Краткое пособие по переводу между системами счисления с основаниями 2, 8, 10, 16

Термины

NS (СС) — Numeral System (Система Счисления)

Перевод из десятичной NS в двоичную

Существует два способа перевести из десятичной NS в двоичную. Далее будут разобраны оба алгоритма.

Алгоритм №1

Мы можем перевести число $n_{10}$ из десятичной NS в двоичную, следуя следующему алгоритму:
Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{2}$

Пример:
Дано число $n_{10}=377_{10};; n_{2}=?$

Ответ: $n_{2}=101111001_{2}$

Алгоритм №2

Есть и другой способ перевода числа $n_{10}$ из десятичной NS в двоичную: путем "прикидок" степеней двоек, не превышающих данного числа.

Пример:
Дано число $n_{10}=575_{10};;n_2=?$

Шаг первый. Прикинем степень двойки, не превышающую данного числа.

$512<575<1024; rightarrow; 2^9<575<2^{10}$
Шаг второй. Так как число больше , значит мы можем представить число в виде суммы .
Повторим первый шаг: прикинем степень двойки, не превышающую второго слагаемого.
Повторим второй шаг: так как число больше , значит мы можем представить число в виде суммы .
Далее повторим вторые и третьи шаги до тех пор, пока мы не разложим число на сумму степеней двоек. В итоге мы получим следующую запись:
Шаг третий. Расставим единицы в тех разрядах, номера которых равны степеням двоек в полученной ранее сумме (разряды пронумерованы с ).

$n_2=overset{9}{1},overset{8}{0},overset{7}{0},overset{6}{0},overset{5}{1},overset{4}{1},overset{3}{1},overset{2}{1},overset{1}{1},overset{0}{1},_{2}$

Ответ: $n_{2}=1000111111_{2}$

Перевод из двоичной NS в десятичную

Перевод числа из двоичной NS в десятичную осуществляется путем умножения каждого разряда числа на , где — номер разряда, начиная с .

Пример:
Дано число $n_2=10101000101111_2;; n_{10}=?$

Шаг первый. Пронумеруем разряды данного нам двоичного числа от 0 справа налево:

$n_2=overset{13}{1},overset{12}{0},overset{11}{1},overset{10}{0},overset{9}{1},overset{8}{0},overset{7}{0},overset{6}{0},overset{5}{1},overset{4}{0},overset{3}{1},overset{2}{1},overset{1}{1},overset{0}{1},_2$

Шаг второй. Запишем сумму вида , где — номер разряда, начиная с :

$n_{10}=2^{13}+2^{11}+2^9+2^5+2^3+2^2+2^1+2^0=10799_{10}$

Ответ: $n_{10}=10799_{10}$

Перевод из двоичной NS в восьмеричную

Разобьем данное нам число на триады (на блоки по три цифры), а затем заменим каждую триаду соответствующей цифрой, согласно таблице перевода (см приложение).

Пример:
Дано число $n_2=10011_2;; n_{8}=?$

По таблице увидим, что двоичному числу соответствует восьмеричное число , а числу — , значит, заменив каждую триаду на соответствующее восьмеричное число, получим:

Ответ:

Перевод из восьмеричной NS в двоичную

Заменим каждую цифру числа $n_{8}$ соответствующей триадой из таблицы перевода (см приложение).

Пример:
Дано число $n_{8}=735_{8};; n_{2}=?$

$left.begin{align} &n_{8}=735_{8} \ &7_{8}rightarrow111_{2} \ &3_{8}rightarrow011_{2} \ &5_{8}rightarrow101_{2} \end{align}right};Rightarrow ; n_{2}=111011101_{2}$

Ответ: $n_{2}=111011101_{2}$

Перевод из десятичной NS в восьмеричную

Алгоритм перевода в восьмеричную NS тот же, что и алгоритм №1 перевода в двоичную NS.
Необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{8}$

Пример:
Дано число $n_{10}=1089_{10};; n_{8}=?$

Ответ: $n_{8}=2101_{8}$

Перевод из восьмеричной NS в десятичную

Для перевода из восьмеричной NS в десятичную, необходимо умножить каждый разряд числа $n_{8}$ на , где — номер разряда, начиная с , а затем сложить полученные значения.

Пример:
Дано число $n_{8}=4766_{8};; n_{10}=?$

$n_{8}=overset{3}{4},overset{2}{7},overset{1}{6},overset{0}{6},_{8}Rightarrow n_{10}=4cdot8^3+7cdot8^2+6cdot8^1+6cdot8^0=2550_{10}$

Ответ: $n_{10}=2550_{10}$

Перевод из десятичной NS в шестнадцатеричную

Алгоритм перевода в восьмеричную NS практически тот же, что и алгоритм №1 перевода в двоичную NS.
Необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Переводим остатки бо́льшие согласно таблице перевода (см приложение)
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{16}$

Пример:
Дано число $n_{10}=10492_{10};; n_{16}=?$

Ответ: $n_{16}=28FC_{16}$

Перевод из шестнадцатеричной NS в десятичную

Для перевода из восьмеричной NS в десятичную, необходимо перевести в соответствующие числа по таблице перевода (см приложение) и умножить каждый разряд числа $n_{16}$ на , где — номер разряда, начиная с , а затем сложить полученные значения.

Пример:
Дано число $n_{16}=FD1_{16};;n_{10}=?$

$left.begin{align} &n_{16}=overset{2}{F},overset{1}{D},overset{0}{1},_{16} \ &F_{16}rightarrow15_{10} \ &D_{16}rightarrow13_{10} \ end{align} right} Rightarrow ; n_{10}=15cdot16^2+13cdot 16^1+1cdot 16^0=4049_{10}$

Ответ: $n_{10}=4049_{10}$

Приложение

Общий вид формулы для перевода числа из произвольной NS в десятичную:

$LARGE N_{10}=sumlimits_{i=0}^ka_icdot b^i$

, где:

$N_{10}$ — число в десятичной NS
— цифра числа в исходной NS, начиная с младшего разряда (справа налево)
— основание исходной NS
— номер старшего разряда (индекс последней цифры количество цифр в исходном числе )

Таблица перевода между NS

$N_{10}$	$N_{2}$	$N_{8}$	$N_{16}$
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
...	...	...	...

Автор: githubVladimirT

Источник ^[1]

Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru

Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/sistemy-schisleniya/400332

Ссылки в тексте:

[1] Источник: https://habr.com/ru/articles/852722/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=852722

Нажмите здесь для печати.