![Абстрактная алгебра в действии - 1 Абстрактная алгебра в действии - 1](https://www.pvsm.ru/images/2022/03/11/abstraktnaya-algebra-v-deistvii.jpg)
В последнее время всё чаще я ощущаю математическое веяние в программировании. Нет, это не про интегралы с производными, а про что-то абстрактное, другое. Про то, что было всегда у нас под носом, но оставалось незамеченным. Наступит день - про это будут говорить на каждом углу. Но не сегодня. Сегодня мы с этим познакомимся.
Я думаю, многие из нас были студентами технических ВУЗов и посещали большое количество математических дисциплин, возможно, задаваясь вопросом "зачем". Одной из таких дисциплин, быть может, была алгебра. Нет, это не та книжка Мордковича, переполненная скучными задачами про многочлены и уравнения. Это сложная, объёмная наука с высоким порогом входа, которая требует огромной вовлечённости и погружения. Однако, захватывающая и интересная. Основным предметом этой науки являются так называемые алгебраические структуры. И основной интерес заключается в том, что эти структуры можно строить практически где угодно и из чего угодно. Оказывается, своё применение они могут найти и в создании новых подходов к написанию кода. Прежде чем поговорим о них, небольшое алгебраическое отступление.
Небольшое алгебраическое отступление
Сейчас мы едва коснёмся абстрактной алгебры. Затронем только основную аксиоматику и определения, которые дадут первоначальные представления о том, что вообще происходит. Здесь даже не будет теорем и доказательств.
Начнём с того, что у нас есть - некоторое произвольное множество. С понятием множества, надеюсь все знакомы. Как и с понятием отображения. Потому что отождествляя некоторое отображение
вместе с нашим множеством, мы получаем алгебраическую структуру. То есть, алгебраическая структура - это пара
из множества и замкнутой бинарной операции. Например, алгебраической структурой являются целые числа со сложением
.
Вот тут начинается самое интересное. Очевидно, что весь сок заключается в задаваемых операциях. Именно они определяют структуру и поведение набора элементов. Конечно, нам не интересны какие-то случайные функции, поэтому нам нужно от них потребовать каких-то свойств. Иными словами, потребовать удовлетворения операции набору аксиом. Пойдём постепенно.
Например, первым естественным ограничением возьмём ассоциативность. Бинарная операция на множестве
называется ассоциативной, если верно следующее:
При выполнении этой аксиомы уже становится полугруппой. Чем вообще полезны полугруппы? Если вдуматься в смысл ассоциативности, то это значит ровно то, что группировка для операции не важна, а значит "складывать" элементы полугруппы можно параллельно. При этом хотелось бы иметь возможность какие-то элементы игнорировать. Перейдём на следующий уровень строгости.
Элемент называется единичным, если верно следующее:
Наша полугруппа с единицей
- уже моноид. Важно понимать, что в аксиоме не случайно два равенства: бывают единицы справа и единицы слева, но это совсем другая история.
Какие мы знаем моноиды? Опять же, целые числа - . Но что мы всё про числа?
Моноиды на практике
Какие мы можем построить моноиды на практике?
-
- строки с конкантенацией;
-
, Concat(), {})" alt="(List<T>, Concat(), {})" src="https://www.pvsm.ru/images/2022/03/11/abstraktnaya-algebra-v-deistvii-16.svg" title="Абстрактная алгебра в действии - 16"/>- списки с операцией слияния списков;
-
- инты с максимизацией вместо сложения;
-
;
И так далее. Для начала, оформим полученные в отступлении знания в коде.
public interface ISemiGroup<T>
{
T Plus(T left, T right);
}
public interface IMonoid<T> : ISemiGroup<T>
{
T Zero { get; }
}
Я не случайно обозвал операцию "плюсом", а единичный элемент "нулём", потому что (спойлер) в алгебре есть структуры с двумя операциями, как, например, кольцо, где "сложение" от "умножения" надо отличать. Но, не суть важно. Реализуем, например, полугруппу максимизации.
public class Max<T> : ISemiGroup<T> where T : IComparable<T>
{
public T Plus(T left, T right) =>
left.CompareTo(right) > 0
? left
: right;
}
И сделаем под это какую-нибудь dto-шку.
public record Person(string Name, int Money) : IComparable<Person>
{
public int CompareTo(Person other) => Money.CompareTo(other.Money);
}
И вот тут появляется важная мысль. Я же не буду брать всего два человека и находить богатейшего. Нет. Мне надо обработать много людей. У меня список есть.
var people = new List<Person>
{
new("Bob", 1000),
new("Tim", 1239),
new("Jeff", 2000000000)
};
То есть, мы структуры можем использовать для разного рода агрегаций например. Поэтому для полугруппы даже можно было бы написать такое расширение.
