Перевод статьи Godfried Toussaint The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms.
От переводчика
В Sonic Pi есть функция spread, которая принимает два числовых параметра и возвращает набор значений для генерации ритма. В описании этой функции есть ссылка на работу «The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms». Эта блестящая статья, вышедшая аж в 2005 году, похоже, так и не была переведена на русский язык. Не будучи специалистом по переводам, я попытался, тем не менее, восполнить этот пробел.
Конспект
Евклидов алгоритм (дошедший до нас из «Начал» Евклида) подсчитывает наибольший общий делитель двух целых чисел. Настоящая работа демонстрирует, что структура евклидова алгоритма может быть использована для того, чтобы очень эффективно генерировать большое семейство ритмов, используемых в качестве пульсаций (остинато), в частности в музыке тропической Африки, и в традиционной музыке вообще. Эти ритмы, называемые здесь евклидовыми ритмами, имеют то свойство, что их ударные рисунки распределяются насколько возможно равномерно. Евклидовы ритмы также находят приложение в ускорителях в атомной физике и в компьютерных науках, и тесно связаны с несколькими семействами слов и последовательностями, изучаемыми комбинаторикой слов, такими как евклидовы строки, с которыми сравнивают евклидовы ритмы.
1. Введение
Что общего у африканских ритмов, расщепляющих нейтронных ускорителей (SNS — spallation neutron source) в атомной физике, теории строк в компьютерных науках и древнего алгоритма, описанного Евклидом? Короткий ответ таков: паттерны распределяются насколько возможно равномерно. Чтобы получить более длинный ответ, читайте дальше.
Математика и музыка тесно связаны со времен Пифагора. Однако, по большей части их взаимодействие находилось в сфере тонов и звукорядов. За историческими примерами подобного взаимодействия отошлем читателя к прекрасному докладу Коксетера [9]. С другой стороны, ритм на протяжении истории в основном игнорировали. В этой работе мы устанавливаем определенные математические связи между музыкальным ритмом и другими областями знания, такими как атомная физика и компьютерные науки, а также с работой другого известного древнегреческого математика, Евклида из Александрии.
2. Системы времени в нейтронных ускорителях
Бьорклунд рассматривает следующую проблему [5], [4] в связи с работой некоторых компонент (таких как высоковольтные источники питания) расщепляющих ускорителей нейтронов (SNS), используемых в атомной физике. Время делится на интервалы (в случае SNS ускорителя 10 секунд). В некоторые из этих интервалов система времени включает затвор, генерируя импульсы для выполнения этой задачи. Для данного числа n временных интервалов и другого числа k < n – количества импульсов, задача состоит в распределении импульсов насколько возможно равномерно по этим интервалам. Бьорклунд [5] представляет эту задачу в виде двоичной последовательности из k единиц и n – k нулей, где каждое число обозначает временной интервал, и единицы обозначают импульсы. Задача тогда сводится к следующему: построить двоичную последовательность из n бит с k единицами, так чтобы единицы равномерно распределялись среди нулей. Если k делится нацело (без остатка) на n, то решение очевидно. Например, если n =16 и k = 4, то решение [1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0]. Задача представляет интерес, когда k и n являются взаимно простыми числами[23], то есть когда k и n не имеют общих делителей кроме единицы.
Мы опишем алгоритм Бьорклунда, используя один из его примеров. Рассмотрим последовательность с n = 13 и k = 5. Поскольку 13 – 5 = 8, мы начнем с рассмотрения последовательности, состоящей из 5 единиц, за которыми следуют 8 нулей, которую можно также представить в виде 13 последовательностей из одного бита:
[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]
Начнем двигать нули, помещая по нулю после каждой единицы, и получим пять последовательностей по два бита, и еще три нуля:
[10] [10] [10] [10] [10] [0] [0] [0]
Затем распределим три оставшихся нуля таким же образом, помещая [0] после каждой последовательности [10], и получим:
[100] [100] [100] [10] [10]
Теперь у нас есть три последовательности по три бита, и остаются две последовательности по два бита. Поэтому продолжим таким же образом, помещая последовательность [10] после каждой последовательности [100], и получим:
[10010] [10010] [100]
Процесс завершается, когда остается только одна последовательность (в нашем случае последовательность [100]), или у нас заканчиваются нули. Финальная последовательность таким образом является конкатенацией [10010], [10010] и [100]:
[1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0]
Заметим, что можно сделать еще один шаг и вставить [100] между [10010] и [10010]. Однако, Бьорклунд утверждает, что поскольку последовательность является циклической, это не имеет значения (отсюда его правило остановки). Бьорклунд [5] доказал, что финальная последовательность может быть построена из первоначальной последовательности используя O(n) арифметических операций в худшем случае.
