, каждый атом —
Вселенная, где сто планет;
Там — всё, что здесь, в объёме сжатом,
Но также то, чего здесь нет»

В начале XX века шведский астроном Карл Шалье, опираясь на работы немецкого физика XVIII века Иоганна Ламберта, пытался создать многоуровневую масштабно-иерархическую модель Вселенной и объяснить с её помощью фотометрический парадокс. В его теории отдельные звёзды образуют галактику первого порядка, совокупность галактик первого порядка образует галактику второго порядка и т. д. до бесконечности. Но наиболее подробно данную гипотезу развил ирландский философ Фурнье Д’Альба в своей работе «Два новых мира: Инфрамир и супрамир» (1907). Он распространил масштабную иерархию как вовнутрь материи в сторону уменьшения, так и за пределы космологического горизонта в сторону увеличения. В его представлении звёзды нашего уровня иерархии являются атомами для мира уровнем выше (супрамира), и наоборот, атомы нашего мира – это звёзды для инфрамира. Соотношение их пространственных размеров Фурнье Д’Альба выразил числом 10²², применив соответствующую масштабную шкалу и для времени. Получилось, что одна секунда в нашем мире равна сотням триллионов лет в инфрамире, а одна секунда в супрамире составляет сотни триллионов земных лет. Есть даже гипотеза, что материя масштабно замкнута сама на себя – если бесконечно двигаться внутрь в инфрамир, рано или поздно можно прийти снаружи в супрамир.

Во 2-й половине XX века благодаря развитию вычислительной техники идея бесконечной вложенности миров получила новое название – фрактальная Вселенная. Её суть можно выразить словами мистика Эдгара Кейси: «...внутри своей структуры каждый атом, каждая частичка обладает всей формой Вселенной». Ещё короче гипотезу сформулировал Владилен Барашенков в названии своей научно-популярной книги «Вселенная в электроне» (1988). Ну и конечно же нельзя не процитировать классика русской философской мысли:

Фрактальная геометрия

Первым открытым фракталом считается множество Кантора, описанное математиком Георгом Кантором в 1883 г. Это просто отрезок, который делят на три равные части, вынимают среднюю часть и проделывают то же самое с двумя оставшимися отрезками. В 1904 г. швед Хельге фон Кох открыл кривую Коха, при построении которой средняя часть отрезка заменяется равносторонним треугольником без нижней грани. Её замкнутая версия называется снежинкой Коха. Она интересна тем, что это линия бесконечной длины, заключённая в ограниченную площадь. Кривая Коха положила начало семейству конструктивных (геометрических) фракталов, таких как С-кривая Леви, дерево Пифагора или драконы Хейтуэя-Хартера. Более сложные динамические (алгебраические) фракталы были изобретены французскими математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату в 1918 г. Их работы оставались мало кому известными, пока не появились компьютеры, способные наглядно визуализировать такие конструкции. Речь идёт о множествах Жюлиа и Мандельброта, которые по мере приближения имеют повторяющиеся паттерны.

Исследования фракталов в реальной жизни впервые провёл в 1951 г. Льюис Ричардсон, пытаясь понять, почему Португалия заявила, что её сухопутная граница с Испанией равна 987 км, а Испания определила её равной 1214 км. Он пришёл к выводу, что чем меньше берётся масштаб, тем длиннее получается граница, поскольку при увеличении появляются всё новые и новые изгибы линии. В итоге длина границы стремиться к бесконечности, хотя и существует точный предел измерения. Это назвали «парадоксом береговой линии». Работа Ричардсона была опубликована только в 1961 г., уже после его смерти, и на неё никто не обратил внимания, пока в 1967 г. математик Бенуа Мандельброт не опубликовал статью "Какова длина побережья Великобритании?", в которой объяснил, что для объектов неправильной формы вроде побережья понятие длины вообще не имеет смысла. Он же предложил термин «фрактал» (от лат. fractus — «изломанный») для описания иерархических самоподобных множеств и открыл фракталы широкой публике, написав в 1977 г. книгу «Фрактальная геометрия природы».

