Главная

Это очень просто

2017-04-11 в 6:46, admin, рубрики: арифметика, Занимательные задачки, период десятичной дроби, Спортивное программирование

Рассмотрим следующую задачу. Найти период дроби 1/81. Уверяю, что для решения не потребуется ни калькулятор, ни деление столбиком. Для начала вспомним чему равно 81*(Период). Пусть длина периода n, тогда исходная дробь запишется как:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{Период}{10^{2n}}+frac{Период}{10^{3n}}+...$

Перепишем данное представление в следующем виде:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{1}{10^n}*(frac{Период}{10^{n}}+frac{Период}{10^{2n}}+..)$

Последнее выражение можно представить так:

$frac{1}p=frac{Период}{10^n}+frac{1}{10^n}*frac{1}p$

Ну а теперь то соотношение, которое мы искали:

$p*Период=10^n-1$

Для нашего случая это тождество будет следующим:

$81*Период=10^n-1$

Разделим левую и правую часть на 9, получим:

$9=111...111$

Первое число, составленное из одних единиц, которое делится на 9 равно 111111111, это следует из признака делимости на 9. Делить будем через сумму цифр исходного числа. Двигаемся слева направо, складываем цифры делимого и на каждом шаге записываем полученную сумму. Результат работы данного алгоритма — число 12345678,9999… Здесь надо пояснить, что когда мы достигаем крайней правой цифры, то ставим запятую и полученную сумму цифр исходного числа дублируем как бесконечную десятичную дробь. Вспоминаем, что 0,999...=1 и получаем ответ, который мы искали 12345679. Если рассмотреть более общую задачу нахождения периода дроби $frac{1}{9^n}$ , то окажется, что период такой дроби имеет длину ${9^{n-1}}$ и если известен период для случая n-1, то следующий равен произведению данного периода на число вида 11111… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз)22222… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз)33333… (повторяется ${9^{n-1}}$ раз). Самая правая секция будет иметь вид 8888..889. Последняя цифра девятка.

Приведу код процедур, которые я использовал для проверки своих выводов.

Function GreatestCommonDivisor(x,y)

    if x=y then
        return x;
    endif;  

    a=min(x,y);
    if a=1 then
        return 1;
    endif;  
    b=x+y-a;

    while TRUE do
     c=b%a; 
     if c=0 then
         return a;
     endif;  
     b=a;
     a=c;
    enddo;

EndFunction

Function NumeratorFractionPeriod(numerator,denumerator)

    // дробь a/b

    a=numerator;
    b=denumerator;

    while b%2=0 do
        b=b/2;
        a=a*5;
    enddo;  

    while b%5=0 do
        b=b/5;
        a=a*2;
    enddo;  
    //наибольший общий делитель
    c=GreatestCommonDivisor(a,b);
    a=a/c;
    b=b/c;

    if b=1 then
        Period=string(a);
        return Period;
    endif;

    if a>b then
        Period=string((a-a%b)/b);
        a=a%b;
        if a=0 then
            return Period;
        endif;  
        Period=Period+"(";
    else
        Period="(";
    endif;      

    while a%10=0 do
        a=a/10;
    enddo;  

    i=a;
    while TRUE do
        j=0;
        while i<b do
            i=i*10;
            j=j+1;
            if j>1 then
             Period=Period+"0";
            endif; 
        enddo;  

        check=i-a;
        if (check%b)=0 then
            Period=Period+(check)/b;
            break;
        else
            j=i%b;
            Period=Period+(i-j)/b;
            i=j;
        endif;    
    enddo;

    return Period+")";
EndFunction

Автор: scientes

Источник