Как-то мне понадобилась "собственная мода оптоволокна". Но я нигде не нашел аналитического выражения электромагнитного поля. Ну и «сделал сам», раз не нашел, и оформил для всех тут, в статье. Так что, скорее всего, нигде больше вы такого не встретите — уникальнейшая вещь! В книжках это не пишут, потому что оно длинное — обычно пишут самое простое, а про общий случай упоминают вскользь. Ну вот он, общий случай, под катом.
Постановка задачи
Решить уравнения Максвелла с условиями:
— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса с диэлектрической проницаемостью
и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью
,
— поле периодично по , пространственная частота всех компонент поля едина:
,
— компоненты поля на оси — без особенностей,
— компоненты поля при интегрируемы с квадратом,
— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра — непрерывны:
1. Преобразование уравнений Максвелла, вызванное периодичностью по 
Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по :
получаются уравнения на -компоненты поля:
При этом остальные компоненты выражаются через -компоненты по закону:
где — единичный вектор вдоль оси
,
,
.
2. Уравнения на
-компоненты в полярных координатах
Уравнения на имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:
В полярных координатах уравнение имеет вид:
3. Разделение переменных в уравнении
Подстановкой в уравнение зависимости переменные разделяются:
Обозначив константу равенства символом выписываются обе части равенства:
$$display$$- frac{1}{v(varphi)}frac{partial^2 }{partial varphi^2}v(varphi) = nu^2,$$display$$
4. Решение первого уравнения
Первое уравнение имеет решения: .
Из периодического граничного условия , следует, что
— целое:
5. Решение второго уравнения
Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:
1. Уравнение Бесселя:
2. Модифицированное уравнение Бесселя:
Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя и функции Неймана
. Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда
и функции Макдональда
.
В силу граничных условий: при — функция без особенностей, при
— функция интегрируема с квадратом, при
— тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при
— функция Бесселя
, при
— функция Макдональда
.
Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка, :
6. Общий вид компонент 
Введя обозначения: компоненты
записываются в виде:
Здесь полагается, что (может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место
, знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.
Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости: — в сердцевине,
— в оболочке.
7. Соотношения на константы 
Используя закон
находятся компоненты , имея при этом в виду, что
.
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:
Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы , которая имеет вид:
8. Дисперсионное соотношение
Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:
В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения:
и соотношения:
, которые следуют из введенных ранее определений:
.
Величины — связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что
— едина для всех компонент:
9. Моды
Для нахождения из системы уравнений:
необходимо задать: .
Связь и
первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от
.
Связь и
вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от
. Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.
Набор решений составляет конечное число пар чисел . Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».
Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы () — на первом месте буква с наибольшей
-компонентой и два индекса: на первом месте
, на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).
Примеры обозначения:
говорит о том, что
больше, чем
,
, выбрана пара (см.рис. выше)
,
говорит о том, что
больше, чем
,
, выбрана пара (см.рис. выше)
(третья синяя ветвь).
10. Порядок построения компонент поля
Подготовительные вычисления:
01. Задать ;
02. Найти наборы , выбрать один, (п.9);
03. Вычислить , (п.8);
04. Вычислить , (п.7).
Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:
Далее, при :
При :
Далее
При этом замыкающие соотношения стандартные:(индексы указывают на соответствующие среды).
Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:
Для магнитных компонент матрица та же.
11. Замечания
Выбирая можно добиться единственности решения:
Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.
Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды : векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.
Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды
и моды
Автор: FransuaMaryDelone