3. Евклидов алгоритм
Один из старейших известных алгоритмов, описанный в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) в Предложении 2 Книги VII, который в наши дни называют алгоритмом Евклида, находит наибольший общий делитель двух данных целых чисел [12], [14]. Идея очень проста. Меньшее из чисел последовательно вычитается из большего до тех пор, пока мы не достигнем нуля, или получим число, которое меньше, чем меньшее из двух данных чисел, в этом случае оно называется остатком. Этот остаток затем снова последовательно вычитается из меньшего числа, чтобы получить новый остаток. Этот процесс продолжается до тех пор, пока остаток не оказывается нулевым. Для большей конкретности рассмотрим пример с числами 5 и 8, которые мы использовали выше. Сперва 8 делится на 5 с остатком 3. Затем 5 делится на 3 с остатком 2. Затем 3 делится на 2 с остатком 1. Наконец 2 делится на 2 с остатком 0. Наибольший общий делитель таким образом 1. Хотя оригинальный алгоритм Евклида использовал таким образом последовательное вычитание, обычное деление тоже будет работать, и даже быстрее. Шаги этого процесса могут быть подытожены следующей последовательностью равенств:
8 = (1)(5) + 3
5 = (1)(3) + 2
3 = (1)(2) + 1
2 = (1)(2) + 0
Этот алгоритм может быть кратко описан рекурсивным образом, как это сделано в [8]. Пусть m и k будут исходными числами, где m > k.
EUCLID(m, k)
1. if k = 0
2. then return m
3. else return EUCLID(k, m mod k)
Запустив этот алгоритм с m = 8 и k = 5, мы получим:
EUCLID(8,5) = EUCLID(5,3) = EUCLID(3,2) = EUCLID(2,1) = EUCLID(1,0) = 1
Из описания евклидова алгоритма ясно, что, если m и k равны числу нулей и единиц соответственно в двоичной последовательности (где n = m + k), тогда структура евклидова алгоритма такая же, как структура алгоритма Бьорклунда, описанного выше. Действительно, алгоритм Бьорклунда использует деление в форме последовательного вычитания, точно так же, как Евклид делал в «Началах» [12]. Также хорошо известно, что алгоритм EUCLID(m, k) будучи применен к двум O(n)-битным числам (двоичным последовательностям длиной n) потребует O(n) арифметических операций в худшем случае [8].
4. Евклидовы ритмы в традиционной этнической музыке
Распространен метод представления музыкальных ритмов в виде двоичных последовательностей, где каждый бит рассматривается как единица времени (например, шестнадцатая нота), и нулевой бит представляет молчание (или безударную ноту), в то время как единичный бит представляет атаку (или начало) ноты [31]. Поэтому двоичные последовательности, сгенерированные алгоритмом Бьорклунда как описано выше, могут рассматриваться как одно семейство ритмов. Более того, поскольку алгоритм Бьорклунда имеет ту же структуру, что и евклидов алгоритм, будем называть эти ритмы евклидовыми ритмами, и обозначать как E(k, n), где k означает число единиц, а n общую длину последовательности (нулей и единиц). Например, E(5, 13) = [1001010010100]. Нотация из нулей и единиц не идеальна для представления двоичных ритмов, поскольку трудно визуализировать положения ударов и длину межударных интервалов. В музыковедческой литературе обычно используют символ ‘x’ для единичного бита и символ ‘.’ для нулевого бита. В этой более традиционной нотации предыдущий ритм записывается как E(5, 13) = [x.. x. x.. x. x. .].
