Математическая продлёнка. Изобретаем целые числа

В этой мини-серии статей я хочу объединить свои заметки для математического кружка о различных необычных, но полезных числовых системах, основанных на парах чисел. План знакомства с числовыми системами будет такой:

1. В этой статье мы (признаюсь, достаточно занудно) построим из натуральных чисел целые, при этом познакомимся с важнейшими инструментами математики: упорядоченной парой, эквивалентностью и факторизацией.

2. Во второй части от целых мы перейдём к рациональным числам, которые тоже можно представить в виде пары — рациональной дроби. Главный вопрос на который мы постараемся ответить: «А чего у дробей всё так сложно-то?»

3. Далее мы сконструируем Гауссовы числа и порассуждаем над более общим вопросом: «Что такое число?»

4. Наконец, перейдём от пар к матричным представленим чисел и познакомимся с двойными и дуальными числами, а также числами Эйзенштейна. Кроме того, порассуждаем над сакраментальным вопросом: «Реальная ли мнимая единица?»

5. Вернёмся к двойным и дуальным числам, чтобы использовать их на практике: понять «Как работает формула Бине?» и как научить числа быть неточными.

⚠ Предупреждение! Первые две статьи достаточно техничные. Они нужны для полноты изложения и носят дидактический характер, полезный для того, чтобы приобщить маткружковцев к духу математики. Однако особых открытий они в себе не таят. За открытиями милости прошу в третью и последующие части, однако для того чтобы понять почему всякая экзотика типа дуальных или двойных чисел вообще имеет право называться числами, имеет смысл заглянуть в первые две части. Для тех кто давно уже в теме, сразу скажу, что они не выходят за пределы стандартного введения в теорию чисел, уровня книжки И. В. Арнольда.

Целые числа

Считать на палочках умеют не только дошколята, но и некоторые смышлëные еноты и даже птицы, такие как вороны, попугаи и павлины. В свою очередь, смышлëные математики поняли, что вместо кучек палочек можно использовать абстракции, например, натуральные числа и быстро забыли про палочки. А что если добавить к палочкам камешки? Получится ли с их помощью выразить что-то иное, существенно отличающееся от натуральных чисел?

Считать на палочках легко: две палочки, да три палочки будет пять палочек, в двух кучках по три палочки всего шесть палочек. Так мы учимся основам арифметики, потому что кучки палочек при сложении, умножении или сравнении, ведут себя как кучки чего угодно. А потом незаметно для себя, мы переходим от палочек к числам и встречаемся с первой серьёзной математической абстракцией: натуральным числом.

Натуральные числа используются нами для счёта неделимых вещей и предметов. Такие числа можно сравнивать между собой и упорядочивать. Их можно складывать, перемножать, возводить в степень, снова получая натуральные числа. Наконец, иногда их можно вычитать (если вычитаемое не превышает уменьшаемого) и делить (если делимое кратно делителю).

А что будет, если прибавить к семи палочкам три камешка? Можно повысить степень абстракции, и сказать, что мы получим десять предметов. Но вообще-то это будет две чётко различимые кучки: 7 палочек и 3 камешка. Если их засунуть в мешок, встряхнуть и снова высыпать, информация никуда не денется, мы опять получим 7 палочек и 3 камешка. В математике такая конструкция из двух несмешиваемых величин называется упорядоченной парой. В нашем случае, мы получили пары натуральных чисел, которые будем записывать следующим образом: Первое число всегда обозначает количество палочек, а второе — количество камешков.

Тут надо сделать техническое замечание. Глядя просто на 7 палочек, без камешков, мы не поймём, что перед нами упорядоченная пара. Так что для определённости в любой паре должны быть и палочки и камешки, хотя бы по одной штуке. Это, к тому же, соответствует устоявшейся в нашей стране традиции начинать ряд натуральных чисел с единицы, а не с нуля.