Бенуа Мандельброт происходил из семьи польских евреев, которые перед началом Второй мировой войны бежали во Францию, а оттуда – в США. В 1958 г. он устроился на работу в научный центр Томаса Уотсона при компании IBM в Нью-Йорке, где занялся теоретическими исследованиями. В 1979 г., изучая колебания цен на хлопок, Мандельброт запустил на компьютере исключительно простое и короткое уравнение. Но это уравнение было итерационным: его нужно было решить миллионы раз, подставляя полученный ответ в исходное условие. Бенуа решил графически изобразить своё уравнение и выполнить те же итерационные вычисления для каждого пикселя на экране компьютера. Если число непрерывно уменьшалось и стремилось к нулю – учёный закрашивал пиксель чёрным, если число возрастало и устремлялось к бесконечности – пиксель раскрашивался в разные цвета в зависимости от того, как быстро оно увеличивалось. Когда уравнение заняло весь экран, на нём вырисовалась чёрная клякса в форме сердца с пёстрой бахромой по краям – то самое множество Мандельброта. И когда Бенуа принялся разглядывать его границы, приближая изображение, там стали обнаруживаться всё новые и новые детали: свёрнутые спирали наподобие морских коньков или слоновьих хоботов, ответвления в виде веток папоротника и миниатюрные «зародыши» исходной большой фигуры. Погружаясь в своё множество всё глубже и глубже, Мандельброт обнаружил, что все его элементы похожи друг на друга, но не идентичны, и на каждом масштабе образуют новый узор.

По определению Мандельброта, «фрактал — это математическое множество или конкретный объект, который является нерегулярным или фрагментированным во всех масштабах…». В популярном представлении фрактальность ассоциируется с самоподобием, когда целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей. Но самоподобие не является обязательный свойством фрактала, в отличие от дробной размерности. Большинство фракталов не самоподобны, а скорее шероховаты, как говорил Мандельброт. Сколько бы мы не приближали динамический фрактал, он остаётся бесконечно сложным и при этом нигде в точности не повторяется. Однако алгоритмическая и вычислительная сложность фрактала очень низкая. Чтобы построить фрактал, вам достаточно задать компьютерной программе короткую рекурсивную функцию, то есть функцию, обращающуюся к себе самой. То, что кажется сложнейшим произведением искусства, на самом деле можно выразить всего несколькими символами. И в этом заключается суть фрактала – вместить бесконечность в заданные рамки. Например, для множества Мандельброта каждый новый член – это предыдущий член, возведённый в квадрат, плюс исходное комплексное число, с которого начинается последовательность:
n,
n² + n,
(n² + n)² + n,
((n² + n)² + n)² + n,
и т.д.

На комплексной плоскости, где ось x — действительная, а ось y — мнимая, это можно изобразить в виде следующей диаграммы:

Говорят, множество Мандельброта включает в себя число Пи, последовательность Фибоначчи, множество Жюлиа и вообще всю полноту бытия. Но определение границы фрактала – невычислимая функция, так что рассчитывать его длину компьютер будет вечно. Центральная фигура множества Мандельброта называется кардиоидой. Кому-то она напоминает сердце, кому-то – луковицу, а кому-то пятую точку. По мере погружения в психоделические дебри Мандельброта можно увидеть структуры, подозрительно напоминающие знакомые нам природные объекты. Им даже собственные названия дают: «Долина морских коньков», «голова», «тело» и «хвост» морского конька, «спутник» с «антеннами», «медузы», «циклон», «остров Жюлиа», «долина вилок», «луна», «солнце» и т.д. Есть особое представление множества, похожее на сидящего в позе Лотоса Будду – «Буддаброт». Трёхмерный аналог множества Мандельброта называется оболочкой Мандельброта или «Мандельбульбой».

