Есть 364 дня, когда ты можешь получить подарок не на день рождения, и только один – для подарков на день рождения, знаешь ли.
— Льюис Кэрролл
Читатель спрашивает:
Среди моих 1434 фейсбучных френдов сегодня ни у кого нет дня рождения. Каковы шансы такого события, если в году 365,25 дней?
Предположим, что все ваши друзья родились после 1 марта 1900 года.
За последние 114 лет каждые 4 года случался високосный год. Предположив, что все знакомые родились в совершенно случайные дни и года, получим, что есть 4 шанса из 1461, что они родились в любой день, кроме 29 февраля, и 1 шанс из 1461, что они родились 29 февраля.
Давайте посчитаем шансы того, что у произвольного количества ваших друзей сегодня нет дня рождения. Начнём с одного.
Если у вас один друг, и сегодня не 29 февраля, значит шансы того, что у него нет дня рождения, составляют 1457 из 1461, или 99,73%. И это верно для любого из ваших друзей.
Значит, и у второго друга шансы того, что у него нет дня рождения сегодня, составляют 99,73%, и у третьего, и у сотого, и т.д. Для простоты возьмём 6 друзей – какие будут тогда шансы, что ни у кого из них нет сегодня ДР?
98,37%, поскольку необходимо, чтобы у первого человека не было ДР, и у второго не было, и т.д. Иначе всё пропало.
Забава в том, что эту формулу можно расширить на любое количество людей.
| Количество друзей | Шансы для каждого | Общие шансы | В процентах |
| 1 друг | 0.99726215 | (0.99726215)^1 | 99.73% |
| 2 друга | 0.99726215 | (0.99726215)^2 | 99.45% |
| 5 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^5 | 98.64% |
| 10 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^10 | 97.30% |
| 50 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^50 | 87.19% |
| 150 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^150 | 66.28% |
| 253 друга | 0.99726215 | (0.99726215)^253 | 49.98% |
| 365 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^365 | 36.76% |
| 500 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^500 | 25.39% |
| 1000 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^1000 | 6.447% |
| 1434 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^1434 | 1.961% |
| 1680 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^1680 | 0.9993% |
| 2000 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^2000 | 0.4156% |
| 2500 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^2500 | 0.1055% |
| 3000 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^3000 | 0.02679% |
| 5000 друзей | 0.99726215 | (0.99726215)^5000 | 0.0001113% |
Для небольшого количества друзей шансы велики. Они падают до 50-50 по достижению количества друзей в 253 человека, и после этого быстро уменьшаются. Для 1434 друзей шансы уже менее 2%. Имея 5000 друзей вы получите шансы в 0,0001113%, или 1 к 900000.
А как насчёт более общего подхода? Если мы хотим узнать шансы того, что существует хотя бы один день в году, когда ни у кого нет ДР? Это посложнее.
Если мы посчитаем шансы того, что сегодня ни у кого нет ДР, и вычтем это из 100%, то мы получим шансы того, что у кого-то сегодня есть ДР. Чтобы сложилась ситуация, в которой ни у кого нет ДР, можно вычесть из 100% шансы того, что у кого-то есть ДР в любой из дней года. Это, конечно, будет возможно только при наличии не менее 365 друзей.
| Число друзей | Шансы отсутствия ДР | Шансы наличия ДР | Шансы ДР каждый день | Вычтем из 100% |
| 365 друзей | 36.76% | 63.24% | (0.6324)^365 | 100% – 2.3 × 10^-71% |
| 500 друзей | 25.39% | 74.51% | (0.7451)^365 | 100% – 2.3 × 10^-45% |
| 1000 друзей | 6.447% | 93.553% | (0.93553)^365 | 99.9999999973% |
| 1434 друзей | 1.961% | 98.039% | (0.98039)^365 | 99.927% |
| 1680 друзей | 0.9993% | 99.0007% | (0.990007)^365 | 99.927% |
| 2000 друзей | 0.4156% | 99.5834% | (0.995834)^365 | 97.44% |
| 2500 друзей | 0.1055% | 99.8945% | (0.998945)^365 | 31.97% |
| 3000 друзей | 0.02679% | 99.97321% | (0.9997321)^365 | 9.32% |
| 5000 друзей | 0.0001113% | 99.9998887% | (0.999998887)^365 | 0.0406% |
Получается, что если у вас менее 2000 друзей, почти однозначно в году будет хотя бы один день, когда ни у кого нет ДР, а если более 4000 – то для этого практически не останется шансов.
Автор: SLY_G
