Кредит — это когда банк вас грабит и вы ему за это ещё платите.
Пожарный Сидоров бездействовал: банк горел — кредит гасился.
Привет!
Многие из вас, наверняка, слышали не раз подобные шутки про кредиты и ипотеку. Некоторые, наверное, не раз пользовались калькуляторами вкладов и кредитов, и оценивали выгодность того или иного способа накопления денег. Я тоже недавно заинтересовался этой темой, и подошёл к этой проблеме математически.
Читать полностью »
В четвёртой серии цикла о графических вероятностных моделях (часть 1, часть 2, часть 3) мы продолжим разговор о том, как справляться со сложными фактор-графами. В прошлый раз мы изучили алгоритм передачи сообщений, который, правда, работает только в тех случаях, когда фактор-граф представляет собой дерево, и в каждом узле можно без проблем пересчитать распределения грубой силой. Что делать в по-настоящему интересных случаях, когда в графе есть большие содержательные циклы, мы начнём обсуждать сегодня – поговорим о паре относительно простых методов и обсудим очень мощный, но непростой в использовании инструмент – вариационные приближения.
Привет! Недавно столкнулся с задачей подсчёта числа Пи до знака, номер которого будет выбирать пользователь. Сразу полез на Википедию, почитать, что за зверь такой, это Пи, и как его находить с заданной точностью. Формул, описывающих число Пи, уйма. Но для решения моей задачи всё в этих формулах упирается либо в точность и длину базовых типов языка (я выбрал Java), либо (для решения предыдущей проблемы) в длинную арифметику, которую мне реализовывать не очень-то хотелось. Читать полностью »
В данной статье пойдет речь о методе распознавания рукописного ввода путем математического анализа всех точек плоскости и перебора всех возможных комбинаций с целью отыскать наиболее лучшее наложение контрольных точек на ранее описанные фигуры. Поясню.
Рукописный ввод — это рисование мыслимым «пером» определенной фигуры. Рисование в компьютерных системах — это сохранение в графической памяти информации обо всех пикселях графического контекста. «Точка на плоскости» в математике — понятие абстрактное. В компьютерной же графике за этим понятием скрывается «пиксель». Данный алгоритм распознавания будет анализировать предоставленный ему набор точек( пикселей ) и пытаться в нем отыскать наиболее возможную и похожую фигуру. Фигура, в свою очередь, это каркас, содержащий лишь основные( контрольные ) точки, делающие фигуру уникальной.
Вообще говоря, сердце алгоритма — всем известная со времен школы Теорема Косинусов, являющаяся обобщенной теоремой Пифагора. Зная координаты трех точек плоскости и их порядок «появления» на ней, мы можем с легкостью определить угол, описанный этими точками( Вершина угла — вторая по счету точка ):
A( x1;y1 )
B( x2;y2 )
C( x3;y3 )расстояния между точками находятся по теореме Пифагора
a^ = b^ + c^ — 2*b*c*cos(ALPHA)
cos(BETA) = (b^+c^-a^) / 2*b*c
Зная косинус, величину угла легко можно вычислить.
Среди набора точек, которые подаются на вход алгоритма, необходимо «подставить» точки во всевозможные каркасы фигур( о них выше ) и выбрать наилучшее решение среди найденных. Делается это следующим образом:
- Мы берем первую и последнюю точки каркасов фигур. Уже две есть, осталось отыскать третью ( для нахождения величины угла ).
- Поиск третьей осуществляется перебором все последующих точек после первой. Решение включать точку в предполагаемый каркас фигуры принимается на основе двух анализов:
- Попытка подставить точку в угол( в качестве третьей, заключительной ) и проверить его на соответствие величине того же угла в каркасе реальной фигуры.
- Проверить отношение сторон получившегося угла с тем же отношением сторон угла в каркасе реальной фигуры.
Если эти два условия выполняются, то алгоритм принимает решение о включении точки из набора точек в мыслимый каркас( при этом увеличиваем величину похожести на текущую анализируемую фигуру ).