Фрактал – геометрическая фигура, застрявшая между измерениями. Он лежит на грани между точкой и линией, между линией и плоскостью или между плоскостью и объёмом, то есть имеет дробную метрическую размерность. Например, снежинка Коха имеет размерность 1,26 и бесконечный периметр при ограниченной площади, кривая Пеано проходит через все точки квадрата конечной площади, треугольник Серпинского заполняет конечную площадь бесконечным числом копий самого себя, а губка Менгера обладает бесконечной площадью граней при нулевом объёме. Но всё это – абстрактные математические конструкции. А как бы они выглядели в физическом воплощении? С одной стороны, есть много примеров фрактальных структур в природе: кроны деревьев, зигзаги молний, снежинки и морозные узоры на стёклах, горные хребты, угольная сажа, бронхи, береговые линии, контуры облаков и т.д. С другой стороны, если что-либо разделить на бесконечное количество частей, они займут бесконечное количество мест и бесконечно малый объём – это будет объект с нулевой плотностью, невозможный с точки зрения физики. Так есть ли место фракталам в современной физической картине мира, или это просто абстрактные математические модели?

Пределы делимости материи

Идея фрактальной вселенной основана на предположении о бесконечной делимости пространства и материи. Она была актуальна в начале XX в. в контексте планетарной модели атома с ядром-солнцем и вращающимися вокруг него электронами-планетами. Некоторые философы поняли эту аналогию буквально и задумались, а не является ли наша Солнечная система таким же атомом для мега-вселенной уровнем выше? Поскольку наблюдаемая вселенная тогда ограничивалась галактикой Млечный путь, состоящей из отдельных звёздных систем, предположение звучало вполне разумно: звёзды и планеты состоят из атомов, атомы состоят из звёзд и планет, и так до бесконечности. Но в 1920-е гг. квантовая механика со своим принципом неопределённости размыла электронные орбитали и разделила атомное ядро на нуклоны и кварки, а Эдвин Хаббл выяснил, что в наблюдаемой вселенной множество галактик, которые к тому же удаляются от нашей. Что не помешало представлять уже электроны и кварки как микро-вселенные, а галактики или всю видимую Метагалактику – как макро-частицы. Но как это проверить?

На сегодняшний день наименьшие частицы вещества, доступные для наблюдения при помощи измерительных приборов – протон и нейтрон – имеют размеры порядка 10^-16 м3. Они состоят из ещё меньших кварков, но те в свободном виде не существуют – в лучшем случае на коллайдерах получается создать кварк-глюонную плазму. Элементарные частицы вроде электрона, нейтрино или кварков считаются точечными объектами, но на практике при их измерении учитывается комптоновская длина волны – отношение постоянной Планка к массе частицы, умноженной на скорость света. Это длина волны отражённого фотона, меньше которой невозможна дальнейшая локализация частицы без нарушения принципа неопределённости Гейзенберга. Для электрона она составляет 2,43*10^-12 м, для верхнего кварка – порядка 10^-16 м, для нижнего кварка – 4,71*10^-17 м, для электронного нейтрино – 6,89*10^-19 м. Большой адронный коллайдер (БАК) позволяет изучать частицы размером до 10^-19 м, что эквивалентно примерно 1/1000 диаметра протона. Чтобы обнаружить частицы ещё меньше, нужно строить ещё более мощные коллайдеры в сотни км длиной. Но есть менее затратный способ познавать микромир – теоретические расчёты.

Главный вопрос, который нам следует задать: существуют ли ограничения диапазона частот и длин волн? В классической физике конца XIX века длина волны электромагнитного излучения могла быть какой угодно, ведь считалось, что свет распространяется в непрерывной среде – эфире. Но затем возникла проблема ультрафиолетовой катастрофы: если волну можно бесконечно дробить, то по мере сокращения её длины спектральная плотность энергии излучения экспоненциально растёт. Получалось, что всю энергию излучения абсолютно чёрного тела забирали высокочастотные волны, и достижение теплового равновесия было невозможно, что противоречило второму началу термодинамики. Парадокс разрешил в 1900 г. немецкий физик Макс Планк. Он вывел формулу спектральной плотности излучения, которая не приводила к ультрафиолетовой катастрофе, но требовала введения новой фундаментальной константы – кванта действия, или постоянной Планка (h). Так была открыта основная идея квантовой механики: энергия может принимать только дискретные (квантовые) значения.

