Введение
Этим постом я начну цикл «Нейронные сети для новичков». Он посвящен искусственным нейронным сетям (внезапно). Целью цикла является объяснение данной математической модели. Часто после прочтения подобных статей у меня оставалось чувство недосказанности, недопонимания — НС по-прежнему оставались «черным ящиком» — в общих чертах известно, как они устроены, известно, что делают, известны входные и выходные данные. Но тем не менее полное, всестороннее понимание отсутствует. А современные библиотеки с очень приятными и удобными абстракциями только усиливают ощущение «черного ящика». Не могу сказать, что это однозначно плохо, но и разобраться в используемых инструментах тоже никогда не поздно. Поэтому моей первичной целью является подробное объяснение устройства нейронных сетей так, чтобы абсолютно ни у кого не осталось вопросов об их устройстве; так, чтобы НС не казались волшебством. Так как это не математический трактат, я ограничусь описанием нескольких методов простым языком (но не исключая формул, конечно же), предоставляя поясняющие иллюстрации и примеры.
Цикл рассчитан на базовый ВУЗовский математический уровень читающего. Код будет написан на Python3.5 с numpy 1.11. Список остальных вспомогательных библиотек будет в конце каждого поста. Абсолютно все будет написано с нуля. В качестве подопытного выбрана база MNIST — это черно-белые, центрированные изображения рукописных цифр размером 28*28 пикселей. По-умолчанию, 60000 изображений отмечены для обучения, а 10000 для тестирования. В примерах я не буду изменять распределения по-умолчанию.
Пример изображений из MNIST:
Я не буду заострять внимание на структуре MNIST и просто выложу код, который загрузит базу и сохранит в нужном формате. Этот формат в дальнейшем будет использован в примерах:
import struct
import numpy as np
import requests
import gzip
import pickle
TRAIN_IMAGES_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/train-images-idx3-ubyte.gz"
TRAIN_LABELS_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/train-labels-idx1-ubyte.gz"
TEST_IMAGES_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/t10k-images-idx3-ubyte.gz"
TEST_LABELS_URL = "http://yann.lecun.com/exdb/mnist/t10k-labels-idx1-ubyte.gz"
def downloader(url: str):
response = requests.get(url, stream=True)
if response.status_code != 200:
print("Response for", url, "is", response.status_code)
exit(1)
print("Downloaded", int(response.headers.get('content-length', 0)), "bytes")
decompressed = gzip.decompress(response.raw.read())
return decompressed
def load_data(images_url: str, labels_url: str) -> (np.array, np.array):
images_decompressed = downloader(images_url)
# Big endian 4 числа типа unsigned int, каждый по 4 байта
magic, size, rows, cols = struct.unpack(">IIII", images_decompressed[:16])
if magic != 2051:
print("Wrong magic for", images_url, "Probably file corrupted")
exit(2)
image_data = np.array(np.frombuffer(images_decompressed[16:], dtype=np.dtype((np.ubyte, (rows * cols,)))) / 255,
dtype=np.float32)
labels_decompressed = downloader(labels_url)
# Big endian 2 числа типа unsigned int, каждый по 4 байта
magic, size = struct.unpack(">II", labels_decompressed[:8])
if magic != 2049:
print("Wrong magic for", labels_url, "Probably file corrupted")
exit(2)
labels = np.frombuffer(labels_decompressed[8:], dtype=np.ubyte)
return image_data, labels
with open("test_images.pkl", "w+b") as output:
pickle.dump(load_data(TEST_IMAGES_URL, TEST_LABELS_URL), output)
with open("train_images.pkl", "w+b") as output:
pickle.dump(load_data(TRAIN_IMAGES_URL, TRAIN_LABELS_URL), output)
Линейная регрессия
Линейная регрессия — метод восстановления зависимости между двумя переменными. Линейная означает, что мы предполагаем, что переменные выражаются через уравнение вида: 
Эпсилон здесь — это ошибка модели. Также для наглядности и простоты будем иметь дело с одномерной моделью — многомерность не прибавляет сложности, но иллюстрации сделать не выйдет. На секунду забудем про MNIST и сгенерируем немного данных, вытянутых в линию. Также перепишем модель (гипотезу) регрессии следующим образом: 
. y с шапкой — это предсказанное моделью значение. 