Ритм Е(5, 13) – это циклический ритм протяженностью (размером) в 13 долей. Это не самый распространенный размер в мировой музыке. Рассмотрим для контраста два распространенных значения k и n; а именно, что такое E(3, 8)? Применяя евклидов алгоритм к соответствующей последовательности [1 1 1 0 0 0 0 0], читатель может легко проверить, что в результате будет получен евклидов ритм E(3, 8) = [x.. x.. x .]. Этот ритм иллюстрирует многоугольник (треугольник) на рисунке 1(а), другой удобный и распространенный способ представления циклических ритмов [31], где предполагается, что ритм начинается в точке, обозначенной как «ноль», время движется по часовой стрелке, и числа по сторонам треугольника обозначают межударные интервалы. В самом деле, это даже более компактное представление ритма в виде соединяющего межударные длительности интервального вектора [32].
Рисунок 1: (а) евклидов ритм E(3, 8) – это кубинский tresillo, (b) евклидов ритм E(5, 8) – это кубинский cinquillo.
Евклидов ритм E(3, 8), изображенный на рисунке 1(а) является одним из самых знаменитых на планете. На Кубе он называется tresillo, а в США известен как ритм хабанеры, использовавшийся в сотнях рокабилли песен на протяжении 1950-х. Его часто можно услышать в ранних рок-н-ролльных хитах в фигурах в левой руке на клавишных или исполняемым в партии контрабаса или саксофона [7], [15], [22]. Хороший пример – ритм басовой партии в Hound Dog Элвиса Пресли. Фигура tresillo также широко распространена в народной музыке Западной Африки. Например, она играется на колокольчике atoke в танцах Sohu и Ewe из Ганы [16]. Можно также распознать tresillo в первом такте вездесущего clave Son, данного в виде [x.. x.. x... x. x.. .].
В двух предыдущих примерах (Е(5, 13) и Е(3, 8)) число единиц меньше, чем число нулей. Если вместо этого число единиц больше, чем число нулей, алгоритм Бьорклунда дает следующие шаги, например, при k = 5 и n = 8.
[1 1 1 1 1 0 0 0]
[10] [10] [10] [1] [1]
[101] [101] [10]
[1 0 1 1 0 1 1 0]
Полученный в результате Евклидов ритм Е(5, 8) = [x. x x. x x .]. Этот ритм иллюстрирует многоугольник (пятиугольник) на рисунке 1 (b). Это еще один знаменитый на мировой сцене ритм. На Кубе он известен под названием cinquillo и внутренне соотносится с tresillo [15]. Он использовался в джазе на протяжении 20 века [27], как и в музыке рокабилли 1950-х. Например, это рисунок хлопков ладони в Hound Dog Элвиса Пресли [7]. Фигура cinquillo также широко распространена в традиционной музыке Западной Африки [26], [31].
В оставшейся части этого раздела мы опишем некоторые наиболее распространенные евклидовы ритмы в музыке мира. В некоторых случаях евклидов ритм является обращенной (rotated, образованной при помощи поворота – пер.) версией широко используемого ритма. Если ритм является обращенной версией другого, мы говорим, что оба принадлежат к одному ожерелью (necklace). Таким образом ожерелье ритма – это модель межударных длительностей, которая не принимает в расчет стартовую точку цикла. Пример двух ритмов, которые являются экземплярами одного и того же ожерелья представлены на рисунке 2.
Рисунок 2. Эти два ритма являются вариантами одного и того же ритмического ожерелья.
Простейшие ритмы имеют значение k = 1. Это подсемейство евклидовых ритмов дает:
E(1, 2) = [x .]
E(1, 3) = [x. .]
E(1, 4) = [x.. .] и т. д.
Заметим, что поскольку нас интересуют циклические непериодические ритмы, нет необходимости перечислять ритмы, в которых используются множители k и n. Например, умножая (1, 3) на 4, получим (4, 12), что дает ритм:
Е(4, 12) = [x.. x.. x.. x.. ],
который в свою очередь является периодическим с четырьмя повторениями Е(1, 3) = [x. .]. Кстати, Е(4, 12) = [x.. x.. x.. x. .] – это паттерн Фанданго в размере 12/8 в музыке фламенко в северной Испании, где ‘x’ обозначает громкий хлопок, а ‘.’ тихий хлопок [10].
E(2, 3) = [x. x] – это распространенная афро-кубинская фигура для ударных. Например, она встречается в ритме conga в Swing Tumbao (в размере 6/8) [18]. Она также распространена в латиноамериканской музыке, как например в Cueca [33].
