Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана»)

Как-то мне понадобилась "собственная мода оптоволокна". Но я нигде не нашел аналитического выражения электромагнитного поля. Ну и «сделал сам», раз не нашел, и оформил для всех тут, в статье. Так что, скорее всего, нигде больше вы такого не встретите — уникальнейшая вещь! В книжках это не пишут, потому что оно длинное — обычно пишут самое простое, а про общий случай упоминают вскользь. Ну вот он, общий случай, под катом.

Постановка задачи

Решить уравнения Максвелла с условиями:
— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса с диэлектрической проницаемостью и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью ,
— поле периодично по , пространственная частота всех компонент поля едина: ,
— компоненты поля на оси — без особенностей,
— компоненты поля при интегрируемы с квадратом,
— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра — непрерывны:

1. Преобразование уравнений Максвелла, вызванное периодичностью по

Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по :

получаются уравнения на -компоненты поля:

При этом остальные компоненты выражаются через -компоненты по закону:

где — единичный вектор вдоль оси , , .

2. Уравнения на -компоненты в полярных координатах

Уравнения на имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:

В полярных координатах уравнение имеет вид:

3. Разделение переменных в уравнении

Подстановкой в уравнение зависимости переменные разделяются:

Обозначив константу равенства символом выписываются обе части равенства:

$$display$$- frac{1}{v(varphi)}frac{partial^2 }{partial varphi^2}v(varphi) = nu^2,$$display$$

4. Решение первого уравнения

Первое уравнение имеет решения: .

Из периодического граничного условия , следует, что — целое:

5. Решение второго уравнения

Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:
1. Уравнение Бесселя:

2. Модифицированное уравнение Бесселя:

Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя и функции Неймана . Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда и функции Макдональда .

В силу граничных условий: при — функция без особенностей, при — функция интегрируема с квадратом, при — тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при — функция Бесселя , при — функция Макдональда .

Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка, :

6. Общий вид компонент

Введя обозначения: компоненты записываются в виде:

Здесь полагается, что (может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место , знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.

Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости: — в сердцевине, — в оболочке.

7. Соотношения на константы

Используя закон

находятся компоненты , имея при этом в виду, что .
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:

Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы , которая имеет вид:

8. Дисперсионное соотношение

Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:

В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения: и соотношения: , которые следуют из введенных ранее определений: .

Величины — связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что — едина для всех компонент:

9. Моды

Для нахождения из системы уравнений:

необходимо задать: .

Связь и первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от .

Связь и вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от . Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.

Набор решений составляет конечное число пар чисел . Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».

Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы () — на первом месте буква с наибольшей -компонентой и два индекса: на первом месте , на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).

Примеры обозначения:
говорит о том, что больше, чем , , выбрана пара (см.рис. выше) ,
говорит о том, что больше, чем , , выбрана пара (см.рис. выше) (третья синяя ветвь).

10. Порядок построения компонент поля

Подготовительные вычисления:

01. Задать ;
02. Найти наборы , выбрать один, (п.9);
03. Вычислить , (п.8);
04. Вычислить , (п.7).

Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:

Далее, при :

При :

Далее

При этом замыкающие соотношения стандартные:(индексы указывают на соответствующие среды).

Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:

Для магнитных компонент матрица та же.

11. Замечания

Выбирая можно добиться единственности решения:

Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.

Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды : векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.

Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды

и моды

Автор: FransuaMaryDelone

Источник