1 и 2 — неизвестные параметры — основная задача эти параметры отыскать, а x — свободная переменная, ее значения нам известны. Сформулируем задачу еще раз и немного другим языком — у нас есть набор экспериментальных данных в виде пар значений 
и нужно найти прямую линию, на которой эти значения располагаются, найти линию, которая бы наилучшим образом обобщала экспериментальные данные. Немного кода для генерации данных:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
TOTAL = 200
STEP = 0.25
def func(x):
return 0.2 * x + 3
def generate_sample(total=TOTAL):
x = 0
while x < total * STEP:
yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
x += STEP
X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])
plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.show()
В результате должно получиться что-то вроде этого — достаточно случайно для неподготовленного человеческого глаза:
Зеленая линия — это «база» — сверху и снизу от этой линии случайным образом распределены данные, распределение равномерное. Уравнение для зеленой линии: 
Метод наименьших квадратов
Суть МНК заключается в том, чтобы отыскать такие параметры 
, чтобы предсказанное значение было наиболее близким к реальному. Графически это выражается как-то так:
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([1, 2, 3, 4, 5], [4, 2, 9, 9, 5], 'bo')
plt.plot([1, 2, 3, 4, 5], [3, 5, 7, 9, 11], '-ro')
plt.show()
Наиболее близким — значит, что вектор 
должен иметь наименьшую возможную длину. Так как вектор не единственный, то постулируется, что сумма квадратов длин всех векторов должна стремится к минимуму, учитывая вектор параметров 
. На мой взгляд, довольно логичный метод, умозрительный. Тем не менее, существует математическое доказательство корректности этого метода Ремарка: под длиной будем понимать Евклидову метрику, хотя это необязательно. Ремарка 2: обратите внимание, что сумма квадратов. Опять-таки, никто не запретит попробовать минимизировать просто сумму длин. На этой картинке красные точки — предсказанное значение (
), синие — полученные в результате эксперимента(y без шапки). 
— это как раз различие между ними, длина вектора.
Математически это выглядит так: 
— требуется найти такой вектор 
, при котором выражение 
достигает минимума. Функция f в этом выражении — это:
или
Я долго думал, стоит ли сразу переходить к векторизации кода и в итоге без нее статья слишком удлиняется. Поэтому введем новые обозначения:
— вектор, состоящий из значений зависимой переменной y — 
— вектор параметров — 
A — матрица из значений свободной переменной x. В данном случае первый столбец равен 1 (отсутствует x_0) — 
. В одномерном случае в матрице A только два столбца — 
После новых обозначений уравнение линии переходит в матричное уравнение следующего вида: 
. В этом уравнении 2 неизвестных — предсказанные значения и параметры. Мы можем попробовать узнать параметры из такого же уравнения, но с известными значениями: 
Иначе можно представить как систему уравнений: 
Казалось бы, что все известно — и вектор Y, и вектор X — остается только решить уравнение. Большая проблема заключается в том, что система может не иметь решений — иначе, у матрицы A может не существовать обратной матрицы. Простой пример системы без решения — любые тричетыреn точки не на одной прямойплоскостигиперплоскости — это приводит к тому, что матрица А становится неквадратной, а значит по определению нет обратной матрицы 
.
Наглядный пример невозможности решения «простым способ» (каким-нибудь методом Гаусса решить систему): 
Система выглядит так: 
— вряд ли выйдет отыскать решения для такой системы.
Как итог невозможно построить линию через эти три точки — можно лишь построить примерно верное решение.
Такое отступление — это объяснение того, зачем вообще понадобился МНК и его братья. Минимизации функции стоимости (функции потерь) и невозможность (ненужность, вредность) найти абсолютно точное решение — одни из самых базовых идей, что лежат в основе нейронных сетей. Но до них еще далеко, а пока вернемся к методу наименьших квадратов.
МНК говорит нам, что необходимо найти минимум суммы квадратов векторов вида: 
Сумму квадратов с учетом того, что все преобразовано в вектораматрицы можно записать следующим образом: 
.
У меня не повернется язык назвать это тривиальным преобразованием, новичкам бывает довольно сложно уйти от простых переменных к векторам поэтому я распишу все это выражение полностью в «раскрытых» векторах. Опять-таки, чтобы ни одна строка не была непонятым «волшебством».
Для начала просто «раскроем» вектора в соответствии с их определением: 
.