Ещё одна заслуга Макса Планка состоит в том, что он додумался привязать систему измерений к фундаментальным константам. Как известно, используемые в Международной системе единиц СИ метры, секунды и килограммы придуманы нами для облегчения повседневных расчётов, но они антропоцентричны и не удобны в микроскопических масштабах. Поэтому в 1901 г. Макс Планк решил «…установить единицы длины, массы, времени и температуры, независимые от особых тел или веществ, обязательно сохраняющие своё значение на все времена и для всех цивилизаций, включая внеземные и нечеловеческие, которые можно называть «естественными единицами измерения».

Он предложил приравнять к единице следующие константы: c (скорость света), G (гравитационная постоянная), ℏ (постоянная Планка, делённая на 2π) и k (постоянная Больцмана). Так была вычислена новая единица измерения пространства – планковская длина, которая по формуле l_P = √ħG/c³ равна 1,616255(18)х10^-35 м. Для сравнения, средний радиус атома составляет порядка 10^-10 м, а радиус электрона – 2,4*10^-12 м. То есть планковская длина на 20 порядков меньше длины, доступной для изучения современными приборами. Соответствующий ей отрезок времени – это планковское время, за которое частица без массы покоя (фотон) преодолеет планковскую длину со скоростью света: t_P = √ħG/c⁵ Его значение – 5,391247(60)*10^-44 с. На сегодняшний день нам неизвестны процессы, протекающие за столь короткое время. Самый короткий промежуток времени, подтверждённый экспериментально (задержка фотоэмиссии электронов у двух соседних атомов одной молекулы водорода) – 247 зептосекунд (порядка 10^-19 с), что на 25 порядков больше планковского времени. Он относится к секунде так же, как секунда относится к четырём возрастам Вселенной.

Теперь давайте выясним, является ли планковская длина минимально возможной длиной волны. Для этого нужно рассчитать массу частицы, у которой комптоновская длина волны будет равна планковской длине. Не углубляясь в теоретическую физику, достаточно вспомнить из школьной программы, что длина волны обратно пропорциональна частоте. Чем выше частота, тем больше энергия излучения (E=hv), а энергия эквивалентна массе, как мы знаем из формулы Эйнштейна E=mc². Отсюда следует другое известное равенство hv=mc², за которое Луи де Бройль в 1929 г. получил Нобелевскую премию по физике. Так вот, при планковской длине волны масса частицы будет равна ещё одной фундаментальной единице – планковской массе – 2,176434(24)*10^-8 кг. Считается, что это верхний предел для массы элементарной частицы и нижний предел для массы чёрной дыры. В отличие от других планковских величин, планковская масса находится в пределах постижимости нашим разумом: примерно столько весит мелкая песчинка, некоторые виды планктона, личинка комара, блошиное яйцо, нематода, человеческая яйцеклетка, короткий волос или дневная норма витамина Д. Всё, что легче, коллапсировать в чёрную дыру не может.

В 1966 г. академик Моисей Марков назвал гипотетическую частицу планковской массы максимоном. Гравитационный радиус у неё чуть меньше комптоновской длины волны, а значит, любая частица меньших размеров сколлапсирует в микроскопическую чёрную дыру. Для этого ей даже не нужно обладать большой массой покоя – достаточно сконцентрировать на частице интенсивный поток фотонов, и они образуют горизонт событий. А чёрную дыру уже невозможно разделить на части – если добавлять ещё энергии, горизонт событий будет только увеличиваться. Максимон теоретически должен иметь массу 1,22*10²⁸ эВ, что соответствует планковской длине волны и частоте 10⁴³ Гц. Он находится ровно на границе между элементарными частицами, длина волны которых больше их гравитационного радиуса, и чёрными дырами, длина волны которых меньше гравитационного радиуса. Таким образом, если микроскопические вселенные и существуют, их следует искать не в элементарных частицах, а в чёрных дырах.

