Феномен постоянной Капрекара. 6174 — таинственное «число великой радости» или непреодолимая стена?

Жара стояла невыносимая, солнце безжалостно сжигало пыльную деревенскую дорогу. Люди не могли думать ни о чём, кроме спасительной тени или живительной прохлады расположенной неподалёку реки. Среди бредущих по дороге изнурённых жарой путников выделялся один худощавый человек на велосипеде — сельский учитель, который, казалось, не замечал ни зноя, ни удушающей пыли. Он неторопливо крутил педали, а лицо его выражало радость и целеустремлённость. Да и какое ему было дело до всех невзгод, когда он размышлял о числах, об идеальном, строгом и прекрасном мире математики. В тот день его разум занимало только одно число — 6174...

Ненадолго оставим нашего героя и поговорим про это самое число. Что же в нём такого особенного? Казалось бы, обычное натуральное чётное четырёхзначное число. Не лучше и не хуже, чем, скажем, соседние 6173 и 6175. Оно даже не является простым. Тем не менее, это число имеет собственное название — постоянная Капрекара.

Далеко не у всех чисел есть свои собственные названия — математики их просто так не раздают. Тем более с приставкой «постоянная». Интересно, сколько вы навскидку сможете назвать математических постоянных, не заглядывая в справочники?

Давайте разбираться, чем же число 6174 заслужило такую честь. Для этого мы займёмся некоторыми несложными вычислениями.

Невидимая стена

Для начала возьмём любое четырёхзначное число, которое больше 1000 и меньше 9999. Главное условие — нельзя, чтобы все цифры в числе были одинаковыми. Например, 5555 не подходит. А ещё оно должно быть в десятичной системе счисления.

Проделаем с числом следующие действия:

1. Расставим все цифры в числе по убыванию — от наибольшей к наименьшей.
   Например, 5707 преобразуем в 7750. Так мы получим новое число A.

2. Теперь сделаем наоборот: расставим все цифры в числе по возрастанию — от наименьшей к наибольшей.
   Например, 5707 преобразуем в 0577 или просто 577. Так мы получим новое число B.

3. Вычитаем из числа A число B.
   В нашем примере: 7750 − 577 = 7173.

4. Повторяем все шаги с полученным результатом вычитания.

На первый взгляд может показаться, что можно просто бесконечно повторять эти действия. Так себе задачка, ну разве что, потренируемся в устном счёте. Но не тут-то было! Довольно быстро мы получим число 6174, а дальше внезапно упрёмся в невидимую стену. Ведь разность 7641 и 1467 будет равна тому же самому заколдованному числу 6174.

Вы спросите, неужели всегда? В том-то и дело, что всегда!

Например, возьмём исходное число 3871.

• 8731 − 1378 = 7353

• 7533 − 3357 = 4176

• 7641 − 1467 = 6174

На третьем шаге мы уже получили 6174. Количество шагов для разных чисел будет разным, но результат будет неизменным. Долго считать не придётся — вам потребуется сделать не более 7 итераций (например, для числа 6810).

Если не хочется считать самостоятельно, то при желании всегда можно написать несложную программу. Или просто взять готовую ^[1] из огромного количества вариантов на разных языках программирования.

Сколько бы мы ни запускали программу, мы неизменно будем получать результат 6174. Эту удивительную закономерность в 1949 году обнаружил тот самый человек на велосипеде из начала нашей статьи — индийский математик  Даттарая Рамчандра Капрекар, в честь которого число 6174 и получило своё название.

Число радости

Здесь есть ещё один очень интересный момент — 6174 также является одним из так называемых чисел харшад. С санскрита это переводится как «числа великой радости». Так Капрекар назвал числа, которые делятся на сумму своих цифр без остатка.

6174 / (6 + 1 + 7 + 4) = 6174 / 18 = 343

Все числа от 1 до 10 по определению являются числами радости ^[2]. Дальше они встречаются реже: 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, ...

Сам Капрекар всю жизнь работал простым учителем в государственной начальной школе. Математика была его страстью, волшебным источником радости и смысла жизни. Он много публиковался, писал на такие темы, как повторяющиеся десятичные дроби, магические квадраты и целые числа со специальными свойствами. В Индии Даттара Капрекар был известен как популяризатор математики и теории чисел.

Поначалу индийские математики относились к Капрекару скептически, за пределами своей страны он вообще не был известен. В 1975 году Мартин Гарднер написал заметку об этом скромном индийце в колонке «Математические игры» в Scientific American Today. С тех пор имя Капрекара получило мировую известность. Современные математики продолжают изучение свойств чисел, которые впервые обнаружил простой скромный учитель из Индии.

Неподвижные точки

Теперь давайте вернёмся к загадочной постоянной 6174 и попробуем выйти за границы четырёх цифр. Как там обстоят дела с числами, у которых другое количество разрядов?

Оказывается, у постоянной Капрекара существуют аналоги. Их называют «неподвижными точками». Для трёхзначных есть своя «стена», на которой размашисто начертано число 495. С шестизначными числами сложнее — для них есть две неподвижные точки: 549 945 и 631 764.

А вот для двузначных, пятизначных и семизначных чисел неподвижной точки не существует. В большинстве случаев мы в своих вычислениях рано или поздно начнём бесконечно ходить по кругу, не останавливаясь на каком-то одном числе. Глухая стена превращается в замкнутый лабиринт, из которого нет выхода.

Можно продолжить поиски и для чисел с бо́льшим количеством разрядов. Мы получим такой результат:

• 8 разрядов — 63 317 664 и 97 508 421;

• 9 разрядов — 554 999 445 и 864 197 532;

• 10 разрядов — 6 333 176 664, 9 753 086 421 и 9 975 084 201;

• результаты для бо́льшего количества разрядов ^[3].

Кстати, возможно, вы обратили внимание на то, что первые числа для 8 и 10 разрядов подозрительно похожи? Это так называемая универсальная неподвижная точка — число вида 6[3]17[6]4. В квадратных скобках может быть любое количество троек и шестёрок, но важно, чтобы это количество было одинаковым. Например: 6[333]17[666]4. Проверим: 7666643331 − 1333466667 = 6333176664. Но, конечно, далеко не каждую неподвижную точку можно записать в таком виде.

Вопрос вопросов

Так в чём же фокус? Почему вообще существуют неподвижные точки постоянных Капрекара, к которым результаты наших вычислений стекают как масло к горлышку воронки? Почему они есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов?

Может показаться, что все эти вычисления не имеют никакой практической пользы. Но математика тем и интересна, что время от времени порождает революционные идеи из, казалось бы, совершенно бесполезных выкладок. Ну кто в прошлом веке мог предположить, что простые числа так преобразят нашу повседневную жизнь? В математике нет ничего неважного.

Возможно, всё это просто очередной забавный математический трюк, повод поразвлечься вычислениями на досуге. Но что если постоянная Капрекара — ключ к чему-то большему?

Ещё почитать:

• Гипотеза Коллатца — самый крутой математический фокус всех времён ^[4]

• Любимое число Шелдона Купера: можно найти и покруче ^[5]