Если точка одновременно совершает два гармонических колебания в двух перпендикулярных друг другу плоскостях, суммарно она описывает сложноорганизованную траекторию, которая называется фигурой Лиссажу. Французский математик Жан-Антуан Лиссажу исследовал такие фигуры во второй половине XIX века как оптический метод сложения гармонических колебаний. Форма фигур Лиссажу зависит от периода каждого из колебаний, его фазы и амплитуды.
Исследования француза получили продолжение в работах других математиков. Примерно в то же время его современник, профессор университета Глазго Хью Блэкберн разработал так называемый маятник Блэкберна, или гармонограф. Это устройство представляло собой трубочку с анилиновыми чернилами, подсоединенную к маятнику. Когда мы приводим маятник во вращение, трубочка начинает вычерчивать на листе картона фигуру. Но лист картона лежит на подвижной платформе, подсоединенной ко второму маятнику, — придавая ему импульс, мы приводим в движение картон, то есть поверхность, на которой вычерчивается фигура. Колебания обоих маятников складываются, а результатом становится сложная фигура, частным случаем которой являются упомянутые выше фигуры Лиссажу. Они получаются в том случае, когда плоскости колебаний маятников строго перпендикулярны, хотя гармонограф позволяет сочетать различные колебания бесконечным количеством образов и получить бесконечное же количество гармонических фигур.
Упрощаем процесс
Впрочем, еще до Блэкберна и Лиссажу ряд математиков обращались к исследованиям сложения колебаний и гармонических фигур. В 1815 году вышла посвященная этому статья английского ученого Натаниэля Боудича, известны также работы его современника Джеймса Дина. Боудич исследовал действие «двойного маятника», то есть маятника, к грузу которого подвешен второй маятник. Это сложная система с двумя степенями свободы — при высокой энергии движений траектория второго груза становится хаотической, а не гармонической. Значительный интерес к вопросу сложения колебаний и вообще к гармоническим фигурам проявил английский математик-любитель Генри Перигел, более всего известный геометрическим доказательством теоремы Пифагора. В 1835 году он построил прибор, названный геометрическим зажимом, способный рисовать простейшие гармонические фигуры. То, что мы собираемся построить, гораздо ближе именно к геометрическому зажиму Перигела, нежели к гармонографу Блэкберна. Точнее, наша конструкция представляет собой их «гибрид».
В первую очередь мы избавимся от маятника, поскольку его колебания, как ни крути, затухающие, а нам хотелось бы складывать вынужденные колебания постоянной частоты и амплитуды. Прекрасным источником таких колебаний может быть, например, электрический метроном: если поставить два метронома перпендикулярно друг к другу и подсоединить к ним обоим общий карандаш (ручку, рапидограф — неважно), начерченная им картина будет фигурой Лиссажу. Меняя положение метрономов друг относительно друга, а также частоту их биения, можно варьировать фигуры — по сути, это будет упрощенная модель гармонографа Блэкберна.
Есть лишь одно «но» — у вас дома может не оказаться метронома, а тем более — двух. Этот специфический прибор используется преимущественно музыкантами, танцорами, иногда психологами. Тем не менее существует другой способ построить гармонограф из того, что под руками, или, по крайней мере, при наличии очень скромного бюджета.
Музыка сфер
Для того чтобы нарисовать ряд гармонических фигур, мы использовали два обычных советских проигрывателя. В редакции «Популярной механики» нашлась «Вега» ЭП-110, вторым инструментом послужил «Арктур-006». Но в целом подходит любой проигрыватель, в идеале — с регулируемой скоростью вращения.
Все остальное видно на иллюстрации. Система из четырех деревянных планок, несколько болтов, крепеж для фломастера — и перед нами одна из разновидностей гармонографа. Варьируя месторасположение крепежей на дисках проигрывателей, можно получить колебания с различными характеристиками. Такая разновидность гармонографа, в которой колеблющиеся точки движутся не по прямым, а по кольцевидным траекториям, называется пинтографом. Получающиеся в результате гармонические фигуры не менее эстетичны, чем изображаемые с помощью маятника Блэкберна. Практического применения у них нет — по сути, это просто наглядная демонстрация того, что математика может быть красивой. Интересно, что английский скульптор-кинетист Роберт Хаусэйр, построив точно такое же устройство (далеко не первым) и назвав его Drawing Apparatus, защитил с этой работой диплом. Повторить его трюк вряд ли получится, но, как видно, определенную пользу конкретному человеку фигуры Блэкберна все-таки принесли.
Построив такой пинтограф, можно нарисовать бесчисленное множество фигур, используя различные установки крепежей, цвета и толщины фломастеров. Более того, подсоединив к системе третий проигрыватель, можно получить еще более витиеватое сложение колебаний. А можно и четвертый. Или пятый. В общем, насколько хватит инженерной смекалки. Главное — вовремя остановиться.
Также по теме стоит почитать, как мы строили стеклянный орган из бокалов и клавиатуры от рояля или мост из макарон, выдерживавший 6 кг нагрузки.
Статья «Красота гармонии» опубликована в журнале «Популярная механика» (№4, Апрель 2015).