Пределы наблюдаемой вселенной. Фрактальная космология

А какова максимальная длина волны? Здесь всё очень просто. Даже если Вселенная бесконечна в пространстве, она конечна во времени, а значит, у неё есть космологический горизонт событий. Поэтому наибольшая возможная длина волны равна диаметру наблюдаемой Вселенной, который составляет 94 млрд. св. лет. Такую длину имеют последние отблески света от далёких галактик, излучивших этот свет 13.5 млрд лет назад и сейчас удаляющихся от нас со скоростью гораздо выше скорости света. Когда длина волны превышает размеры наблюдаемой Вселенной, галактика уходит за наш космологический горизонт, и мы уже никогда её не увидим. Протяжённостью в миллиарды св. лет также могут обладать первичные гравитационные волны – эхо Большого взрыва на полотне самого пространства-времени, но они пока ещё не обнаружены. Волны большей длины просто не успели бы возникнуть за время существования Вселенной, а если бы и успели, мы бы не смогли их зафиксировать. Никакие взаимодействия между объектами на расстоянии больше 47 млрд. св. лет невозможны, как невозможны взаимодействия между частицами, находящимися по разные стороны горизонта событий чёрной дыры. Однако мы с Земли можем наблюдать объекты по разные стороны небесной сферы, удалённые друг от друга на 94 млрд св. лет.

Изучением Вселенной на самых больших доступных наблюдению масштабах и экстраполяцией этих данных на области пространства-времени и масштабы, недоступные наблюдению, занимается космология. В её основу положен космологический принцип, согласно которому вселенная однородна и изотропна – у нас нет никаких оснований полагать, что из какой-то другой точки она выглядит иначе, чем с планеты Земля. В противном случае пришлось бы объяснять, почему в разных регионах вселенной действуют разные законы физики, и почему наши законы физики тщательно это скрывают, создавая иллюзию однородной и изотропной вселенной. Поэтому гипотезы, отрицающие космологический принцип, считаются маргинальными. Одной из них является фрактальная космология, предполагающая, что на больших масштабах вселенная имеет дробную размерность (меньше 3). Согласно этой модели, пространство Вселенной бесконечно, а масса распределена в нём по принципу самоподобных структур. В качестве аргумента в пользу фрактальной космологии приводится тот факт, что плотность Вселенной по мере уменьшения масштаба стремится к нулю: у Солнца она составляет 1,4 г/см3, у Солнечной системы – 10^–12 г/см3, у галактики – 10^–24 г/см3, а у Метагалактики – 2*10^–31 г/см3.

Наблюдения говорят о том, что Вселенная не является фракталом. Она имеет масштаб однородности порядка 300 мегапарсек – всё, что больше этого предела, выглядит одинаково на любом участке неба. Существуют неоднородности вроде Великого аттрактора, великих стен или супервойдов, но это скорее статистические отклонения, а в среднем структуры крупнее сверхскоплений галактик не образуются, потому что гравитация на таких масштабах слабее тёмной энергии. Нижний предел масштабов самоподобия составляет примерно 5 мегапарсек, что соответствует галактическим скоплениям – здесь уже на первый план выходит гравитационное взаимодействие отдельных галактик. Но в масштабах от 5 до 300 мегапарсек структура Вселенной обладает некоторыми фрактальными свойствами, что проявляется в форме скоплений галактик и распределении межгалактического газа в пустотах между нитями паутины галактических скоплений. Например, внутри галактического гало из тёмной материи можно обнаружить субгало, а внутри него – суб-субгало, и т.д.

