Главная

Разбираемся в физике частиц: 5) квантовые волны

2017-07-31 в 13:33, admin, рубрики: квантовая физика, колебания, физика

Напоминание: квантовый шар на пружине

В первой статье серии мы изучали шар массы М на пружине жёсткости К, и нашли, что у его колебаний:

• Будет формула $ z(t)=z_0 + A cos [ 2 π ν t ] $ .
• Энергия $ E=2 π^2 ν^2 A^2 M $ .
• Уравнение движения $ d^2z/dt^2=– K/M (z – z_0) $

Где уравнение движения принуждает к ν = √ K/M / 2π, но позволяет амплитуде А быть любой положительной величины. Затем во второй статье мы увидели, что квантовая механика, применимо к колебаниям, ограничивает их амплитуду – она уже не может быть любой. Вместо этого она квантуется, она должна принимать одну из бесконечного количества дискретных величин.

$ A=(1/2 π) sqrt{2 n h} / ν M $

Где n = 0, 1, 2, 3, или 44, или вообще любое целое больше или равное нулю. В частности, A может равняться $ (1/2 π) sqrt{2 h} / ν M $ , но меньше уже быть не может – только нулевой. Мы говорим, что n – это количество квантов колебаний движения шара. Энергия шара теперь тоже квантуется:

where n=0, or 1, or 2, or 3, or 44, or any integer greater than or equal to zero. In particular, A can be as small as (1/2 π) √ 2 h / ν M, but it can’t be anything smaller, except zero. We say that n is the number of quanta of oscillation in the ball’s motion. The energy of the ball is also now quantized:

$ E=(n+1/2) h ν $

Самое важное тут то, что для добавления одного кванта колебаний шара требуется энергия величины hν – можно сказать, что каждый квант переносит энергию hν.

Квантовая волна

С волнами всё, по сути, так же. Для волны с частотой ν и длиной волны λ, колеблющейся с амплитудой А вокруг равновесного положения Z₀,

• Уравнение движения: Z(x,t) = Z₀ + A cos (2π [ν t – x/λ]).
• Энергия на одну длину волны: $inline$ 2 π^2 ν^2 A^2 J_λ $inline$

(где J_λ — константа, зависящая от, допустим, верёвки, если речь идёт о волнах на верёвке), нескольких возможных уравнениях движения, из которых мы для изучения выберем два:

$ Класс 0: d^2Z/dt^2 – cw^2 d^2Z/dx^2=0 $

$ Класс 1: d^2Z/dt^2 – cw^2 d^2Z/dx^2=– (2 π μ)^2 (Z-Z_0) $

И вновь квантовая механика ограничивает амплитуду А дискретными значениями. Так же, как для колебаний на пружине,

• Одна простая волна определённой частоты и длины состоит из n квантов,
• Разрешённые величины амплитуды А пропорциональны √n,
• Разрешённые величины энергии Е пропорциональны (n+1/2).

Точнее, как и для шара на пружине,

• Разрешённые значения энергии E = (n+1/2) h ν
• Каждый квант волны переносит энергию величины h ν

Формула для выражения А довольно сложна, поскольку нам нужно знать, насколько волна длительная, и точная формула будет слишком запутанной – так что давайте я просто напишу такую формулу, которая передаёт правильную идею. Большую часть формул мы получили, изучая бесконечные волны, но у любой реальной волны в природе длительность конечна. Если длительность волны примерно равна L, и у неё L/λ гребней, тогда амплитуда примерно равна

$$display$$ A = (1/2 π) sqrt{ frac{2 n h λ}{ν L J_λ} } $$display$$

Что пропорционально $ sqrt{n h / ν} $ как и в случае с пружиной, но зависит от L. Чем длительнее волна, тем меньше её амплитуда – так, что у каждого кванта волны энергия всегда равна hν.

Вот и всё – это показано на рисунке ниже.

Слева – наивное изображение волн, где амплитуда пропорциональна квадратному корню из количеству квантов, и другие амплитуды существовать не могут. Справа – чуть менее наивное изображение, учитывающее квантовые колебания, присущие квантовому миру. Даже в случае n = 0 некоторые колебания существуют.

Следствие

Что это означает для наших волн класса 0 и класса 1?

Поскольку волны класса 0 могут быть любой частоты, у них может быть любая энергия. Даже для крохотного значения ε всегда можно сделать один квант волны класса 0 с частотой ν = ε/h. Для такой небольшой энергии у этой квантовой волны будет очень малая частота и очень большая длина волны, но существовать она может.

Волны, удовлетворяющие уравнению класса 1, не такие. Поскольку для них существует минимальная частота ν_min = μ, для них существует и квант минимальной энергии:

$E_{min}=h ν_{min}=h μ$

Если ваша крохотная величина энергии ε меньше этого, квант такой волны сделать не получится. Для всех квантов волн класса 1 с конечной длиной волн и большей частотой выполняется E ≥ h μ.

Итог

До того, как мы начинаем принимать во внимание квантовую механику, амплитуда волн, как и амплитуда шара на пружине, могут изменяться непрерывно; их можно сделать сколь угодно большими или малыми. Но квантовая механиа подразумевает существование минимальной ненулевой амплитуды волны, как и в случае колебаний шара на пружине. И обычно амплитуда может принимать только дискретные значения. Допустимые амплитуды таковы, что как для колебаний шара на пружине, так и для волны любого класса с определённой частотой ν

• Для добавления одного кванта колебаний требуется энергия h ν
• У колебаний n квантов энергия колебаний будет равна (n+1/2) h ν

Теперь пришло время применить полученные знания к полям и посмотреть, когда и как кванты волн в этих полях можно интерпретировать как то, что мы называем «частицами» природы.

Автор: SLY_G

Источник