Итак, мы получили бесконечное множество пар натуральных чисел, теперь попробуем собрать из них корректную числовую систему, а точнее, кольцо.

Алгебраическим кольцом называется множество, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения, такие, что для сложения выполняются переместительный и сочетательный законы, для умножения — сочетательный и распределительный. Кроме того, для сложения есть единственный нейтральный элемент — ноль, и у каждого числа есть противоположное, такое, что в сумме они дают этот самый нейтральный элемент. Как видно, натуральные числа кольцом не являются, поскольку в них отсутствуют противоположные числа и нет нуля.

Сложение

Определим сложение для пар так, как складывались бы настоящие кучки палочек и камешков. Сложив две пары, мы получим новую пару, в которой отдельно сложатся палочки и отдельно — камешки:

Из-за того, что в натуральных числах все необходимые законы для сложения (переместительный и сочетательный) выполняются, они будут выполняться и для сложения пар. Так что с этим возиться не придётся.

Классы эквивалентности

Мы легко различим две пары и , и выглядят они по-разному и весят тоже, если собрать их из настоящих палок и камней. Но есть в них кое-что общее, а именно, разница между количеством палок и камней в обеих парах одинаковая:

Мы станем считать такие пары эквивалентными. Эквивалентность, это не равенство, однако оно очень на него похоже. Обозначается оно так . При этом должны выполняться три закона:

1) 

2) если , то ,

3) если  и , то непременно .

Таким образом, мы будем говорить, что пары и не равны, но эквивалентны друг другу, если дадим корректное определение. Например, такое:

Отношение эквивалентность выполняется, если найдётся такое натуральное , что , либо , .

То есть, , но , потому что . Как видим, эквивалентность более мягкое отношение, чем равенство.

Я не буду, как полагается, доказывать, что определённое нами отношение это настоящая эквивалентность (можете сделать это сами), а сразу перейду к тому ради чего математики вводят эквивалентность к факторизации и разбиению на классы эквивалентности.

В силу третьего свойства эквивалентности, всё множество пар можно разделить на непересекающиеся подмножества — классы, в которых все элементы эквивалентны друг другу. Классы мы будем обозначать квадратными скобками. Так, в класс попадут все пары , где 

Если правильно построить отношение эквивалентности, то проявится замечательное свойство классов: возможность обобщения на классы операций, определённых для элементов.

Сейчас мы увидим, как это происходит. Давайте сложим два числа из разных классов

Смотрите-ка, результат сложения попадёт в класс, соответствующий их сумме, для любых чисел  и . Это значит, что мы можем записать это же выражение для классов:

Разбиение на классы эквивалентности, позволяющее использовать классы вместо элементов, и согласующееся с операциями алгебраической структуры, называется её факторизацией.

Нейтральный элемент

Теперь мы можем сконструировать нейтральный элемент, то ест, ноль, которого не было в натуральных числах. Если пары и эквивалентны, то это значит, что прибавление пары к паре не меняет класса, к которому эта пара принадлежит. Более того, все пары эквивалентны друг другу и не эквивалентны никаким парам из других классов. Они формируют отдельный класс, который мы можем обозначить как , и записать:

что в переводе с языка классов означает:

Если вам кажется, что это надувательство, и никакого нуля из камней и палок мы не собрали, то подумайте над этим вот как. Если у нас в мешке 115 палок и 110 камней, то это очень тяжёлый мешок, в котором палок на пять штук больше, чем камней. Если мы выложим по 100 камней и палок, то нам станет куда легче и тащить и считать, и при этом мы не потеряем информацию о том чего и насколько было больше. Факторизация позволяет нам сосредоточиться на главном — на разнице в количестве предметов.

Вычитание

Раз уж мы заговорили о разнице, то пора поразмыслить о вычитании. В натуральных числах вычитать надо осторожно, чтобы из меньшего не отнять большее. Поскольку в наших парах палки и камни обозначают натуральные числа, мы не можем просто записать, что , потому что в результате могут кончиться предметы. Нам надо как-то хитро определить вычитание, используя только сложение.

