Однажды на зачете мне попалась следующая задача. Придумайте алгоритм, находящий две вершины дерева с максимальным расстоянием друг от друга, и докажите его корректность. В тот момент я в принципе не знала, что у деревьев есть диаметр, радиус и много прочих вещей. Уже после зачета друг просветил меня, рассказав, что это за алгоритм, но без доказательства. Именно вопросом о доказательстве долгое время была забита моя голова. После прочтения нескольких статей, стало понятно, что материал не уляжется, пока самостоятельно себе не объясню все практически на пальцах (может, и читателю придется по вкусу). Перейдем от демагогии к сути.
Диаметр дерева — это максимальное расстояние между двумя вершинами в дереве. Алгоритм поиска состоит в двух запусках BFS. Первый идет от произвольной вершины дерева, во время обхода насчитываются расстояния от текущей вершины до всех других. Затем из них выбирается самая удаленная. Из нее делается второй запуск BFS. Насчитываются новые расстояния. Максимальное среди них и будет диаметром.
Почему этот простой с виду алгоритм работает корректно?
Читать полностью »