Пределы пространства-времени

В статье «Философия и физика времени» я объяснял, что пространство-время в современной физике считается непрерывным континуумом. Это значит, что оно бесконечно делимое: любая область пространства, какой бы маленькой она ни была, может быть разделена ещё больше, и любой промежуток времени можно разделить на ещё меньшие промежутки. Но на планковских масштабах перестают работать все известные нам законы физики, включая Стандартную модель и общую теорию относительности. Эти теории предсказывает образование квантовой пены, состоящей из «виртуальных» чёрных дыр и червоточин. Для измерения объекта планковской длины потребуется частица с планковской энергией, примерно в четыре квадриллиона раз большей, чем ей способен придать Большой адронный коллайдер. Ситуацию осложняет тот факт, что сила гравитации на 42 порядка слабее силы электромагнетизма – в масштабах элементарных частиц она просто ничтожна, и даже в космосе для обнаружения гравитона потребовались бы экстремальные условия – например, детекторы размером с Юпитер, вращающиеся вокруг нейтронной звезды.

Поскольку актуальные физические теории не могут описать материальные объекты меньше планковской длины и процессы короче планковского времени, можно подумать, что эти единицы являются элементарными «квантами» пространства-времени. Однако не всё так просто. Ранее мы выяснили, что за планковское время свет проходит в вакууме планковскую длину. Но как быть с объектами, которые движутся на досветовой скорости? Если пространство-время дискретно, такой объект не успеет пройти планковскую длину за планковское время, или наоборот – пройдёт за планковское время расстояние, меньшее планковской длины. Здесь мы сталкиваемся с дихотомией и другими апориями Зенона. Отчасти парадокс устраняют принцип неопределённости и горизонт событий чёрной дыры, образующейся при любой попытке познать меньшие масштабы.

Окончательно решить эту проблему должна теория квантовой гравитации, которая объединит квантовую и релятивистскую физику. Однако попытки квантовать пространство-время приводят к противоречию со специальной теорией относительности, в которой по мере приближения к скорости света длина сокращается, в пределе – до сжатия в точку, когда скорость света достигнута. Поскольку в планковской системе единиц гравитационная постоянная является размерной величиной, теория квантовой гравитации остаётся неперенормируемой, как другие взаимодействия в квантовой теории поля. А в КТП ненормируемые состояния непрерывного спектра не могут быть реализованы в силу того, что суммарная вероятность всех исходов не должна превышать единицу. По мере приближения к энергии Планка увеличивается и сила гравитации между частицами, в результате чего количество гравитационных поправок становится бесконечным – квантовая теория поля становится бесполезной. Если же начинать с ОТО, по мере приближения к массе Планка вступают в силу квантовые поправки, опять же сводящие на нет теорию гравитации.

Наиболее перспективными кандидатами на роль «теории всего» являются теория струн и теория петлевой квантовой гравитации. Последняя исходит из утверждения, что пространство-время дискретно и состоит из «петель», тогда как в струнной М-теории мельчайшими компонентами являются одномерные струны, которые наматываются на дополнительные свёрнутые размерности и образуют многомерные браны. В теории причинной динамической триангуляции (ПДТ) пространство-время имеет фрактальную структуру на планковских масштабах, но это означает не бесконечное самоподобие, а дробную размерность, которая меняется со временем. Предполагается, что пространство-время двумерно на самых малых масштабах и постепенно становится четырёхмерным на больших масштабах. Также существует теоретическая модель фридмона – частицы массой порядка 10^-5 г, внутренние размеры и масса которой могут превосходить внешние во много раз за счёт эффектов искривления пространства. Но существование таких частиц считается невозможным из-за их нестабильности

Поиски элементарных единиц пространства активно велись лет 50 назад, но в середине 90-х гг. физики поняли, что нужно искать не трёхмерные «воксели», а двумерные «пиксели». В статье "Термодинамика чёрных дыр" я уже писал о голографическом принципе, согласно которому всю информацию (энтропию), заключённую в неком объёме пространства, можно выразить в ячейках площадью порядка 10^-66 м3 на границе этого объёма (например, на горизонте событий чёрной дыры). Из формулы энтропии чёрной дыры Бекенштейна-Хокинга следует, что для любой физической системы заданного объёма существует максимум плотности информации (энтропии) о состояниях всех частиц материи в этом объёме – предел Бекенштейна. При достижении этого предела объект коллапсирует в чёрную дыру, и в дальнейшем будет расти уже не плотность, а площадь горизонта событий. Голографический принцип вместе с обобщённым вторым законом термодинамики Бекенштейна исключают возможность бесконечной делимости материи, поскольку в таком случае каждая частица обладала бы бесконечным числом степеней свободы и как следствие бесконечной информационной ёмкостью.