E(2, 5) = [x. x. .] – это персидский ритм тринадцатого столетия, который называется Khafif-e-ramal [34]. Это также метрический рисунок второй части Симфонии №6 Чайковского [17]. Когда он начинается со второй ударной доли ([x.. x .]), то это метрическая фигура из Take Five Дейва Брубека, а также из «Марса» в «Планетах» Густава Хольста [17].
E(3, 4) = [x. x x] – это архетипическая пульсация Cumbia из Колумбии [20], также, как и ритм Calypso из Тринидада [13]. Это также и персидский ритм тринадцатого столетия под названием Khalif-e-saghil [34], и ритмический рисунок trochoid choreic из древней Греции [21].
E(3, 5) = [x. x. x], когда начинается на второй ударной доле – это другой персидский ритм тринадцатого столетия, называющийся Khafif-e-ramal [34], а также ритм румынского народного танца [25].
E(3, 7) = [x. x. x. .] – это ритм Ruchenitza, используемый в болгарском народном танце [24]. Также это метрический рисунок в Money Pink Floyd.
E(3, 8) = [x.. x.. x .] – это кубинский паттерн tresillo, который мы обсуждали выше [15].
E(4, 7) = [x. x. x. x] – это еще один вариант ритма болгарского народного танца Ruchenitza [24].
E(4, 9) = [x. x. x. x. .] – это турецкий ритм Aksak [6]. Это также метрический рисунок, использованный Дейвом Брубеком в пьесе Rondo a la Turk [17].
E(4, 11) = [x.. x.. x.. x .] – это метрическая фигура, использованная Френком Заппой в его пьесе под названием Outside Now [17].
Е(5, 6) = [x. x x x x] дает рисунок York-Samai, популярный арабский ритм, когда начинается на второй ударной доле [30].
E(5, 7) = [x. x x. x x] – это рисунок Nawakhat, другой популярный арабский ритм [30].
E(5, 8) = [x. x x. x x .] – это кубинский ритм cinquillo обсуждавшийся выше [15]. Когда он начинается со второй ударной доли, это также испанское танго [13] и персидский ритм тринадцатого столетия Al-saghilal-sani [34].
E(5,9) = [x. x. x. x. x] – это популярный арабский ритм Agsag-Samai [30]. Когда он начинается на второй ударной доле, это барабанный рисунок, используемый Venda в Южной Африке[26], а также румынский народный танцевальный ритм [25].
E(5,11) = [x. x. x. x. x. .] – это метрический рисунок, использованный Мусоргским в «Картинках с выставки» [17].
E(5,12) = [x.. x. x.. x. x .] – это рисунок хлопков Venda из южноафриканской детской песни [24].
E(5,16) = [x.. x.. x.. x.. x... .] – это ритмическое ожерелье бразильской босса-новы. Обычно ритм босса-новы начинается на третьей ударной доле следующим образом: [x.. x.. x... x.. x. .] [31]. Однако, существуют и другие стартовые точки, как например [x.. x.. x.. x... x. .] [3].
E(7,8) = [x. x x x x x x] – это типичный ритм, исполняемый на Bendir (рамочном барабане), и используемый как аккомпанемент в песнях туарегов в Ливии [30].
E(7,12) = [x. x x. x. x x. x .] – это обычный рисунок западно-африканского колокольчика. Например, он используется в ритме Mpre у ашанти в Гане [32].
E(7,16) = [x.. x. x. x.. x. x. x .] – это ритмическое ожерелье самбы из Бразилии. Ритм самбы [x. x.. x. x. x.. x. x .] получается если начинать E(7,16) на последней доле. Когда E(7,16) начинается на пятой ударной доле, это рисунок хлопков из Ганы [24].
E(9,16) = [x. x x. x. x. x x. x. x .] – это ожерелье ритмов из Центрально-Африканской Республики [2]. Когда он начинается на четвертой доле – это ритм, исполняемый в Западной и Центральной Африке [15], а также рисунок кау-белла в бразильской самбе [29]. Когда он начинается на предпоследней доле, это рисунок колокольчика из ритмов Ngbaka-Maibo в Центрально-Африканской Республике [2].
E(11,24) = [x.. x. x. x. x. x.. x. x. x. x. x .] – это ожерелье ритмов пигмеев ака из Центральной Африки [2]. Он обычно начинается на седьмой доле.
