Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник) и вам нужно посчитать результат в виде отрезка. Задача решается за менее чем 5 простых шагов.
Базовая формула вычисления
Для начала докажем одну формулу, которая нам будет помогать с дальнейшим решением.

В прямоугольном треугольнике ABC
проведем высоту h
на сторону C
. По теореме Пифагора выводим:
Подставляем всё в первую формулу:
И если раскрыть скобки:
После сокращения получаем:
Вот с помощью этой формулы и будем выводить наши решения.
Единичная мера длины
Так как мы вычисления проводим на плоскости с отрезками, нам необходимо определиться с мерой единичной длины равной 1
. Если мы отложим отрезок 1
дециметр, то он так же будет равен 10
сантиметрам, 100
миллиметрам или 4
дюймам. Один отрезок и 4 разных чисел разной меры длины его определяют. Что бы выбрать одну систему счисления длин отрезков, примем за единицу длины какой-то отрезок. Какой - определим по ходу расчетов, и он зафиксирует нужную меру длины.
Циркуль как универсальный инструмент
Циркуль удобно использовать как средство:
-
отмерить отрезок определенной длины, при этом знать величину этой длины совершенно нет надобности.
-
прочертить дугу на одинаковом расстоянии от определённой точки.
-
отложить перпендикуляр к линии через определённую точку. Для этой цели удобнее использовать угольник с прямым углом, чем циркулем чертить 4 дуги.
Вычисление квадрата длины
Для вычисления квадрата величины X
используем нашу формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней отрезок единичной длины.

От правого конца единичного отрезка 1
откладываем вверх перпендикуляр длиной X
.

Проводим линию от левого конца единичного отрезка 1
до верхнего конца отрезка X
.

От этого отрезка откладываем перпендикуляр на линию продолжения единичного отрезка 1
. Их пересечение и есть правый край квадрата длины. Левый край начинается от точки, где отложена высота.

Пример. У вас есть какой-то квадрат, со стороной X
, начерченный на плоскости или на земле. Нужно узнать его площадь в попугаях. Одна сторона квадрата длиной X
у нас уже есть. На соседней стороне откладываем длину одного попугая (там где 1
находится). Соединяем концы линией, откладываем перпендикуляр, продлеваем отрезок с попугаями до перпендикуляра и получаем решение в квадратных попугаях.
Вычисление квадратного корня длины
Для вычисления квадратного корня величины используем нашу формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней единичный отрезок длины 1.

На продолжении единичного отрезка откладываем отрезок длины X
.

Полученный отрезок 1+X
делим пополам с помощью циркуля и получаем точку O
. Как это сделать, приводить здесь не буду, это задачка из школьного курса. Обозначим длину найденной половины как R
.

Вокруг центра O
, циркулем нарисуем дугу радиусом R
.

От правого конца отрезка 1 отложим вверх перпендикуляр до пересечения с дугой окружности. Длина этого перпендикуляра и будет равна корню квадратному из длины X
.

Вычисление обратной величины длины
Для вычисления обратной величины длины используем нашу формулу в виде:
Решение очень похоже на нахождение квадрата величины, только a
и h
меняются местами.
Чертим прямую линию достаточной длины.

Откладываем на ней отрезок длины X
.

От правого края отрезка X
откладываем вверх перпендикуляр единичной длины 1
.

Соединяем концы отрезков линией.

От верхнего конца отрезка X
откладываем перпендикуляр к линии продолжения отрезка 1
. Полученный отрезок и есть решение.

Выводы
Приведенные выкладки удобны, когда не хочется возиться с цифрами и их арифметическими вычислениями, которые всё равно будут обратно приложены к длинам отрезков.
Если величина X
сильно отличается от единичного отрезка 1
, ошибка вычисления может быть значительной. Но если применить масштабирование, то ошибку можно значительно уменьшить. Например, при захождении корня длины 20, его можно поделить на 16 (4 раза поделить пополам), а потом ответ умножить на 4 (4 раза отложить полученный отрезок).
Автор: Владимир Прокофьев