Вспомним, что в определении кольца есть упоминание о противоположных элементах, таких, что в сумме они дают ноль. Рассмотрим сумму . Результат будет эквивалентен нулю только если . Для натуральных чисел единственный вариант решения: . То есть

Обозначим противоположный элемент привычным знаком «минус», и получим

Очевидно, что два различных элемента в паре можно переставить местами лишь двумя способами, а значит,  Кроме того, если , то от перестановки пара не изменится, а значит

Очевидно теперь, что для любого класса можно определить противоположный ему класс. Давайте честно сложим друг с другом элементы из противоположных классов:

это подтверждает, что для всех классов .

Имея противоположные пары, нам совсем нетрудно определить операцию вычитания, как сложение с обратным элементом:

Ощутите всю прелесть этого построения: мы определили вычитание, использовав только сложение! В натуральных числах вычитать можно не всегда, а разность пар существует во всех случаях, ведь их элементы мы только складываем.

Давайте проверим, как это работает. Вычтем например из пары пару :

Мда.. разу и не понять, работает, или нет? А если посмотреть на классы?

Получается, мы вычли из и получили . Всё верно. Но 3 из 5 мы и на палочках могли вычесть. А если наоборот?

Получили пару, противоположную Если мы обозначим знаком минус противоположные классы, то сможем записать, что Всё работает исправно! Наша модель целых чисел замкнута относительно вычитания!

Вот как разбиваются на классы эквивалентности все упорядоченные пары:

Зелёные стрелки объединяют эквивалентные пары и помещают их в соответствующий класс. Легко увидеть, что для любой пары найдется единственный класс:

Афинная модель

Модель целых чисел, как пар палочек и камешков даёт отличную интерпретацию операции сложения. При этом нейтральный, противоположный элемент и вычитание выглядят несколько искусственно. Полезно рассмотреть представление этой же системы в виде небоскрёба с лифтом. Этажи небоскрёба пронумерованы натуральными числами, начиная с 1, а пара в этой модели обозначает перемещение с этажа  на этаж .

Противоположный элемент — это поездка в другую сторону. Сумма противоположных поездок естественным образом возвращает нас на исходный этаж, что даёт нейтральный элемент — «нулевое» перемещение.

Так же очень естественно в этой модели производится разбиение на классы. Класс объединяет в себе все перемещения на  этажей вниз, при этом мы теряем информацию о том, с какого этажа мы начинаем поездку. Противоположный класс  соответствует любым перемещениям вверх на  этажей.

А вот сумма перемещений в этой модели выглядит странно. Например, как понимать, что . Это никак не похоже на сложение перемещений: подъём с третьего этажа на седьмой после добавлении перемещения на семь этажей вниз, превратился в спуск с тринадцатого этажа на десятый. Крайне не интуитивно! На уровне классов же всё работает прекрасно, и этот же пример выглядит как .

В математике у такого представления есть имя: одномерное афинное пространство, построенное над натуральными числами. Афинные пространства это предмет изучения геометрической алгебры, и в школе мы с ними явно не встречаемся.

Афинное пространство похоже на векторное, и возможно, кто-то из читателей предположил, что я сведу все свои рассуждения к векторам. Но пример со сложением должен вас насторожить. Векторы, как вы помните, складываются покомпонентно, как и наши пары. Но это сложение имеет совсем иной геометрический смысл и реализует другую модель, о которой мы поговорим, когда будем рассматривать гауссовы числа.

И ещё немного о факторизации

Мы в жизни часто используем разбиение на классы эквивалентности и факторизацию, сами того не осознавая. Например, когда говорим, что «Весам в паре хорошо подходят Львы и Овны, а вот с Девами крепкого союза не получится». Как бы мы не относились к разбиению на классы по знакам зодиака, мы факторизуем иножество людей с его помощью и начинаем оперировать знаками так, как если бы это были конкретные личности. Обратите внимание на «бытовую» факторизацию людей по полу, национальности, профессии... Это свойственно нашему мышлению, но таит в себе опасности, поскольку в отличие от математики, никто не трудится строго доказывать, что факторизующее отношение является эквивалентностью и согласуется с реальными отношениями между людьми.