Проверим размерность — для матрицы А она равна (n;p), а для вектора 
— (p;1), а для вектора 
— (n;1). В результате получим разницу двух векторов размерностью (n;1) —
Сверимся с определением — по определению выходит, что каждая строка правой матрицы равна 
. Запишем далее: 
В итоге последняя строка и есть сумма квадратов длин, как нам и нужно. Каждый раз, конечно же, такие фокусы в уме проворачивать довольно долго, но к векторной нотации можно привыкнуть быстро. У этого есть и плюс для программиста — удобней работать и портировать код для GPU, где ехал вектор через вектор. Я как-то портировал генерацию шума Перлина на GPU и примерное понимание векторной нотации неплохо облегчило работу. Есть и минус — придется постоянно лезть в интернет, чтобы вспомнить тождества и правила линейной алгебры. После доказательства верности векторной нотации перейдем к дальнейшим преобразованиям:
Здесь использованы свойства транспонирования матриц — а именно транспонирование суммы и произведения. А также тот факт, что выражения 
и 
есть константа. Доказать можно взяв размерность матриц из их определения и посчитав размерность выражения после всех умножений:
Константу можно представить как симметричную матрицу, следовательно:
После преобразований и раскрытия скобок, приходит время решить-таки поставленную задачу — найти минимум данного выражения, учитывая 
. Минимум находится весьма буднично — приравнивая первый дифференциал по 
к нулю. По-хорошему, нужно сначала доказать, что этот минимум вообще существует, предлагаю доказательство опустить и подсмотреть его в литературе самостоятельно. Интуитивно и так понятно, что функция квадратичная — парабола, и минимум у нее есть.
Итак,
Часть 
называют псевдообратной матрицей.
Теперь в наличии все нужные формулы. Последовательность действий такая:
1) Сгенерировать набор экспериментальных данных.
2) Создать матрицу A.
3) Найти псевдообратную матрицу 
.
4) Найти 
После этого задача будет решена — у нас в распоряжении будут параметры прямой линии, наилучшим образом обобщающей экспериментальные данные. Иначе, у нас окажутся параметры для прямой, наилучшим образом выражающей линейную зависимость одной переменной от другой — именно это и требовалось.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
TOTAL = 200
STEP = 0.25
def func(x):
return 0.2 * x + 3
def prediction(theta):
return theta[0] + theta[1] * x
def generate_sample(total=TOTAL):
x = 0
while x < total * STEP:
yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
x += STEP
X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])
A = np.empty((TOTAL, 2))
A[:, 0] = 1
A[:, 1] = X
theta = np.linalg.pinv(A).dot(Y)
print(theta)
Y_prediction = A.dot(theta)
error = np.abs(Y_real - Y_prediction)
print("Error sum:", sum(error))
plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.plot(X, Y_prediction, 'r', linewidth=2.0)
plt.show()
И результаты:
Красная линия была предсказана и почти совпадает с зеленой «базой». Параметры в моем запуске равны: [3.40470411, 0.19575733]. Попробовать предсказать значения не выйдет, потому что пока неизвестно распределение ошибок модели. Все, что можно сделать, так это проверить, правда ли для данного случая МНК будет подходящим и лучшим методом для обобщения. Условий три:
1) Мат ожидание ошибок равно нулю.
2) Дисперсия ошибок — постоянная величина.
3) Отсутствует корреляция ошибок в разных измерениях. Ковариация равна нулю.
Для этого я дополнил пример вычислением необходимых величин и провел измерения дважды:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
TOTAL = 200
STEP = 0.25
def func(x):
return 0.2 * x + 3
def prediction(theta):
return theta[0] + theta[1] * x
def generate_sample(total=TOTAL):
x = 0
while x < total * STEP:
yield func(x) + np.random.uniform(-1, 1) * np.random.uniform(2, 8)
x += STEP
X = np.arange(0, TOTAL * STEP, STEP)
Y = np.array([y for y in generate_sample(TOTAL)])
Y_real = np.array([func(x) for x in X])
A = np.empty((TOTAL, 2))
A[:, 0] = 1
A[:, 1] = X
theta = np.linalg.pinv(A).dot(Y)
print(theta)
Y_prediction = A.dot(theta)
error = Y - Y_prediction
error_squared = error ** 2
M = sum(error) / len(error)
M_squared = M ** 2
D = sum([sq - M_squared for sq in error_squared]) / len(error)
print("M:", M)
print("D:", D)
plt.plot(X, Y, 'bo')
plt.plot(X, Y_real, 'g', linewidth=2.0)
plt.plot(X, Y_prediction, 'r', linewidth=2.0)
plt.show()
Неидеально, но все без обмана работает так, как и ожидалось.
Полный список библиотек для запуска примеров: numpy, matplotlib, requests.
Материалы, использованные в статье — https://github.com/m9psy/neural_nework_habr_guide
Автор: m9_psy