E(13,24) = [x. x x. x. x. x. x. x x. x. x. x. x .] это другое ожерелье ритмов пигмеев ака из верхнего Санга [2]. Он обычно начинается на четвертой доле.
5. Евклидовы строки
В изучении комбинаторики слов и последовательностей, существует семейство строк, называемых евклидовыми строками [11]. В этом разделе мы исследуем отношение, которое существует между евклидовыми строками и евклидовыми ритмами. Мы будем использовать терминологию и нотацию, введенную в [11].
Рисунок 3: Два правых поворота строки Bembé: а) Bembé b) поворот на одно деление c) поворот на семь делений
Пусть P = (p0, p1, ..., pn−1) обозначает строку из положительных целых чисел. Пусть ρ(P) обозначает вращение P на одну позицию вправо, т.е., ρ(P) = (pn−1, p0, p1, ..., pn−2), и пусть ρd(P) обозначает вращение P вправо на d позиций. Рисунок 3 иллюстрирует оператор ρ(P) с P эквивалентным ритму колокольчика Bembé в Западной Африке [32]. Рисунок 3 (a) показывает ритм колокольчика Bembé, рисунок 3 (b) показывает ρ(P), это ритм хлопков из Западной Африки [24], и рисунок 3 © показывает ρ7(P), который является ритмом Tambú из Кюрасао[28].
Эллис и др. [11], определяют строку P = (p0, p1, ..., pn−1) как евклидову строку, если увеличение p0 на единицу и уменьшение pn−1 на единицу дает новую строку, обозначаемую как τ(P), которая является вращением P, т.е., P и τ(P) являются экземплярами одного и того же ожерелья. Таким образом, если мы представляем ритмы как двоичные последовательности, евклидовы ритмы не могут быть евклидовыми строками, поскольку благодаря свойствам использованного алгоритма, все евклидовы ритмы начинаются с единицы. Увеличение p0 на единицу сделает из него двойку, и строка перестанет быть двоичной последовательностью. Поэтому, чтобы исследовать связь между евклидовыми строками и евклидовыми ритмами, здесь мы будем представлять ритмы посредством соединяющих межударные длительности интервальных векторов (интервальных векторов для краткости), которые также образуют строки из неотрицательных целых чисел. В качестве примера рассмотрим турецкий ритм Aksak [6] задающийся как E(4,9) = [x. x. x. x. .]. В интервально-векторной нотации мы получим, что E(4,9) = (2223). Теперь τ(2223) = (3222), что является вращением E(4,9), и является таким образом евклидовой строкой. В самом деле, для P = E(4,9), τ(P) = ρ3(P). В качестве второго примера рассмотрим западноафриканский ритм хлопков, показанный на рисунке 3 (b), и задающийся посредством P =(1221222). Мы видим, что τ(P) = (2221221) = ρ6(P), фигура, изображенная на рисунке 3 ©, которая также является зеркальным отражением P по оси (0,6). Таким образом P – евклидова строка. Однако заметим, что P не является евклидовым ритмом. Тем не менее, P является вращением евклидова ритма E(7,12) = (2122122).
Эллис и др. [11], получают множество прекрасных результатов относительно евклидовых строк. Они показывают, что евклидовы строки существуют тогда и только тогда, когда n и (p0, p1, ..., pn−1) являются взаимно простыми числам, и что, когда они существуют, они уникальны. Они также показывают, как создавать евклидовы строки, используя алгоритм, который имеет ту же структуру, что и евклидов алгоритм. Кроме того, они соотносят евклидовы строки со многими другими семействами последовательностей, изучаемых в комбинаторике слов [1], [19].
Пусть R(P) обозначает строку, обратную P (зеркальное отражение), т.е., R(P) = (pn−1, pn−2, ..., p1, p0). Например, для ритма Aksak, где P = (2223), мы получим R(P) = (3222), т.е., R(P) подразумевает исполнение ритма P задом наперед начиная с той же доли. Сейчас мы можем определить, какие из евклидовых ритмов, используемых в музыке мира, перечисленных выше, являются евклидовыми строками или обратными евклидовыми строками. Длина евклидовой строки определяется количеством входящих в нее чисел. В сфере ритмов это количество ударных долей, которое содержит ритм. Кроме того, очевидно, что строки длиной в один символ являются евклидовыми строками. Таким образом все тривиальные евклидовы ритмы с одной ударной долей, такие как E(1,2) = [x. ] = (2), E(1,3) = [x. .] = (3), и E(1,4) = [x.. .] = (4), и т. д., являются одновременно и евклидовыми строками, и обратными евклидовыми строками. В следующем списке евклидовы ритмы показаны как в традиционной нотации, так и в интервально-векторном представлении. Также перечислены стили музыки, которые используют эти ритмы. Наконец, если исполняется только обратная версия евклидова ритма, он включается в список, но описывается как ожерелье.