Если двумерная поверхность состоит из конечного числа планковских «пикселей», то логично предположить, что у нашего трёхмерного пространства должны быть свои «воксели», число которых пропорционально энтропии чёрной дыры соответствующего объёма. Зная площадь поверхности и объём наблюдаемой вселенной, можно вычислить количество двумерных планковских ячеек на космологическом горизонте и размер минимальной «гранулы» пространства-времени. Проведя расчёты, директор Центра астрофизических исследований в лаборатории имени Ферми Крейг Хоган пришёл к выводу, что минимальный объём пространства должен быть примерно равен размеру протона – порядка 10^-16 м3. А это уже масштабы, доступные для непосредственного наблюдения. Учёный надеялся обнаружить признаки «размытости» голографической проекции – поперечные голографические флуктуации в амплитуде сигнала – при помощи специально построенного в исследовательском центре Фермилаб двойного интерферометра Holometer, превосходящего по чувствительности детекторы гравитационных волн. Но в 2015 г. эксперимент опроверг теорию пикселизированной вселенной Хогана с высокой степенью статистической значимости (4,6 сигма). Исследование показало, что пространство-время не квантуется в измеряемом масштабе. Наблюдения космическим телескопом Integral гамма-всплесков от удалённых на 300 млн св лет источников не выявили дискретности даже на масштабах порядка 10^-48 м.

Возможно, дискретна только двумерная граница Вселенной, состоящая из планковских ячеек, а внутреннее пространство и его содержимое имеет голографическую природу и может быть непрерывным. Количество условных «вокселей» трёхмерного пространства постоянно и пропорционально числу планковских ячеек на границе, но размер этих «вокселей» увеличивается по мере расширения Вселенной. В планковскую эпоху, которая продолжалась планковское время, наблюдаемая вселенная имела планковскую плотность – вся её масса была сжата примерно до 100 размеров протона. На тот момент наименьший возможный объём составлял куб длины Планка или 4,224*10^-105 см3. В каждом см3 пространства содержится порядка 10¹⁰⁵ таких «вокселей» - больше, чем кубических сантиметров в объёме наблюдаемой Вселенной (10⁸⁵). Но в современную эпоху радиус наблюдаемой вселенной увеличился до 46.5 млрд св лет или 4.4*10²⁶ м, соответственно площадь её горизонта составляет уже 2.4*10⁵⁴ м2 и вмещает 9.19*10¹²³ планковских ячеек, а объём вселенной – 3.6*10⁸⁰ м3, вмещает 8.52*10¹⁸⁴ планковских объёмов. Количество «вокселей» в пересчёте на частицу растёт намного быстрее, чем количество «пикселей». Это объясняет, почему элементарные частицы такие «большие» по сравнению с планковской длиной.

Объяснение фрактальности в природе

А как же упомянутые выше самоподобные структуры в живой и неживой природе? Неужели сходство нейронных связей мозга с крупномасштабной структурой Вселенной или ветвления бронхов с кронами деревьев – просто случайные совпадения? В этих сравнениях есть доля истины, но для их объяснения достаточно известных законов физики. Так, согласно началам термодинамики и принципу наименьшего действия, все процессы в нашем мире протекают с наименьшими затратами энергии. Вселенная достигает своих целей кратчайшим и самым экономным путём, даже если есть более эффективное решение, требующее больших энергозатрат. Как мы уже писали ранее, фрактал – это лучший способ вместить максимум длины в ограниченный объём. Типичный пример – наша кровеносная система. На неё приходится всего 5% массы тела, при этом капилляры проходят через каждые 5 клеток. Аналогично устроены извилины мозга, ветки и листья деревьев, качан капусты романеско, раковины моллюсков, коралловые рифы и т.д. Природа действительно изобретательна в решении задач по оптимизации использования пространства. Но её творения не идеальны – в строгом математическом определении они являются не фракталами, а предфракталами, обладающими ненулевой плотностью. Им далеко до красоты фракталов, смоделированных на компьютере.