Наконец, когда мы вместо трёх палочек, трёх камней или трёх миллиардов звёзд, начинаем говорить о числе «три», то мы делаем ни что иное, как факторизацию множества всех кучек счётных объектов, по следующему отношению эквивалентности:

Кучка каких-то объектов эквивалентна кучке других объектов, если каждому объекту из первой кучки можно поставить в пару единственный объект из второй кучки.

Таким образом, натуральное число «три» — это класс эквивалентности, объединяющий в себе все кучки из любых предметов, которые можно разбить на упорядоченные пары с элементами множества {раз, два, три}.

Отношение порядка

Коль скоро мы сообразили, что целые числа оказались «зашиты» в разницу между первым элементом пары и вторым, то имеет смысл использовать эту разницу, для определения отношения порядка на базе сравнения натуральных чисел, и написать так:

Но элементы пары — это натуральные числа, операция вычитания для них корректно не определена. Это не беда, формально перенесём слагаемые, и получим менее очевидное, но корректно определённое отношение:

Выглядит хорошо, но сработает ли наша уловка? Проведём эксперимент: сравним  и , вернее, какие-либо экземпляры этих классов, скажем: потому что

А как насчëт  и ?

потому что .

И, наконец, сравним два экземпляра одного класса :

потому что .

Похоже, работает!

Очень легко доказать, что отношение порядка согласуется с разбиением на классы:

Согласуется сравнение и с операцией сложения:

На язык классов последний результат переводится так:

a это значит, в нашей модели целых чисел можно решать простейшие уравнения и неравенства, стандартным методом вычитания из обеих частей одинаковых величин.

Ключевое отличие в отношениях порядка, определённых над натуральными числами и над целыми, состоит в том, что в отличие от целых, среди натуральных чисел существует минимальный элемент. На этом факте основаны метод индукции и анализ завершаемости алгоритмов, так что это довольно важное обстоятельство. Наша модель целых чисел использует исключительно натуральный инструментарий, так что отсутствие минимального элемента не очевидно и его надо доказывать.

Это нетрудно сделать, во-первых, показав, что для любого числа  можно построить число , а во-вторых, что оно будет меньше исходного:

1) Существование:

2) Порядок:

Поскольку никаких ограничений на сравниваемые суммы мы не накладывали, можно заключить, что пары образуют линейно упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, причём однозначно. Однозначность сравнения надо доказывать отдельно, но тут я не хочу раздувать этот материал.

Умножение

Наконец, мы готовы определить операцию умножения для наших пар. В качестве подсказки, вновь формально используем разницу между элементами пары:

А теперь превратим разницы натуральных чисел в пары, сделав, как обычно, уменьшаемое первым элементом, а вычитаемое — вторым:

Ну, что же, никаких операций, запрещённых для элементов пары, мы не используем, значит эта операция, как минимум, корректно определена. Давайте её испытаем:

Предлагаю читателям самостоятельно доказать, что операция умножения согласована с классами эквивалентности и порядка, а также, что для умножения и сложения выполняется распределительный закон, вытекающий из распределительного закона для натуральных чисел.

Полезно также посмотреть на то, как происходит умножение на особые значения: , , и  и убедиться в том, что все правила умножения выполняются. Поздравляю, мы построили действующую модель кольца целых чисел!

Благодарю вех дочитавших за терпение ☺ В следующей статье мы из пары целых чисел построим поле рациональных чисел, как фактормножество рациональных дробей. Смысл этих построений состоит в том, чтобы показать почему правила сложения, перемножения и сравнения дробей не могут быть иными.