Следующие евклидовы ритмы являются евклидовыми строками:
E(2,5) = [x. x. .] = (23) (классическая музыка, джаз, и персидская музыка).
E(3,7) = [x. x. x. .] = (223) (болгарская народная музыка).
E(4,9) = [x. x. x. x. .] = (2223) (турецкая).
E(5,11) = [x. x. x. x. x. .] = (22223) (классическая музыка).
E(5,16) = [x.. x.. x.. x.. x... .] = (33334) (бразильское ожерелье).
Следующие евклидовы ритмы являются обратными евклидовыми строками:
E(2,3) = [x. x] = (21) (Западная Африка, Латинская Америка).
E(3,4) = [x. x x] = (211) (Тринидад, Персия).
E(3,5) = [x. x. x] = (221) (румынские и персидские ожерелья).
E(3,8) = [x.. x.. x .] = (332) (Западная Африка).
E(4,7) = [x. x. x. x] = (2221) (Болгария).
E(4,11) = [x.. x.. x.. x .] = (3332) (Френк Заппа).
E(5,6) = [x. x x x x] = (21111) (арабская музыка).
E(5,7) = [x. x x. x x] = (21211) (арабская музыка).
E(5,9) = [x. x. x. x. x] = (22221) (арабские ритмы, южноафриканские и румынские ожерелья).
E(5,12) = [x.. x. x.. x. x .] = (32322) (Южная Африка).
E(7,8) = [x. x x x x x x] = (2111111) (ритм туарегов в Ливии).
E(7,16) = [x.. x. x. x.. x. x. x .] = (3223222) (бразильское ожерелье).
E(11,24) = [x.. x. x. x. x. x.. x. x. x. x. x .] = (32222322222) (Центральная Африка).
Следующие евклидовы ритмы не являются ни евклидовыми, ни обратными евклидовым строками:
E(5,8) = [x. x x. x x .] = (21212) (Западная Африка).
E(7,12) = [x. x x. x. x x. x .] = (2122122) (Западная Африка).
E(9,16) = [x. x x. x. x. x x. x. x .] = (212221222) (Западная и Центральная Африка, и бразильские ожерелья).
E(13,24) = [x. x x. x. x. x. x. x x. x. x. x. x .] = (2122222122222) (центрально-африканское ожерелье).
6. Заключительные замечания
Мы описали новое семейство музыкальных ритмов, названных евклидовыми ритмами, которые можно получить, используя алгоритм Бьорклунда для генерации последовательностей, имеющий ту же структуру, что евклидов алгоритм. Было показано, что многие ритмы, используемые в музыке мира, являются евклидовыми ритмами. Некоторые из этих евклидовых ритмов являются также евклидовыми строками [11].
Три группы евклидовых ритмов, представленные в предыдущей секции, выявляют привлекательную схему. Те евклидовы ритмы, что также являются евклидовыми строками (первые четыре из первой группы) используются в классической музыке, джазе, болгарской, турецкой и персидской музыке, но не популярны в музыке Африки. Евклидовы ритмы, которые не являются ни евклидовыми строками, ни обращенными евклидовыми строками (первые два из третьей группы), используются только в музыке Черной Африки. Наконец, евклидовы ритмы, которые являются обратными евклидовыми строками (вторая группа), кажется, имеют гораздо большую притягательность. Поиск музыковедческих объяснений очевидным предпочтениям этих математических свойств порождает интересную этно-музыковедческую проблему.
Евклидовы строки, описанные в [11] определяют другое семейство ритмов, многие из которых также используются в музыке мира, но не обязательно являются евклидовыми ритмами, как например (1221222), афро-кубинский ритм колокольчика. Таким образом было бы интересно эмпирически исследовать связь между евклидовыми строками и ритмами в мировой музыке, и формально определить точное математическое отношение между евклидовыми ритмами и евклидовыми строками.