Ещё одна область, где математика фракталов пересекается с термодинамикой – это теория хаоса. В статье «Теория хаоса, синергетика, неравновесная термодинамика» я уже рассказывал о нелинейных процессах, детерминированном хаосе, эффекте бабочки и точках бифуркации. В условиях сильного термодинамического неравновесия и диссипации (рассеяния) энергии случайные колебания (флуктуации) могут спонтанно порождать порядок из хаоса, локально понижая энтропию при условии, что это способствует росту энтропии в окружающей среде. При моделировании сложных самоорганизующихся систем довольно часто используются так называемые странные аттракторы. Когда поведение динамической системы сильно зависит от начальных условий, множество точек фазового пространства, к которым она стремиться с течением времени, имеет фрактальную форму – например, аттрактор Лоренца. Поэтому диссипативные структуры вроде ураганов, турбулентных потоков воздуха или жидкости, звёздных скоплений и галактик, тоже являются фракталоподобными.

Если рассматривать всю Вселенную как супердетерминированную самоорганизующуюся систему, у неё должны быть правила (алгоритмы), которым она подчиняется. Так, автор первого высокоуровневого языка программирования Конрад Цузе полагал, что Вселенная – это непрерывно вычисляющая сама себя чистая рекурсивная функция. Каждый промежуточный результат вычисления такой функции зависит от входных данных, которые в свою очередь являются результатом вычисления предыдущей итерации. Один тик вселенского процессора длится планковское время, и со временем количество информации в системе увеличивается, что разрешает проблему стрелы времени. А фрактальные структуры в природе – всего лишь частные проявления рекурсивного вычисления. Сейчас эту концепцию развивает Стивен Вольфрам, пытаясь вывести законы физики из простых правил построения математических структур – гиперграфов. О его теории рекурсивно-самовычисляющей Вселенной я сделаю отдельную статью.

А как насчёт фрактальной мультивселенной? В теории вечной хаотической инфляции Андрея Линде фрактальная геометрия Мандельброта используется для описания непрерывного процесса «почкования» мультивселенной на самоподобные структуры. Эволюция скалярного поля инфлатона создаёт пики, которые становятся точками зарождения «пузырьковых вселенных» и делает мультивселенную фрактальной на самых больших масштабах. Также следует вспомнить модель фрактального ветвления универсальной волновой функции в интерпретации Эверетта, которую я упоминал в статье «Правда и мифы о Мультивёрсе». Лучший способ визуализировать Мультивёрс в трёхмерном пространстве – это одуванчик с бесконечно ветвящимися «зонтиками». Но не следует забывать, что Мультивёрс Эверетта разветвляется в бесконечномерном гильбертовом пространстве, а каждая отдельная вселенная обладает собственным экземпляром пространства-времени и не является масштабно-инвариантной.

Вывод

Итак, мы выяснили, что Вселенная не является фракталом в строгом математическом смысле этого термина. Материя и, по всей видимости, пространство-время дискретны, что исключает возможность их деления на бесконечное количество частей. В природе вообще не бывает бесконечности - ни в пространстве, ни во времени, ни в масштабе. Известные на сегодняшний день законы физики не работают на масштабах меньше планковской длины или больше диаметра наблюдаемой Вселенной. Если что-то и существует за этими пределами, оно не оказывает причинно-следственного влияния на наш мир – физическая реальность каузально замкнута. Что касается многочисленных примеров масштабно инвариантных псевдофракталов в природе, то они в большинстве случаев объясняются необходимостью оптимального заполнения ограниченного пространства. Также есть гипотеза, согласно которой Вселенная является гигантским компьютером, вычисляющим самого себя с помощью рекурсивной функции. В этом контексте фрактальность является отражением низкой алгоритмической (колмогоровской) сложности – самоподобные структуры легче запрограммировать. В следующих статьях мы разберём вычислительные модели Вселенной более подробно.