Как работает поле Хиггса: 4) почему поле Хиггса необходимо

Как работает поле Хиггса:

1. Основная идея
2. Почему поле Хиггса в среднем ненулевое
3. Как появляется частица Хиггса
4. Почему поле Хиггса необходимо

До сего момента в серии статей поле Хиггса я объяснял вам основную идею того, как оно работает, и описывал, как поле Хиггса становится ненулевым, и как появляется частица Хиггса – по меньшей мере, для простейшего типа поля и частицы Хиггса (из Стандартной Модели). Но я не объяснил, почему не существует альтернативы для ввода чего-либо, напоминающего поле Хиггса – почему для ввода масс известных частиц в отсутствии этого поля существуют препятствия. Это мы и обсудим в данной статье.

Я объяснил, что все элементарные «частицы» (то бишь, кванты) природы – это кванты волн в полях. И, упрощённо, все эти поля удовлетворяют уравнению класса 1 вида:

где Z(x,t) – поле, m – масса частицы, c – скорость света, h – постоянная Планка. Если частица безмассовая, тогда соответствующее поле удовлетворяет такому же уравнению, где m = 0, которое я назвал уравнением класса 0.

Случаи с m = 0 включают фотоны, глюоны и гравитоны – кванты электрического, хромоэлектрического (или глюонного) и гравитационного полей; всё это безмассовые кванты («частицы»), перемещающиеся на универсальном пределе скорости с. Для электронов, мюонов, тау, всех кварков, всех нейтрино, частиц W, Z и бозона Хиггса, у каждого из которых своя масса, соответствующее поле удовлетворяет уравнению класса 1 с подставленной в него соответствующей массой.

К несчастью, это не вся история. Видите ли, для всех известных элементарных полей природы, соответствующих массивным квантам, написанное вверху уравнение не выполняется – по крайней мере, в том виде, в котором я его записал. Почему? Проблема в том, что мы не внесли в наши уравнения слабое взаимодействие. А если мы его внесём, то, как сейчас увидим, эти простые уравнения невозможно будет использовать. Вместо них потребуются более хитроумные уравнения, способные выдать схожие физические результаты.

Почему?

Проблема в следующем: записанные нами уравнения необходимы, но их недостаточно. Нам нужно, чтобы они выполнялись, но это не единственное, что должно выполняться. Мы кое-то упускаем: слабое взаимодействие. И это взаимодействие не сможет подружиться с записанным выше уравнением.

Если я буду углубляться в детали, результат получится слишком заумным. Я объясню это при помощи уравнений, похожих на те, что используются на самом деле, но не полностью вникая во всю эту историю.

Более сложные уравнения для электрона

Чтобы увидеть проблему, рассмотрим её в контексте определённого поля – для примера возьмём электронное поле. Проблема в том, что электронное поле не совсем удовлетворяет уравнению выше. Электрон – частица со спином -1/2, что означает, что она не только двигается, но и непрерывно вращается, так, что представить это невозможно – и оказывается, что уравнения выше хватает только для описания изменения его положения, но не для описания того, что происходит с его спином. В результате получается, что на самом деле электрон формируется из двух полей, ψ(x,t) и χ(x,t), удовлетворяющих двум уравнениям:

Где я ввёл константу μ = 2π mc²/h для краткости. И вновь я немного вам недоговариваю, поскольку это уравнение движения только вдоль одного пространственного измерения, оси x; полная форма уравнения сложнее. Но суть верна; мы скоро проверим, что эти два уравнения подразумевают предыдущее, указанное в начале статьи.

Примечание: ψ и χ часто называют «левосторонним электронным» и «правосторонним электронным» полями, но без введения дополнительной математики такие названия больше сбивают с толку, чем проясняют, поэтому я их буду избегать.

Эти два поля совместно составляют электронное поле в том смысле, что у волны электрона амплитуды χ и ψ должны быть друг другу пропорциональны. Это можно проверить, если сделать волну из них обеих:

где ψ₀ и χ₀ — амплитуды волн, а ν и λ – их частота и длина волны (которые я предположил равными). Тогда мы получим:

Что означает

Эти уравнения показывают пропорциональность ψ₀ и χ₀; в общем, если одно ненулевое, то и другое тоже, а если увеличить одно из них, увеличится и второе.