Литература
[1] J.-P. Allouche and J. O. Shallit. Automatic Sequences. Cambridge University Press, Cambridge, England, 2002.
[2] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991.
[3] Gerard Behague. Bossa and bossas: recent changes in Brazilian urban popular music. Ethnomusicology, 17(2):209–233, 1973.
[4] E. Bjorklund. A metric for measuring the evenness of timing system rep-rate patterns. SNS ASD Technical Note SNS-NOTE-CNTRL-100, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, U.S.A., 2003.
[5] E. Bjorklund. The theory of rep-rate pattern generation in the SNS timing system. SNS ASD Technical Note SNS-NOTE-CNTRL-99, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, U.S.A., 2003.
[6] C. Brauloiu. Le rythme aksak. Revue de Musicologie, 23:71–108, 1952.
[7] Roy Brewer. The use of Habanera rhythm in rockabilly music. American Music, 17:300–317, Autumn 1999.
[8] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. The MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 2001.
[9] H. S. M. Coxeter. Music and mathematics. The Canadian Music Journal, VI:13–24, 1962.
[10] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 — August 1 2004.
[11] John Ellis, Frank Ruskey, Joe Sawada, and Jamie Simpson. Euclidean strings. Theoretical Computer Science, 301:321–340, 2003.
[12] Euclid. Elements. Dover, 1956. Translated by Sir Thomas L. Heath.
[13] Bob Evans. Authentic Conga Rhythms. Belwin Mills Publishing Corporation, Miami, 1966.
[14] Philip Franklin. The Euclidean algorithm. The American Mathematical Monthly, 63(9):663–664, November 1956.
[15] S. A. Floyd Jr. Black music in the circum-Caribbean. American Music, 17(1):1–38, 1999.
[16] R. Kauffman. African rhythm: A reassessment. Ethnomusicology, 24(3):393–415, Sept. 1980.
[17] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991.
[18] Töm Klöwer. The Joy of Drumming: Drums and Percussion Instruments from Around the World. Binkey Kok Publications, Diever, Holland, 1997.
[19] M. Lothaire. Algebraic Combinatorics on Words. Cambridge University Press, Cambridge, England, 2002.
[20] Peter Manuel. The anticipated bass in Cuban popular music. Latin American Music Review, 6(2):249–261, Autumn-Winter 1985.
[21] Thomas J. Mathiesen. Rhythm and meter in ancient Greek music. Music Theory Spectrum, 7:159–180, Spring 1985.
[22] Craig Morrison. Go Cat Go: Rockabilly Music and Its Makers. University of Illinois Press, Urbana, 1996.
[23] C. Stanley Ogilvy and John T. Anderson. Excursions in Number Theory. Oxford University Press, New York, 1966.
[24] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983.
[25] Vera Proca-Ciortea. On rhythm in Rumanian folk dance. Yearbook of the International Folk Music Council, 1:176–199, 1969.
[26] Jay Rahn. Asymmetrical ostinatos in sub-saharan music: time, pitch, and cycles reconsidered. In Theory Only, 9(7):23–37, 1987.
[27] Jay Rahn. Turning the analysis around: African-derived rhythms and Europe-derived music theory. Black Music Research Journal, 16(1):71–89, 1996.
[28] Rene V. Rosalia. Migrated Rhythm: The Tambú of Curaçao. CaribSeek, 2002.
[29] Doug Sole. The Soul of Hand Drumming. Mel Bay Productions Inc., Toronto, 1996.
[30] James A. Standifer. The Tuareg: their music and dances. The Black Perspective in Music, 16(1):45–62, Spring 1988.
[31] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, MD, July 27-29 2002.
[32] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003.
[33] Pedro van der Lee. Zarabanda: esquemas rítmicos de acompañamiento en 6/8. Latin American Music Review, 16(2):199–220, Autumn-Winter 1995.
[34] O. Wright. The Modal System of Arab and Persian Music AD 1250-1300. Oxford University Press, Oxford, England, 1978.
Годфри Туссен
School of Computer Science, McGill University, Montréal, Québec, Canada
godfried@cs.mcgill.ca
Исследование выполнено при поддержке NSERC и FCAR
Автор: hippus