public static class SemiGroupExtension
{
public static T Sum<T>(this ISemiGroup<T> semiGroup, IEnumerable<T> elements) =>
elements.Aggregate(semiGroup.Plus);
}
Ну тогда теперь очевидно, что надо делать.
var max = new Max<Person>();
var richest = max.Sum(people);
Магия! Но, какая-то примитивная магия. Пока что. Какая следующая популярная агрегация у нас есть? Среднее! Оказывается его вычисление можно распараллелить. Это не такая очевидная мысль, но если задуматься... Из чего оно складывается: из количества значений и их суммы. То есть эти два параметра нужно разделить и отслеживать. Тогда мы получим структуру аналогичную . Оформим эту мысль.
public class AveragedValue
{
private double _sum;
private int _count;
public AveragedValue() : this(0, 0)
{
}
public AveragedValue(double sum, int count = 1)
{
_sum = sum;
_count = count;
}
public double Get() => _sum == 0
? 0
: _sum / _count;
public static AveragedValue operator +(AveragedValue av1, AveragedValue av2)
{
var newCount = av1._count + av2._count;
var newSum = av1._sum + av2._sum;
return new AveragedValue(newSum, newCount);
}
}
public class Avg : IMonoid<AveragedValue>
{
public AveragedValue Plus(AveragedValue left, AveragedValue right) => left + right;
public AveragedValue Zero => new ();
}
Уже неплохо. Но какие-нибудь реальные задачи хотелось бы. И как раз про такую вспомнил. Надо было сделать текстовый фильтр для поля в таблице, но, вот незадача, условий было много и выходило что-то уродливое:
public bool Fits(string text) =>
text ... ||
text ... ||
text ... ||
...;
А если заказчик захочет другой фильтр на другое поле? Или большей гибкости фильтра? Не хочется плодить что-то в стиле average javascript enjoyer, поэтому посмотрим на задачу под другим углом. Фильтр, вообще говоря, это предикат, то есть булева функция, или, строго говоря, отображение из заданного типа в множество логических значений. И если "складывать" предикаты логическим ИЛИ, то мы получим моноид!
public class Any<T> : IMonoid<Predicate<T>>
{
public Predicate<T> Zero => _ => false;
public Predicate<T> Plus(Predicate<T> left, Predicate<T> right) =>
x => left(x) || right(x);
}
Тогда, например, можно написать что-то такое. Всё разнести по сервисам, контейнерам и будет красиво.
var predicates = new List<Predicate<char>>
{
x => x >= '0' && x <= '9',
x => x >= 'A' && x <= 'Z',
x => x >= 'a' && x <= 'z'
};
var anyMonoid = new Any<char>();
var digitOrLetter = anyMonoid.Sum(predicates);
Вообще, мы можем построить более интересный моноид на словарях и операции слияния. Однако, установим, что значения словаря образуют хотя бы полугруппу, поскольку конфликт будет разрешаться сложением элементов. Тогда, получится что-то вроде этого.
public class MapMonoid<K, V> : IMonoid<Dictionary<K, V>>
{
private readonly ISemiGroup<V> _valueSemiGroup;
public MapMonoid(ISemiGroup<V> valueSemiGroup)
{
_valueSemiGroup = valueSemiGroup;
}
public Dictionary<K, V> Zero => new();
public Dictionary<K, V> Plus(Dictionary<K, V> left, Dictionary<K, V> right)
{
var result = Zero;
foreach (var (key, value) in left.Concat(right))
{
result[key] = result.ContainsKey(key)
? _valueSemiGroup.Plus(result[key], value)
: value;
}
return result;
}
}
Как это использовать? Например, у нас есть список строк.
var strings = new List<string> {"foo", "foo", "foo", "bar", "bar", "baz", "pipi", "pupu"};
Мы можем с помощью него например сгруппировать строки по их числу вхождений или найти слова одинаковой длины. Или что-нибудь, что вы придумаете.
var dicts = strings
.Select(x => new Dictionary<string, int> {{x, 1}});
var anotherDicts = strings
.Select(x => new Dictionary<int, List<string>>
{
{x.Length, new List<string> {x}}
});
После суммирования с помощью соответствующих полугрупп (числа со сложением, списки с соединением) получим такой вывод.
![Абстрактная алгебра в действии - 20 Абстрактная алгебра в действии - 20](https://www.pvsm.ru/images/2022/03/11/abstraktnaya-algebra-v-deistvii-20.png)
Итого
Существует огромное количество различных алгебраических структур. Их свойства помогают решать задачи компьютерных наук лаконичным, а может даже и эффективным способом. Про более неочевидные вещи могу написать в ещё одной статье. Мы задействовали только определения, а какой прорыв случится, когда в ход пойдут теоремы, боюсь представить. Когда-нибудь, программисты перестанут говорить: "Математика не нужна".
Автор: Степан Минин