Но имейте в виду: это два уравнения, описывающие два взаимоотношения, которые легко могут противоречить друг другу. Два уравнения могут быть непротиворечивыми, если существует дополнительное взаимоотношение между ν, -c/λ и μ. Что это за отношение? Перемножим два уравнения и поделим на ψ₀χ₀ (что можно делать, пока ψ₀ и χ₀ не равны нулю – предположим, что не равны), и обнаружим:

Каковы последствия этого уравнения? Допустим, у нас есть одиночный квант волны в полях ψ и χ – волны минимальной амплитуды – иначе говоря, электрон. Тогда энергию E = hν, и импульс p = h/λ этого кванта можно получить, умножив это уравнение на h² и подставив μ = 2π mc²/h, получив

А это соотношение Эйнштейна между энергией, импульсом и массой объекта, которому, естественно, должен удовлетворять электрон массы m.

И это не случайно, поскольку соотношение Эйнштейна выполняется для кванта волны, удовлетворяющей уравнению класса 1, а два уравнения для ψ и χ подразумевают, что ψ и χ удовлетворяют уравнению класса 1! Чтобы это увидеть, умножьте первое уравнение на –μ и подставьте во второе:

Что даёт (если учесть, что d/dx(dχ/dt) = d/dt(dχ/dx)) уравнение класса 1 для χ (сходный трюк даёт уравнение класса 1 для ψ):

Два уравнения вместо одного – хитрый способ (придуманный Дираком) заставить частицы со спином -1/2 удовлетворять соотношению Эйнштейна для энергии, импульса и массы. Электрон – квант волны в полях ψ и χ, вместе составляющих электронное поле, и этот квант действует как частица с массой m и со спином 1/2. То же верно и для мюона, тау и шести кварков.

Масса электрона, рассчитанная «в лоб», и слабое взаимодействие противоречат друг другу

К несчастью, этот прекрасный набор уравнений, записанный в 1930-м, оказался несовместимым с экспериментами. В 1950-х и 1960-х мы обнаружили, что слабое взаимодействие влияет только на χ, но не на ψ! Это значит, что уравнение

Не имеет смысла; изменение по времени поля χ под воздействием слабого взаимодействия не может быть пропорционально полю ψ, не зависящему от слабого взаимодействия. Иначе говоря, поле W может превратить поле χ(x,t) в нейтринное поле ν(x,t), но не может превратить ψ(x,t) ни во что, так что версия этого уравнения, появляющегося после комбинирования с ним поля W не определена и не имеет смысла:

Поле W ↓

Этот провал уравнений в комбинации со слабым взаимодействием говорит нам о том (как говорил и физикам 1960-х), что необходимо найти новый набор уравнений. Решение этой проблемы потребует новой идеи. И новая идея – поле Хиггса.

Входит поле Хиггса: правильные уравнения для массы электрона

На этом этапе уравнения станут более сложными (поэтому я не давал подробных объяснений с самого начала). В статье без технических подробностей, где описано, каков был бы мир при нулевом поле Хиггса, указана структура, которая появится в уравнениях ниже.

Нам понадобятся уравнения для электронов и нейтрино, позволяющие возможность превращения посредством частицы W электрона в нейтрино и наоборот – но только при взаимодействии с χ (т.н. «левосторонним электронным полем»), а не с ψ.

Для этого необходимо вспомнить одну тонкость: до того, как поле Хиггса становится ненулевым, существует четыре поля Хиггса, а не одно. Три из них в результате исчезают. Может запутать то, что существует несколько способов их называть – и каждый из способов полезен в своём контексте. В моей статье о мире с нулевым полем Хиггса я называл эти четыре поля, каждое из которых – это вещественное число в пространстве и времени, названиями H⁰, A⁰, H⁺ и H^–. Поле Хиггса H(x,t), на которое я ссылаюсь в этой серии статей, это H⁰(x,t). Здесь я назову их двумя комплексными полями – то есть, функциями, у которых есть действительное и мнимое значение в каждой точке пространства и времени. Я буду называть два эти комплексных поля H⁺ and H⁰; и поле Хиггса H(x,t), на которое я ссылаюсь в этой серии статей, будет вещественной частью H⁰(x,t). После того, как поле Хиггса становится ненулевым, H⁺ поглощается тем, что мы называем полем W⁺, а мнимая часть H⁰ поглощается тем, что мы называем полем Z. [Комплексная часть H⁺ называется H^-; и поскольку W⁺ поглощает H⁺, его мнимая часть W^- поглощает H^-].

Со слабым взаимодействием связан следующий факт: частицы природы и уравнения, которым они удовлетворяют, должны быть симметричными при обмене некоторых полей между собой. Полная симметрия довольно сложна, но нужная нам часть выглядит так:

ψ не меняется
χ ⇆ ν
H⁺ ⇆ H⁰
H^- ⇆ H^0* (комплексная часть)
W⁺⇆ W^-

χ ⇆ ν отражает тот факт, что на эти поля влияет слабое взаимодействие. То, что ψ не меняется, отражает тот факт, что на него это взаимодействие не влияет. Без этой симметрии, и без её более общей формы, квантовые версии уравнений для слабого взаимодействия не имеют смысла: они ведут к предсказаниям, из которых следует, что вероятность определённых событий больше единицы или меньше нуля.

