Здравствуйте, друзья!
Сегодня рассмотрим бородатую задачку про "счастливые" билетики. Наверняка опытные искатели интересных задач уже сталкивались с ней. Но хоть эта задача и не нова, она всё равно вызывает интерес, так как решить её можно бесчисленным количеством способов. Сейчас мы рассмотрим один из самых простых, но в то же время интересных путей её решения, по моему мнению. А именно — через теорию функций комплексного переменного.

Постановка задачи
Представьте, что у вас есть билет на автобус с шестизначным номером. Если сумма первых трёх цифр совпадает с суммой трёх последних, билет считается «счастливым». С какой вероятностью вам выпадет такой билет?
Теперь давайте переформулируем её на языке математики.
Запишем номер билета как:
где каждый номер может принимать 10 значений: от 0 до 9.
Тогда условие на «счастливый» билетик, будет выглядеть следующим образом:
Решаем задачу
Теперь посчитаем, сколько всего таких билетиков существует. Очевидно, что каждая цифра может принимать 10 значений, а значит, число всевозможных билетиков:
И наконец, переходим к самому сложному этапу: нам необходимо посчитать число всех «счастливых» билетиков. Для этого воспользуемся символом Кронекера, который будет учитывать наше условие:
Эта сумма пробегает по каждому номеру и учитывает все возможные перестановки.
В игру входит ТФКП
А теперь применим интегральное представление символа Кронекера:
Давайте, чтобы все было честно, докажем это тождество. Тут-то нам и понадобятся знания ТФКП! Ведь этот интеграл мало того, что содержит мнимое число, так еще и содержит в себе особую точку в нуле. Эта точка является полюсом m ‑ n + 1 порядка, из теории вычетов мы знаем как вычисляется вычет в полюсе n‑го порядка в нуле:
Подставим нашу функцию:
Таким образом мы доказали интегральное представление дельта‑символа.
Напишем, с учетом этого выражения чему равняется наше искомое число «счастливых» билетиков:
Теперь можно разделить суммы и заметить, что индексы не зависят от друг друга:
Как видно две суммы представляют собой геометрические прогрессии, тогда:
Для вычисления этого интеграла нам необходимо найти коэффициент в ряду Лорана при минус первой степени. Чтобы это сделать давайте вспомним:
Теперь для разложения исходной функции нам достаточно заметить что она является шестой производной данной функции.
Продолжая дифференцировать, плучим:
Вторая функция раскладывается элементарно:
Остается только собрать коэффициенты минус первой степени,
им соответствуют n = 27,17 и 7. Дальше подставляем эти номера в наше выражение и считаем на калькуляторе, чтобы не ошибиться.
Ну и наконец, найдем вероятность выпадения нашего билета:
Поздравляю! Мы только что решили задачу.
Этот подход не только элегантен, но и демонстрирует мощь аналитических методов в дискретной математике. Надеюсь, вам было интересно и вы узнали что‑то новое!
Автор: LeonidBad