Если, допустим, у нас есть несколько анализируемых каркасов, например, «8» и «6». И результат алгоритма распознавания: «8»-80%, «6» — 90%, то решение принимается в пользу той фигуры, в каркасе которой присутствует больше контрольных точек, т.е в пользу восьмерки.
Процент сходства набора точек с точками в каркасе высчитывается просто: суммируются все точки, которые сошлись с теми же точками в каркасе и находится отношение. Допустим, если в каркасе N контрольных точек, а у нас сошлось M, то процент сходства —
M / N * 100
После большого перерыва продолжаем цикл о графических вероятностных моделях (часть 1, часть 2). Сегодня мы наконец-то от постановок задач перейдём к алгоритмам; поговорим мы о самом простом, но часто полезном алгоритме вывода на фактор-графах – алгоритме передачи сообщений. Или, как его ещё можно назвать, алгоритме правильной расстановки скобок.
Перевод статьи Андрея Бауера — The HoTT book
Книга по HoTT закончена!
Начиная с весны, и даже раньше, я участвовал в командном проекте по написанию книги по гомотопической теории типов (Homotopy Type Theory). Она наконец написана и готова к употреблению. Вы можете скачать книгу бесплатно: homotopytypetheory.org/book/. Майк Шульман рассказал о содержании книги, так что я не буду повторять то же самое. Вместо этого я бы хотел прокомментировать некоторые социо-технологические аспекты создания книги и, в частности, рассказать о том, чему нас научило сообщество Open source.
Читать полностью »
Существует класс задачек, которые в основном передаются из уст в уста, можно сказать входят в математический фольклор. Иногда встречаются задачи с очень красивыми решениями. Ты смотришь на решение, вроде понимаешь каждый шаг в рассуждениях, но чувствуешь себя как будто обманутым. Ты все понимаешь и одновременно ничего не понимаешь. Аналогию, наверное, можно провести, например, с этой оптической иллюзией:
Тут видишь то большой куб с выпиленным куском, то маленький кубик, стоящий в углу.
В этом посте я собрал некоторые мои любимые задачи, решения которых, как мне кажется, вызывают этот неуловимый дуализм чувств: «понимаю — не понимаю».
Наверное, многие из вас, читателей и писателей хабра, задавались вопросом: «Что происходит с образованием в России?». И, естественно, находили самые нелицеприятные ответы на эти вопросы: «Всё плохо», «Разворовали», «Продались», «Гнать гуманитариев!!!» и т.п.
Я довольно долгое время связан с современным образованием — выпустился лет 5 назад, учился в аспирантуре, писал статьи в ВАКовские журналы, преподавал (и преподаю) и занимаюсь административной деятельностью.
Читать полностью »
Карл Гаусс, в своё время, назвал математику царицей всех наук, отдавая ей особое место в сфере человеческого знания. Действительно, совершенно непохожая на другие науки, она скорее служит для них языком или методом изучения. Являясь, пожалуй, самой строгой из всех наук, она не имеет собственного строгого и общепринятого определения. На протяжении всей своей истории, преобразуясь сама, преобразовывалось и понятие о математике. Учёные, в течении всего развития математики, смогли составить скорее не определения математики, а набор афоризмов характеризующий её или представления о ней.
«Математика — это язык, на котором написана книга природы»(Г. Галилей)
«Математика – это наука о необходимых заключениях»(Б. Пирс)
«Математика – это строгий язык, служащий для перехода от одних опытных суждений, к другим»(Н. Бор)
«Математика – это иерархия формальных структур»(Н. Бурбаки)
«Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»(А. Колмогоров)
— это лишь малая часть суждений, показывающая разнородность представлений о математике. Помимо вопроса определения математики, интересными и дискуссионными являются вопросы о её природе(основаниях), её методологии, целях и связи с реальным миром. Ответы на них также неоднозначны и значительно изменялись со временем, создавая различные философские течения.
Читать полностью »
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из m уравнений с n неизвестными:
Матрица системы может быть не только квадратной невырожденной, но и квадратной вырожденной или прямоугольной.
Требуется найти все решения данной системы либо определить, что она несовместна (не имеет решений).
Рассмотрим метод Гаусса решения СЛАУ.
Читать полностью »