Оказывается, что нужные нам уравнения выглядят так (здесь y – параметр Юкавы, g – константа, определяющая силу слабого взаимодействия):

Заметьте, что эти уравнения удовлетворяют упомянутой выше симметрии. Эксперты заметят, что я упростил эти уравнения, но надеюсь, что они согласятся, что суть задачи они всё же описывают. Заметьте, что t и x – время и пространство (хотя я упрощаю, отслеживая лишь одно из трёх пространственных измерений); c, h, y и g – константы, не зависящие от пространства и времени; ψ, χ, W, H, и т.д. – это поля, функции пространства и времени.

Что произойдёт, если поле Хиггса станет ненулевым? Поле H^– и мнимая часть H⁰ исчезнут (почему – тут я расписывать не буду), будучи поглощёнными другими полями. Действительная часть H⁰ станет ненулевой, со средним значением v; как описано в статье о том, как работает поле Хиггса, мы пишем:

где h(x,t) – поле, чей квант, физическую частицу Хиггса, мы наблюдаем в природе. После этого уравнения принимают вид:

Эти уравнения, после того, как поле Хиггса принимает ненулевое значение v, описывают взаимодействия между:

• Электронным полем, чьи кванты – электроны массы m_e = y v;
• Одним из трёх нейтронных полей, чьи кванты – нейтрино (в этих уравнениях они безмассовые. Чтобы добавить массу, придётся немного изменить уравнения способом, который здесь я расписывать не буду).
• Полем W, чьи кванты – W частицы, и чьё присутствие подразумевает участие слабого взаимодействия.
• Полем Хиггса h(x,t), чьи кванты – частицы Хиггса.

Заметьте, что уравнения уже, кажется, не удовлетворяют упомянутой симметрии. Эта симметрия «спрятана» или «сломана». Её присутствие уже не очевидно, когда поле Хиггса становится ненулевым. И тем не менее, всё работает так, как должно, чтобы соответствовать экспериментам:

• Если поля h, W и ν нулевые в каком-то регионе пространства и времени, уравнения превращаются в изначальные уравнения электронного поля, но в виде комбинации ψ and χ.
• Если поле W на каком-то участке равно нулю, члены, куда входит h, показывают, что взаимодействие между электронами и частицами Хиггса пропорционально у, и, следовательно, пропорционально массе электрона.
• Если поле h нулевое на каком-то участке, то члены, куда входят W^– и W⁺ показывают, что слабое взаимодействие может превращать электроны в нейтрино и наоборот, конкретно превращая χ в ν, не влияя при этом на ψ.

Итоги

Давайте подведём итог. Для частиц со спином -1/2, простые уравнения класса 1

которые мы изучали до сих пор, приходится усложнять, как это в своё время понял Дирак. Описание электрона и его массы требует нескольких уравнений, подразумевающих уравнение класса 1, но обладающих дополнительными свойствами. К сожалению, простых уравнений Дирака оказывается недостаточно, поскольку их структура не совпадает с поведением слабого взаимодействия. Решение – усложнить уравнения, введя поле Хиггса, которое, приняв в среднем ненулевое значение, может придавать электрону массу, не вмешиваясь в работу слабого взаимодействия.

Мы увидели, как это работает с массой электрона, вплоть до уравнений для электронного поля. Схожие уравнения работают для сводных братьев электрона, мюона и тау, и для всех кварковых полей; небольшое изменение позволяет им работать и для нейтринных полей. Массы частиц W и Z появляются в различных уравнениях, но некоторые из схожих проблем – необходимость поддерживать определённую симметрию, чтобы слабое взаимодействие имело смысл – играют свою роль и здесь.

В любом случае поведение слабого взаимодействия, судя по экспериментам, и массы известных элементарных (вроде бы) частиц, наблюдаемых в экспериментах, не совпадали бы друг с другом, если бы не было чего-то вроде поля Хиггса. Недавние эксперименты на Большом адронном коллайдере обеспечили необходимое подтверждение того, что описанные мною уравнения и концепции, на которых они основаны, более-менее верны. Ждём новых экспериментальных исследований частицы Хиггса, чтобы узнать, нет ли других полей Хиггса, и не окажется ли поле Хиггса более сложным, чем я его описываю.

Автор: Вячеслав Голованов

Источник